ESSEC 2006 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

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ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.EXERCICE 1 : probabilitØs et fonctions de deux variablesCentboules,cinquanteblanchesetcinquantenoires,sontrØpartiesdansdeuxurnesnotØesU etU . Onchoisitune1 2urne au hasard puis on tire au hasard une boule dans l’urne choisie. L objectif de cet exercice est de dØterminer,si elle existe, la rØpartition pour laquelle la probabilitØ de tirer une boule blanche est maximale ainsi que la valeurde cette probabilitØ.1. Justi er qu il existe une rØpartition des boules dans les urnes pour laquelle la probabilitØ de tirer une bouleblanche est maximale.2. DØterminer la probabilitØ de tirer une boule blanche dans le cas oø les urnes sont composØes de 20 boulesblanches et 40 boules noires pour l’une, 30 boules blanches et 10 boules ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ESSEC M B A
CONCOURS DADMISSION
Option économique
MATHEMATIQUESIII
Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
EXERCICE 1 :probabilités et fonctions de deux variables
Cent boules, cinquante blanches et cinquante noires, sont réparties dans deux urnes notéesU1etU2. Onchoisit une urne au hasard puis on tire au hasard une boule dans lurne choisie.Lobjectif de cet exercice est de déterminer, si elle existe, la répartition pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale ainsi que la valeur de cette probabilité.
1. Justierquil existe une répartition des boules dans les urnes pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale.
2. Déterminerla probabilité de tirer une boule blanche dans le cas où les urnes sont composées de 20 boules blanches et 40 boules noires pour lune, 30 boules blanches et 10 boules noires pour lautre. On peut donc répartir les boules dans les urnes de telle sorte que la probabilité de tirer une boule blanche 1 soit strictement supérieure à. 2 3. Onnotexetyles nombres respectifs de boules blanches et noires contenues dans lurneU1(xetysont donc deux entiers compris au sens large entre 0 et 50).
(a) Déterminerla probabilitéf(x; y)de tirer une boule blanche (on distinguera lexpression générale, fonc-tion des entiersxety, des deux cas particuliers où lune des urnes est vide). (b) Justierque, pour tous entiersxetycompris au sens large entre 0 et 50, on a légalité :
f(50x;50y) =f(x; y):
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(c) Montrer,pour tout entieryde[0;50], linégalité : 1 f(0; y)6 2 et en déduire que la répartition des boules recherchée est telle quexappartient à[1;49]. 1 (d) Quellessont les répartitions pour lesquelles la probabilité de tirer une boule blanche est égale à? 2 4. Onnotenle nombre de boules contenues dans lurneU1(n=x+y). Montrer que lon peut se restreindre à des valeurs deninférieures ou égales à 50. En fait, on peut même se restreindre à des valeurs denstrictement comprises entre 0 et 50 car 1 f(0;0) = 4 1 et, daprès le résultat de la question3. d), la probabilité de tirer une boule blanche est égale àlorsquen 2 est égal à 50. 5. Onsuppose désormais que les variablesxetnvarient de façon continue dans lintervalle]0;50[et on dénit la fonctiongde deux variables sur]0;50[]0;50[en posant : x50x g(x; n) =+ n100n (a) Soitnun réel de]0;50[les variations de la fonction. Déterminerx7!g(x; n)sur lintervalle]0;50[et en déduire lentierxde]0;50[pour lequel le réelg(x; n)est maximum sous la condition :x6n. (b) Onpose, pour tout réelnde]0;50[: h(n) =g(n; n) 0 Déterminerh(n); dresser le tableau de variations de la fonctionhet en déduire la valeur de lentiern pour laquelleh(n)atteint son maximum. (c) Conclurerelativement à lobjectif de lexercice annoncé en introduction.
EXERCICE 2 :probabilités et informatique
On se propose détudier des algorithmes de simulation de lois de probabilité, écrits en langage Pascal.La procédure randomize initialise le générateur de nombres aléatoires.Une fois celle-ci appelée, les appels successifs à la fonction random simulent la réalisation de variables aléatoires indépendantes de même loi de probabilité uniforme sur]0;1[. Des programmes demandés, on nécrira que la partie «décisive »de lalgorithme, à limage du premier encadré de la page 3. Dans tout lexercice, on désigne par :
(; T; P)un espace probabilisé,
Uune variable aléatoire dedansPde loi de probabilité uniforme sur]0;1[,
Xla variable aléatoire dedansPdont on souhaite simuler des réalisations,
pun réel strictement compris entre 0 et 1,
nun entier naturel non nul.
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I Lois binomiales 1. (a)Ecrire un algorithme qui simule la réalisation dune variable aléatoireXqui suit la loi de Bernoulli de paramètrep. (b) Justier que lalgorithme ci-dessous simule la réalisation dune variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètresnetp. x:=0; for k:=1 to n do begin u:=random; if u<p then x:=x+1; end; write(x); Quel est le nombre dappels à la fonctionrandom? 2. Soientp1etp2des réels strictement compris entre 0 et 1.On pose :q1= 1p1etq2= 1p2. On e¤ectuenépreuves de Bernoulli indépendantes, de paramètresp1.Ydésignant le nombre de succès lors de cette première série dépreuves, on e¤ectueYépreuves de Bernoulli indépendantes, de paramètresp2. On sintéresse alors à la variable aléatoireXdonnant le nombre de succès dans cette seconde série dépreuves. (a) Terminerle programme de simulation de X ci-dessous. y:=0; for k:=1 to n do begin u:=random; if u<p1 then y:=y+1; end; x:=0; for k:=1 to                                             .                            write(x); (b) i.Préciser la loi deYet lensemble des valeurs prises parX. ii. Soitiun entier compris au sens large entre 1 et n. Quelle est la loi deXconditionnée par lévénement(Y=i)? iii. Vérierque, pour tous entiersietjtels que :06j6i6n, on a légalité :      n in nj =i jj ij
puis, pour tout entier j compris au sens large entre 0 etn, établir, en utilisant la formule des probabilités totales :  n  X n nj j ij ni P(X=j() =p p) (p q)q : 1 21 2 1 j ij i=j
iv. Aprèsavoir simplié le résultat précédent, reconnaître la loi deX. (c) Déterminerle nombre moyen dappels à la fonctionrandomdu programme de simulation deX.
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II Méthode dinversion
Cette méthode repose sur la détermination dune fonctionQtelle queQ(U)suive la même loi queX.
(On rappelle queUest une variable aléatoire de loi de probabilité uniforme sur]0;1[)
1.Loi exponentielle. Dans cette question,Xsuit la loi exponentielle de paramètrea(aréel strictement positif).
1 (a) Démontrerque les variables aléatoiresXetln(1U)ont la même fonction de répartition. a (b) Justieralors lalgorithme de simulation deXsuivant : u:=random; x:=-ln(u)/a; write(x);
2.Loi géométrique. Dans cette question,Xsuit la loi géométrique de paramètrep.
(a) Enconsidérant queXest le temps dattente du premier succès dans un processus de Bernoulli, écrire en langage Pascal un programme de simulation deXqui utilise une bouclerepeat. Quel est le nombre moyen dappels à la fonctionrandom? (b) La méthode précédente étant « coûteuse »pour les petites valeurs dep, on se propose décrire un nouvel algorithme qui nappelle quune seule fois la fonctionrandom. i. Onsuppose queY: !Rest une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètrea. Prouver que, pour tout entier naturelknon nul :
a k1a P(k16kY <) = (e) (1e):
En déduire que lon peut choisiratel queXet la variable aléatoireEnt(Y) + 1suivent la même loi (on rappelle queEntdésigne la fonction partie entière). ii. Ecrirelalgorithme correspondant.On rappelle quen langage Pascal, si une variablexcontient un réel positif ou nul,trunc(x)retourne la partie entière de ce réel. 3.Cas dune loi discrète nie. On suppose ici queXprend un nombre ni n de valeursx1; :::; xn, avecx1< x2<  < xn. On pose :F0= 0et, pour tout entierkcompris au sens large entre 1 etn: pk=P(X=xk); Fk=P(X6xk): SoitQla fonction «en escalier »de]0;1[dansRdénie par : pour tout entierkcompris au sens large entre 1 etn,Q(u) =xksiFk1< u6Fk. Qest appelée la fonction quantile deX. (a) Vérierque, pour tout entierkcompris au sens large entre 1 etn, on a :
P(Q(U) =xk) =pk:
(b) Daprèsla question précédente,Q(U)etXont la même loi.Programmer une simulation deXrevient donc à trouver, pour une réalisationudeU, le dernier indicektel que :u > Fk1, et décider queX prend la valeurxk. i. Dansla situation représentée par le schéma ci-dessous, quelle est la valeur prise parX?
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ii. Enconsidérant que les variablesF[1],. . . ,F[n]dun tableauFcontiennent les valeursF ;:::; F 1n cellesT[1],. . . ,T[n]dun tableauTles valeursx1; :::;xn, compléter le programme de simulation deXci-dessous, et démontrer que le nombre moyenmde passages dans la bouclewhilevérie : k:=1; u:=random; while     do     ; x:=      write(x);
4.Loi binomiale Dans cette question, on suppose queXsuit la loi binomialeB(2n;1=2).
(a)Un premier programme. On adapte le programme précédent (questionII 3.b) ii)) de simulation deXau cas de la loi binomiale B(2n;1=2). i.Démontrer que, pour tous entiers naturelsretmtels que :16r6m, on a :    m mm1 = r rr1 2n P   2n2n En déduire légalité :k=n2. k k=1 ii. Exprimerle nombre moyenmnde passages dans la bouclewhileen fonction den. (b)Amélioration du programme. On pose dans cette question :      2n2n2n2n a0=; a1=; a2=; a3=; n n1n+ 1n2     2n2n2n a4=; :::; a2n1=; a2n= n0 2+ 2n    2n2n i.Démontrer que, pour tout entierkcompris au sens large entre 0 etn1:6. k k+1 En déduire les inégalités :a06a16  6a2n. ii. Pouraméliorer le programme précédent, on range dans lordre décroissant les probabilitésp0; p1; :::;p2n queXprennent les valeurs0;1; :::;2nen posant : 1 1 11 0 00 0 p=p=pa ;=p=a=a ;  ; p=p= 0n0 1n1 1; p2=pn2+1 2n2na2n: 2n2n2n2n 2 2 22 k P 0 les variables successives du tableauFcontenant les nombresp(lentierkvariant de 0 à2n), et i i=0 les variables successives du tableauTcontenant les valeursn; n1; ; n+ 1; n2; n+ 2; :::;0;2n. 0 Préciser alors le nombre moyenmde passages dans la bouclewhileen fonction den; pour n cela, on admettra légalité : 2n   X 1 2n 2n1 kak= 2n+ 2 2n k=0
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0 Enn, proposer un équivalent simple demquandntend vers+1en utilisant la formule de n Stirling :   pn n n!2n : +1 e et conclure quant à lintérêt du réagencement des probabilitésp0; p1; :::; p2n.
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