ESSEC 2006 mathematiques i classe prepa hec (ecs)

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ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption scienti queMATHEMATIQUES IAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.Dans tout ce problŁme, la lettre n dØsigne un entier supØrieur ou Øgal à 2 et on note [[1;n]] l ensemble f1;2;:::;ng.On rappelle qu’une permutation de [[1;n]] est une bijection de [[1;n]] sur lui-mŒme. Par ailleurs, on note S el nsemble des permutations de [[1;n]] ;n M (R) el space vectoriel des matrices carrØes d ordre n à coe¢ cients rØels ;n M (R) el space vectoriel des matrices à p lignes, q colonnes à coe¢ cients rØels ;p;q m Øl lØment gØnØrique d une matrice M, c’est- -dire le rØel situØ à l intersection de la i-iŁme ligne et de lai;jj-iŁme colonne de M ;t M la transposØe d’une matrice M.Lorsque appartient àS , on appelle matrice de la permutation la matrice deM (R) notØe P dont le termen n 2gØnØrique p ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option scientique
MATHEMATIQUESI
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Dans tout ce problème, la lettrendésigne un entier supérieur ou égal à2et on note[1; n]]lensemblef1;2; :::; ng. On rappelle quune permutation de[1; n]]est une bijection de[1; n]]Par ailleurs, on notesur lui-même. Snlensemble des permutations de[1; n]]; Mn(R)lespace vectoriel des matrices carrées dordrenà coe¢ cients réels ; Mp;q(R)lespace vectoriel des matrices àplignes,qcolonnes à coe¢ cients réels ; mi;jlélément générique dune matriceM, cest-à-dire le réel situé à lintersection de lai-ième ligne et de la j-ième colonne deM; t Mla transposée dune matriceM. Lorsqueappartient àSn, on appelle matrice de la permutationla matrice deMn(R)notéePdont le terme 2 génériquepi;jvérie :8(i; j)2[1; n]]; pi;j= 1si(i) =jetpi;j= 0sinon. 0 1 0 1 0 @ A Par exemple, pourn= 3et2G3dénie par(1) = 2; (2) = 3; (3) = 1,P= 00 1. 1 0 0 On sintéresse dans un premier temps à lensembleEndes matricesMappartenant àMn(R)vériant la propriété n n X X suivante :8i2[1; n]];8j2[1; n]]; mi;k=mk;j. k=1k=1 Dans ce cas, leur valeur commune sera notée!(M).
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Partie I : Etude de lensembleEn. 0 1 1  1 B C . On noteJla matrice dordrendont tous les coe¢ cients sont égaux à1.cest-à-dire égale à @ ...AetUla 1  1 0 1 1 B C matrice colonne ànlignes égale à@ A. . 1 1. Généralités. (a) MontrerqueEnest un sous espace vectoriel deMn(R)et que lapplication!:En!RM7!!(M) en est une forme linéaire. (b) LorsqueM2Mn(R), établir que :M2Ensi et seulement siUest vecteur propre commun àMet t Massocié à une même valeur propre. (c) VérierqueEnest stable pour le produit matriciel et préciser!(M N)en fonction de!(M)et!(N) lorsqueMetNappartiennent àEn.
2. DimensiondeEn.
(a) Montrerque le noyau de!et la droite vectorielle engendrée parJsont supplémentaires dansEn. 2 (b) Pour(r; s)2[2; n]], on noteAr;sla matrice deEndont tous les éléments sont nuls sauf les quatre éléments :a1;1; ar;s; a1;s; ar;1qui sont tels que :a1;1=ar;s= 1eta1;s=ar;1=1. Montrer que la famille(Ar;s)(r;s2est libre puis quelle est génératrice du noyau de!. Endéduire )2[2;n] la dimension deEn. 3. Unefamille génératrice deEn. (a) Etablirque pour toute permutationde[1; n]], la matricePappartient àEnet que les matricesPsont les seules matricesMdeEntelles que!(M) = 1nadmettant quun seul élément non nul par ligne et par colonne. (b) crirela matricePcorrespondant à la permutationdeSndénie par : 8k2[1; n1]]; (k) =k+ 1et(n) = 1 2 3n Préciser les matrices :(P);(P); : : : ;(P). (c) ExprimerJFaire de même avec chaquecomme combinaison linéaire de matrices de permutations. 2 matrice du typeAr;squand(r; s)2[2; n]]: onpourra se limiter aux matricesA2;2etA3;2(sin>3) et donner une décomposition explicite de ces deux matrices en combinaison linéaire de matrices de permutations. 2 (d) Prouverquil existe(n1) +1permutations ; ;: : : ; 2de[; : : : ; P) 1 2(n1) +11; n]]telles que(P1; P22 (n1) +1 soit une base deEn. Que représente la somme des composantes dune matriceMdeEnrelativement à cette base ?
Les deux parties suivantes du problème sont indépendantes de la partie I
On sintéresse dans toute la suite du problème à lensemble des matricesMdeEndont tous les élémentsmi;jsont + positifs ou nuls.On noteEcet ensemble. n
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+ Partie II : Etude de lensembleE n + 1. MontrerqueEest stable pour le produit matriciel et que pour toute famille(1; 2; :::; p)de permutations n p X + de[1; n]]et toute famille(1; 2; :::; p)de réels positifs ou nuls,kP2E. kn k=1 Dans cette partie, on admettra que: 8M2Enf0g;92Stel quem m  m >0 n n1;(1) 2;(2)n;(n)
+ 2. (a)On suppose queest une telle permutation associée àM2Enf0get on désigne par n c= minfm ;:::; mm ;g: 1;(1) 2;(2)n;(n) + Montrer que :McP2E. n +(b) Endéduire que pour toute matriceMdeEnf0g, il existep2N,ppermutations1; 2; : : : ; pde n p X ent positifs tels q. [1; n]]etpréels1; 2; :::; p:strictem ueM=kPk k=1 + 2 (c) Montrerquune matrice deEpossédant au moinsnn+ 1termes nuls est nulle ; en déduire que : n 2 16p6nn+ 1. 0 1 3 1 2 @ A (d) Exemple: lorsqueM= 31 2, exprimerMcomme combinaison linéaire à scalaires strictement 0 4 2 positifs de matrices de permutations de[1;3]] n 3. Uneapplication :Lespace vectorielRest muni de sa structure euclidienne canonique et on notey >< x; n le produit scalaire de deux vecteursxetydeR. Ondésigne par(u1; u2; :::; un)et(v1; v2; :::; vn)deux bases n orthonormales deR.
+ et (a) Vérierque la matriceMu;v= (< vi; uj>)appartient àEndonner la valeur de!(Mu;v). Lorsqueest une permutation de[1; n]], préciserMu;vdans le cas où(v1; v2; :::; vn) = (u ;:::; uu ;). (1)(2)(n) n (b) Onintroduit lendomorphisme symétriquesdeRdont(u1; u2; :::; un)est une base orthonormale de diagonalisation et de valeurs propres respectivement associées1; 2; :::; n. 0 1 1 2 On notela matrice colonneB C. @ A . n 0 1 < s(v)>; v 1 1 B C Montrer légalité matricielle :@ A=Mu;v. . < s(vn); vn> (c) En utilisant la questionII.2.b, établir que pour toute forme linéairefdeMn;1(R), il existe deux 0 permutationsetde[1; n]]vériant :f(P)6f(Mu;v)6f(P). 0 (d) Onsuppose que :66  6etr2[1; n]]. 1 2n Trouver une forme linéairefpermettant den déduire les inégalités :
r rr X XX 6< s(v)>; v6k kk nr+k k=1k=1k=1
Que représente le terme< s(v); v>dans la matrice desrelativement à la base(v ;v ;:::; v)et k k1 2n pouvez- vous donner une interprétation matricielle des inégalités obtenues ci-dessus ?
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Partie III Lobjet de cette dernière partie est la justication du résultat admis dans la partieII.1. 2 Lorsque(p; q)2[1; n]], on appelle sous-matrice de type(p; q)de la matriceMappartenant àMn(R)toute matrice extraite deMen supprimant deM nplignes etnqcolonnes. 1. Lorsqueest une permutation de[1; n]]etMun élément deMn(R), expliciter le terme générique des matricesPMetM P1. Commentobtient-on ces deux matrices à partir deM? 2. Onsuppose queMappartient àMn(R)et quelle contient une sous-matrice nulle de type(p; q).   X0 0 (a) Montrerque :9; deux permutations de[1; n]]telles quePM P=avecX2Mp;nq(R), 0 Z Y Z2Mnp;nq(R)etY2Mnp;q(R). + (b) Endéduire que siMappartient àEnf0g, on ap+q6n. n 3. Ondésire établir la propriété(Pn)suivante :siMappartient àMn(R)et vérie lhypothèse(Hn) :82 S: : : mm m= 0, alorsMcontient au moins une sous-matrice nulle de type(p; q)avec n1;(1) 2;(2)n;(n) p+q=n+ 1.
(a) Levérier pourn= 2. (b)nétant supérieur ou égal à3, on suppose que la propriété(Pk)est vériée pour toutk2[2; n1]]. On désigne parMune matrice appartenant àMn(R)et vériant(Hn). Etablir queMcontient une sous-matrice de type(n1; n1)vériant(Hn1).   X0 0 En déduire que :9 ; 2Sn;9p; q=p+q=ntels quePM P=avecX2Mp(R); Z2 0 Z Y Mq;p(R)etY2Mq(R). Montrer queXvérie(Hp)ouYvérie(Hq). 0 00 0 En déduire alors queMcontient une sous-matrice nulle de type(p ; q)telle quep+q=n+ 1et conclure. 4. Montreralors, à laide de 2) b) que : + 8el que: : : m>m m0 M2Ennf0g;92Snt1;(1) 2;(2)n;(n)
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