ESSEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

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ESSEC 2005, math II, option ´economiqueLes deux parties du probl`eme sont ind´ependantes.Dans ce probl`eme, les variables al´eatoires sont toutes d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A,P).Si X est une variable al´eatoire r´eelle, E(X) d´esigne son esp´erance.Lorsque (X ) est une suite de variables al´eatoires r´eelles, on note, pour tout n > 1,n n>1nXS = X .n kk=1Pr´eliminaires1) Soit (X ) une suite de variables al´eatoires r´eelles de mˆeme loi, admettant une esp´erance m.n´Enoncer, avec pr´ecision, la loi faible des grands nombres pour la suite (X ).n2) Soitδ un r´eel strictement positif etA un sous-ensemble deR tel que l’intervalle ]m−δ,m+δ[soit inclus dans le compl´ementaire de A. D´eterminer Snlim P ∈An→+∞ nPartie I : Un exemple discretDans cette partie, X est une variable al´eatoire suivant une loi de BernoulliB(p), avec 01nXOn note S = X . On rappelle que P(X = 1) =p, P(X = 0) = 1−p =q.n ii=1sX sX1)a)Montrer que pour tout s r´eel, la variable al´eatoire e admet une esp´erance E(e ).sXb)D´eterminer la fonction ϕ :s7→E(e ).2)a)Pr´eciser la loi de S .nS Sn nb)D´eterminer (Ω) et la loi de la variable al´eatoire .n nSn nsnc) Soit s un r´eel. Montrer que E(e ) = ϕ(s/n) .Soit a un r´eel fix´e de ]0,1[.3)a)On note K ={k∈ [[0,n]]|k/n>a}. Soit s un r´eel positif. Montrer quea XS kn Sns s k k n−k asn nE(e )> e C p q > e P ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC2005,mathII,optione´conomique Lesdeuxpartiesduproble`mesontinde´pendantes. Dansceproble`me,lesvariablesale´atoiressonttoutesd´eniessurunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). SiX,eeeller´rseenut´ealoiatrivaleabE(X)´d.ecn´eranespnesoesig Lorsque (Xn)n>1rserlee´,selonnoiaaresbl´ealoiatte,pourtouteveditsunetuesn>1, n X Sn=Xk. k=1 Pre´liminaires 1)Soit (Xne´espncratnateenua,iotemdiusenu)iravedetllse´reemeleedˆmsal´ableireseatom. ´ Enoncer,avecpre´cision,laloifaibledesgrandsnombrespourlasuite(Xn). 2)Soitδifetositentpctemtsire´leurnAun sous-ensemble deRtel que l’intervalle ]mδ, m+δ[ soitinclusdanslecompl´ementairedeAD.e´etmrnire   Sn limPA n n+Partie I :Un exemple discret Dans cette partie,Xviuseriotae´laelnoereBidlonetuanluilriabnevaestuB(p), avec 0< p <1. (Xn)n>1queelsetuotiolemeˆmteanndpentvauissairaselbtiusvedesire´end´ealoiatestuneX. n X On noteSn=Xi. On rappelle queP(X= 1) =p, P(X= 0) = 1p=q. i=1 sX sX 1)a)Montrer que pour touts´ree,lalavirbaelencra´espeeunetmdaeeriotae´laE(e ). sX b)nctioafonnerlreim´Dteϕ:s7→E(e ). 2)a)idloeiseclaer´rPSn. SnSn b)´oeiadteoliarvear(iΩa)beltelaallimenr.´Dtere n n n  S n s n c)Soitsquere.Meltronurne´E(e )=ϕ(s/n) . Soitax´e´eelunred0],1[. 3)a)On noteKa={k[0, n]]|k/n>a}. SoitseeplsotifiM.norte´rrqnuue   SnXk Sn s sk k nk as E(e )>e Cp q>eP>a n n n n kKa b)Montrer que, pour touts>0    n Snas P>a6ϕ(s/n) e n 4)On suppose dans cette question quea > p. ´ a)Etudier surR+les variations de la fonction`ae´neiaprd `a:s7aslnϕ(s) b)Montrer que la fonction`aatteint surR+un maximum strictement positifh(a, p) que l’on calculera en fonction deaetp. c)Montrer que     nsup(atlnϕ(t)) Snnh(a,p) t>0 P>a6e =e n 5)On suppose dans cette question quea < p, (donc 1a >1p). a)idlolaerinrmte´eae´laelbairavaletoireDnSn.
b)Montrer que     nsup(atlnϕ(t)) Snnh(1a,1p)nh(a,p) t>0 P6a6e =e =e n 6)Soitε >0. a)uqetnsee´edr´econspestiesquude´deriD     S nnminh(pε,p),h(p+ε,p) Pp>ε62e n   Sn b)minerlim´DterePp>ε.   n+n 7)chinnemafabrequietcahuiairuruqe´etbjoed,uitqseecnueuqipytniatrneUtrenriepsose en fonctionnement normal, produit une proportionp, (0< p <Lex.eutuecejst´dfe1,)dbo directeurveutconnaıˆtrelavaleurdepnihcpteele´reve`´eunanchlltion.Poualamseetiatlcrle den, (n>1), objets qu’il analyse. Pour touti[1, n]], soitXiaravll´eabliarideaeotonluBereenilid´epar n 1 sileiuxuectfedte´e´selevept´robje`eme-i Xi= 0 sinon Onsupposequedanslesconditionsdepre´le`vement,lesvariablesale´atoiresX1, . . . , Xnsont inde´pendantes. Sn a)Montrer queFn= estun estimateur sans biais dep. n   2 b)Calculer le risque quadratiquern=E(Fnplierm)D.ete´nimrrn. n+8)Soitα]0deel´enru,anncelealcodeetteanscnerdermietvrnuniitnouqse1te´detiahuosnO.[ duparame`trepinconnu, au niveau de confiance 1α`,paraitce´ledrollitnahn(X1, . . . , Xn).  ! Fnp a)Quelle est la limite en loi de la suitenp? p(1p)nN α b)Soitfnilasitnoedlaear´Fnuslr´echantillonconis´dree´S.iottα(ler´eeld´eniparΦtα) = 1, 2 o`uΦd´esignelafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´e,re´duite. Montrer qu’un intervalle de confiance depau niveau 1α[sedtn´onarepUn, Vn] tel que P(Un6p6Vn)>1α avec tαtα Un=fn− √, Vn=fn+2n2n Partie II :Un exemple continu. Z +α1t 1)reentieme´DlrmesnelbDsrdeel´esαlepoleurqseusllni´tgearte dtest conver-0 gente. Pour toutα∈ D, on pose Z +α1t Γ(α) =te dt 0 2)Exprimer Γ(α+ 1)en fonction deγ(αiudealer.)´dnEΓ(valeurden) pournN. 3)Soitα∈ Dxnoitcnoafelquertron.M´efαeine´dsurRpar 1α1t te sit >0 Γ(α) fα:t7 0 sit60 estunedensit´e. Ondiraquunevariableale´atoireXdede´eitnsfαseutenavirbaella´eatoirequisuituoleniγ(α). 2
On admettra que siX,Yntsontda,esni´dpeneaeotriseablesal´deuxvariXsuivant une loiγ(α) etYsuivant une loiγ(β), alorsX+Ysuit une loiγ(α+β). Onadmettrae´galementque,souslesmˆemeshypoth`esessurXetY, on aE(XY) =E(X)E(Y). 4)a)SoitXleiounevar´laelbaireriotae,sleel´eunntvauiγ(α)ucelC.lasp´erleerancE(X). Soit (Xn)n>1resind´eal´eatoidsmeeˆemepdnnaetneuueiqloairaselbtiusvedeX. Pour toutn>1, n X on noteSn=Xi. i=1 Sn b)rmin.´eteD´rlaaaeillbeaveaoeldiorterail n sX sX 5)a)D´einertermbmesnelelIlsee´rsedsncemdteetnueepse´areltaeuesqE(e ).On pose alors sX ϕ(s) =E(e ) b)Montrer que la fonctionϕruosxeseocvnevtesitistpoenoitnied´deneaiomndI. n  S n s c)SoitsI. Montrer queE(e )=ϕ(s/n) . n 6)ertnom,Etruopeuqruttonartrefse`roedemlent´ethtinusalisIR+   Sn Sn sas E(e )>eP>a n n puis que pour toutsIR  Sn Sn sas n E(e )>eP6a n 7)SoitaR+,a6=α. Pour toutsI, on pose `a:s7aslnϕ(s) ´ Etudier la fonction`aet dresser son tableau de variation. 8)Pour toutaR+, on pose h(a) = sup`a(s) sI Exprimerh(a) en fonction dea. Montrer que sia6=α, alorsh(a)>0. n X 9)Pour toutnN, (X1, X2, . . . , Xn) est unnec´delaiodnleliolahtnX. On poseSn=Xi. i=1 a)Montrer que, pour toutstel que 0< s < n     Sn n as P>a6ϕ(s/n) e n b)Montrer que   Sn n as P>a6inf eϕ(s/n) 0<s<n n c)Montrer que sia > αalors     nsup (atlnϕ(t)) Sn tIR+nh(a) P>a6ee = n 10)Montrer que sia < αalors     nsup (atlnϕ(t)) Sn tIRnh(a) P6a6e =e n 11)Soitε >0. Montrer que   SnnH(α,ε) Pα>ε62e n   o`uH(α, ε() = minh(αε), h(α+ε) .
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