ESSEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (ecs)

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ESSEC 2005, math II, option scientifiqueDans ce probl`eme, les variables al´eatoires sont r´eelles et toutes d´efinies sur un espace probabilis´e(Ω,A,P). (X ) repr´esente une suite de variables al´eatoires et, pour tout n > 1, on noten n>1nXS = X . Si X est une variable al´eatoire r´eelle, E(X) d´esigne son esp´erance.n ii=1Pr´eliminaires1) Soit (X ) une suite de variables al´eatoires r´eelles de mˆeme loi, admettant une esp´erancem.n´Enoncer, avec pr´ecision, la loi faible des grands nombres pour la suite (X ).n2) Soitδ un r´eel strictement positif etA un sous-ensemble deR tel que l’intervalle ]m−δ,m+δ[soit inclus dans le compl´ementaire de A. D´eterminer Snlim P ∈An→+∞ nL’objet du probl`eme est de pr´eciser de mani`ere quantitative les r´esultats ci-dessus.Partie I : Un premier exemple. Le cas gaussienDans cette partie, (X ) est une suite de variables al´eatoires ind´ependantes suivant toutes unen n>1loi normale centr´ee r´eduite,N(0,1).Sn1) Quelle est la loi de ?n2) Soit δ un r´eel strictement positif. Dans cette partie, on note exp la fonction exponentielle.a) Montrer quer Z +∞ 2 S S 2n ntn n P >δ = 2P >δ = exp − dt n n π 2δb)En posant u =n(t−δ), montrer quer Z +∞2 2 S 2 nδ un P >δ = ×exp − exp − −uδ du n nπ 2 2n03)a)Montrer que pour tout x> 0, on a 06 1−exp(−x)6x.Z +∞b)Montrer que l’int´egrale exp(−uδ)du converge et la calculer.0c) D´eterminerZ Z +∞ +∞ 2 ulim exp(−uδ)du− exp − −uδ dun→+∞ 2n0 ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC 2005, math II, option scientifique
Dansceprobl`eme,lesvariablesal´eatoiressontr´eellesettoutesd´eniessurunespaceprobabilise´ ,A, P). (Xn)n>1errpnesuited´esenteulasetae´ravelbaiurpouttoreoit,sen>1, on note n X Sn=Xi. SiXeriotae´laelbairnevaestue,lleer´E(X.eensedi´gne)so´espncra i=1 Pre´liminaires 1)Soit (Xnetedavirbaelas´l)unesuilemeˆmedtemda,ioesirtoeaeslleer´euneetantrancsp´em. ´ Enoncer,avecpre´cision,laloifaibledesgrandsnombrespourlasuite(Xn). 2)Soitδunretifitosptnemetcirtslee´Aun sous-ensemble deRtel que l’intervalle ]mδ, m+δ[ soitinclusdanslecomple´mentairedeArenirmte´e.D   Sn limPA n n+Lobjetduprobl`emeestdepre´ciserdemanie`requantitativelesre´sultatsci-dessus. Partie I :Un premier exemple. Le cas gaussien Dans cette partie, (Xn)n>1teouttannesuriotniseaselae´lesntivsuepd´daenetsdevariabunesuite loinormalecentre´ere´duite,N(0,1). Sn 1)Quelle est la loi de? n 2)Soitδe.llietnenopxenoitcnoftreio,nntoeepxalitif.Danscettepatsletcirnemesoptu´enr a)Montrer que r  Z  +2   SnSn2n nt P>δ= 2P>δ= expdt   n nπ2 δ b)En posantu=n(tδ), montrer que r  Z 2 +2    Sn2nδ u P>δ=×expexp− −du n nπ2 2n 0 3)a)Montrer que pour toutx>00, on a61exp(x)6x. Z +b)Mop(exlera´tgelniqreutner) duconverge et la calculer. 0 c)inerDe´etmr Z Z ++2  u lim exp() duexp− −du n+2n 0 0   Sn d)e´udEdnolsrri,equene´nu,innelaviuqtendetdlinversP>δ. n PartieII:Quelquesre´sultatsg´en´eraux ` Alinstardesvariablesale´atoiresdiscre`tes,onadmettraquesiX,Ysont deux variables ale´atoires`adensit´e,inde´pendantes,admettantuneespe´rance,alorsXYadmete´pseenuecnar etE(XY) =E(X)E(Y). sX SoitXoire´eatlle(r´eeenavuellairbaadeneou`r`etdiscuotuotr)eP.is´tsRadmettelle que e sX uneespe´ranceEon pose(e ), sX ϕ(s) =E(e ) Soit (Xn)n>1deterivaunuiesotaeserielba´laseuqiolempeneni´dseusadtnttouivanamˆeteslX. S  nn s 1)Montrer que pour toutn>1, pour toutsRtel queϕ(s) existe, on aE(e )=ϕ(s/n) . n sY 2)SoitYteellee´rreoiat´ealulevaabnreis >0 tel queE(e )existe.
s(Ya) a)Montrer que pour touta,1el´er(Y>a)6u1eo`,(Y>a)ricednindicatnofaoitcise´leng de l’ensemble{ωΩ/Y(ω)>a}. as sY b)irdu´endEeuqeP(Y>a)6eE(e ).     Sn n as c)Montrer queP>a6eϕ(s/n) . n sY 3)SoitYotriree´leelteevuniaareableal´s <0 tel queE(e )existe. s(Ya) a)Montrer que pour touta,1el´er(Y6a)6e .   Sn n as sYas b)eduiEnd´erequP(Y6a)6eEpuis que(e ),P6a6eϕ(s/n) . n Partie III :Un second exemple. Le cas binomial Dans cette partie, (Xn)n>1iravelbaiuseedeteunstusetuottendantepenivanessuaeotas´lni´drise loi de BernoulliB(p), avec 0< p <1. On rappelle queP(X1= 1) =p, P(X1= 0) = 1p=q. 1)Calculerϕ:s7→ϕ(so)ne.ndsoerinrmte´etditine´dedeniamo Soitaeelunr´]e0´xde,1[. 2)On suppose dans cette question quea > p. ´ a)Etudier surR+les variations de la fonction`aarpeine´d `a:s7aslnϕ(s) b)Montrer que la fonction`aatteint surR+un maximum strictement positifh(a, p) qu’on exprimera en fonction deaetp. c)Montrer que     nsup(atlnϕ(t)) Sn nh(a,p) t>0 P>a6ee = n 3)On suppose dans cette question quea < p, (donc 1a >1p). a)´Dnemieretdeoialrlleal´eatlavariabioernSn. b)Montrer que   Sn nh(1a,1p)nh(a,p) P6a6ee = n 4)Soitε >esntde´eecr´sponeuq0.Dseitseuqridee´ud     S nnminh(p+ε,p),h(pε,p) Pp>ε62e n 5)Soitα]0urne´leed,1[. Montrer que, pournassez grand, il est toujours possible de trouver deuxr´eelsa1, a2tels que 0< a1< p < a2<tneiselviuqire´´es1n´egalit   Snα P6a16 n2   α Sn P>a26 n2 (onpourrae´tudierlesvariationsdelafonctiona7→h(a, p)). 6)rtpeenneoshuiresacquaiterune´eriqenihcamqirbafiurtceunueedypntaiojUbteesqtiu, en fonctionnement normal, produit une proportionp, (0< p <efectsd´obje),d.xeLut1ue directeur veut connaˆıtre la valeur deptelamachelailteslee`evnunieept´ronllch´etiancruoP. den, (n>1), objets qu’il analyse. Pour touti[1, n]], soitXie´dpeinraedeBtoirulliernoraailva´laelbae n 1 silei`e-iobmetpjectueux´rlevee´sedte´ef Xi= 0 sinon Onsupposequedanslesconditionsdepre´l`evement,lesvariablesale´atoiresX1, . . . , Xnsont inde´pendantes. 2
Sn a)Montrer queFnun estimateur sans biais de= estp. n   2 b)Calculer le risque quadratiquern=E(Fnpmierminerl).D´etrn. n+7)retninuncedellavedncaon`eamaruprteOsnuoeuqeoitssnadttecrmteerinitha´eedp inconnu, au niveau de confiance 1αa`,trapedrie´lanchllti(onX1, . . . , Xn). Fnp a)Quelle est la limite en loi de la suitenp? nN p(1p) α b)Soitfnatioalisar´eldneFnidnsr´´ellticoonoS.etihcnale´srutαΦ(´enipar´reldleetα) = 1, 2 ou`Φde´signelafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´e,re´duite. D´eterminerenfonctionden,fn,tαun intervalle de confiance [Un, Vn] depau niveau 1α. PartieIV:Lecasge´n´eral SoitX´rerlleededeisnerivaleab´ealoiatuent´ef. Z +tu Pourtoutr´eelttel queef(u) duconverge, on note −∞ Z +tX tu LX:t7E(e )= ef(u) du −∞ On supposera queLXnsirunusedte´le]intervalα, β[ contenant 0. 1)Soitt]α, β[, etδ >0 tel que [tδ, t+δ]]α, β[. a)Montrer que pour toutueer´l +X n n δ|u| δu   e1δu6 n! n=2 b)Montrer que, pour toutulee´r   tu δu(tδ)u(t+δ)u   e e1δu f(u)6ee +f(u) Z +tu c)Eniuer´ddeilatenueq´lreguef(u) duconverge, puis queXencra´espeenutemdam. −∞ 2)Soitt]α, β[, etδ >0 tel que [tδ, t+δ]]α, β[. SoithRtel que|h|< δ. a)Montrer que, pour toutule,r´e +n X (t+h)u tun2 eeδ|u| tu tu uef(u)6|h|ef(u) h n! n=2 puis que (t+h)u tu ee 2δtu tu|u| δuef(u)6|h|e ef(u)   h b)Montrer queLXeenleabiverd´sttet que Z +0tu L(t) =uef(u) du X −∞ 2 Onadmettra(etonde´montreraitdemani`ereanalogue)quelafonctionLXest de classeC sur ]α, β[ et que pour toutt]α, β[ Z +002tu L(t) =uef(u) du X −∞ 3)On noteψ(t) = lnLX(t). a)nnoDelreamoddenied´enitiondelafnotcoinψ. 0 00 b)Calculerψ,ψecondeded´,iversee´merpre`isteeψ. 3
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