Examen du mai durée heures Epreuve SANS document et SANS calculatrice Les téléphones portables doivent être éteints Il y a cinq exercices sont indépendants Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté Les vecteurs et les matrices sont représentés en caractères gras Le barême entre parenthèse n'est qu'indicatif I Systèmes linéaires points Soit le système linéaire complexe suivant avec

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Année 2008-2009 Examen du 27 mai 2009 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice. Les téléphones portables doivent être éteints. Il y a cinq exercices sont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Les vecteurs et les matrices sont représentés en caractères gras. Le barême entre parenthèse n'est qu'indicatif I. Systèmes linéaires (~ 12 points) Soit le système linéaire complexe suivant (avec ? i 2 = ?1 ) : ? 2ix + 3iy + 2z = 2 ix + iy + 3z = 4 ix + 2iy ? z = ?2 ? ? ? ? ? I.1 Ecrire ce système sous forme matricielle de la forme MX=B. Quelles sont les expressions de X et B ? I.2 Le système est-il régulier, homogène ? Justifier. I.3 Discuter l'existence ou non de solution(s). Le cas échéant, calculer la (ou les) solution(s) du système. II. Développement limité (~ 10 points) Soit une fonction f définie pour x réel : ? f ( x ) = e x + 1 II.1 Rappeler le développement limité (DL) d'une fonction h(x) à l'ordre n au voisinage de xo=0.

  • points d'inflexion

  • développement limité

  • xy cos

  • caractères gras

  • voisinage de xo

  • téléphone portable

  • equation différentielle

  • système complexe de molécules


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : edu.upmc.fr
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Année 2008-2009 Examen du 27 mai 2009 (durée 2 heures) Epreuve SANS document et SANS calculatrice. Les téléphones portables doivent être éteints. Il y a cinq exercicessont indépendants. Ils ne sont pas classés par ordre de difficulté. Les vecteurs et les matrices sont représentés en caractères gras. Le barême entre parenthèse nest quindicatif I.Systèmes linéaires (~ 12 points) 2 Soit le système linéaire complexe suivant (aveci="1) : #2ix+3iy+2z=2 %$ix+iy+3z=4%&ix+2iy"z="2 I.1ce système sous forme matricielle de la forme EcrireMX=B. Quelles sont les expressions deXetB?  I.2Le système est-il régulier, homogène ? Justifier.  I.3Discuter lexistence ou non de solution(s). Le cas échéant, calculer la (ou les) solution(s) du système. II.Développement limité (~ 10 points)  Soitune fonctionf définie pourxréel : x f(x)=e+1II.1le développement limité (DL) dune fonction Rappelerh(x) àlordren au voisinage dexo=0.x  II.2Donner le DL de la fonctiong(x)=e+1au voisinage dexo=0à lordre 2.  II.3Calculer le DL de la fonctionf(x)au voisinage dexo=0aussi à lordre 2.
III.Etude de fonction (~ 18 points) On se propose détudier la fonction : ln(3x)"1 f(x)=3x On résoudra les étapes suivantes : III.1Domaine de définition defIII.2Limites defaux bornes de son intervalle de définition III.3Dérivée premièref"(x)III.4Extrema defIII.5Dérivée secondef""(x)III.6Points dinflexion defIII.7Tableau de variations III.8Graphe def5/2 -1-2 (AN : On donne comme valeurs numériques approchées, e2.7, e12, e0.37 et e0.137) IV.Equation différentielle (~ 6 points) On observe lévolution de la densitéNsystème complexe de molécules dun données par léquation différentielle suivante : 2 d NdN 2" "N=02 dt dt IV.1Résoudre cette équation différentielle. IV.2 Trouverla valeur des constantes obtenues à la question précédente, dN sachant queN(0)=N0et(0)=N(0)=0. dt V.Différentielle (~ 10 points) V.1Les formes différentielles suivantes, sont-elles des différentielles totales ? 2 "#(x,y)=K(1+y)dx+2KxydyK réel) (avec "#(x,y)=xycosxdx+xycosydyV.2cas échéant, calculer lexpression de la fonction Lef(x,y) dontla forme différentielle dérive. VI.Intégrale (~ 4 points)
1 2x "  Calculerlintégrale suivante :xe dx(AN : on prendra comme valeurs numériques 0 approchées, e3)
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