Exercices sur l'approximation d'un signal périodique

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Niveau: Secondaire, Lycée
Bac Pro indus Exercices sur l'approximation d'un signal périodique 1/10 EXERCICES SUR L'APPROXIMATION D'UN SIGNAL PÉRIODIQUE Exercice 1 On donne un entier b supérieur ou égal à 2. Un signal de période T est représenté par le graphique ci-dessous : Ce signal peut être décrit par la fonction périodique y, de période T, d'amplitude maximale maxV définie sur [ [0 ; T par : ( ) ( ) si 0 , si 0 max Tt , y t V b T t T , y t b ≤ ≤ = < < = On sait que la décomposition harmonique de ( )y t s'exprime par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 o cos sin cos sin avec k ky t Y A t B t ... A k t B k t ... T π? ? ? ? ?= + + + + + + = On donne : ( )0 0 1 TY y t dt T = ∫ et pour 1k ≥ ( ) ( ) 0 2 cos T kA y t k t dtT ?= ∫ , ( ) ( ) 0 2 sin T kB y t k t dtT ?= ∫ 1) Que représente 0Y pour la fonction y. Calculer 0Y en fonction de maxV et b.

  • signal périodique

  • représentation graphique du spectre nc du signal

  • mrbt session

  • coefficient de fourier

  • sin

  • décomposition harmonique

  • représentation graphique

  • expression du polynôme de fourier d'ordre


Publié le : mardi 19 juin 2012
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http://maths-sciences.frPro indus Bac EXERCICES SUR L’APPROXIMATION D’UN SIGNAL PÉRIODIQUE Exercice 1 On donne un entierbsupérieur ou égal à 2. Un signal de périodeTest représenté par le graphique ci-dessous :
Ce signal peut être décrit par la fonction périodiquey, de périodeT, d'amplitude maximale Vdéfinie sur[0 ;T[par : max T si 0t,y(t)=V , max b T si<t<T ,y(t)=0 b On sait que la décomposition harmonique dey t)s'exprime par : 2 = + + + + + +ω=y(t)YoA1cos(ωt)B1sin(ωt)... Acos(kωt)Bsin(kωt)... avec k k T T 1 On dot dY y nne :0=( )tT 0 et pourk1T T 2 2 A=y t kωt dt,=y tsinkωtdtk( )cos( )k( ) ( ) ∫ ∫ T T 0 0 1) Que représenteYpour la fonctiony. CalculerYen fonction deVetb.0 0max 2) CalculerAfonction deet en Vetb.1 1max (D’après sujet de Bac Pro Maintenance de l’audiovisuel électronique Session 1988) Exercices sur l’approximation d’un signal périodique 1/10
http://maths-sciences.frPro indus Bac Exercice 2 On considère un signalupériodique dont l'expression du polynôme de Fourier d'ordre 7 est : 5 10 10 10 10 u(t)= +sin(1000t)sin(3000πt)+sin(5000πt)sin(7000πt)2π3π5π7π -u(t)est une tension exprimée en volt (V) - les fréquences sont exprimées en Hertz (Hz) 1) Donnez la valeur moyenne du signalu. 2) Déterminez la fréquence du fondamental du signal. 1 3) Construisez la représentation graphique du spectreCdu signal pour des fréquences n appartenant à l'intervalle [0 ; 3 500]. On rappelle que l'amplitudeCde la raie d'ordrendu spectre est telle que : n 2 2 C=a+bn n n Prenez comme échelles : axe des abscisses : 1 cm pour 250 Hz. axe des ordonnées : 2 cm pour 1 V. (Utilisez une feuille de papier millimétré.) (D’après sujet de Bac Pro Maintenance des réseaux bureautiques et télématiques Session 1994) Exercice 3
On considère le signal s ayant la forme d'onde apparaissant sur le schéma (où2π). sa pour période2. τ τ s(t)=1 si -t2 2 τ s(t)=0 si<t<2π2 2 1) On suppose que=π. Etablir la relation générale pour calculer les coefficients de Fourier. 2) Calculer les coefficients de Fourier jusqu'au rangn =5. (D’après sujet de Bac Pro MRBT Session 1990)
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http://maths-sciences.fr Bac Pro indus Exercice 4 Le signaluest un signal périodique de périodeT (T> 0) défini sur\. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Ot,Oy) : - les points,A, B, Cet D ont pour coordonnées respectives :  −T T T 3T; 5 , ; 5,et ; ; 0 0.        4 4 4 4 −T3T- la représentation graphique du signalusur l'intervalle  considéré constituée; est   4 4des segments de droitesABetCD
1) Donner la représentation graphique, dans le plan rapporté au repère (Ot,Oy), du signalu −T Tconsidéré sur l'intervalle ;   2 2On rappelle que les coefficients de Fourieranetbndu signalusont donnés par les formules : T 1 2π a=u t dtet en posant :ω=0( ) T T 0 pour toutnentier strictement positif (n> 0) T T 2 2 a=u tsnωt dt etb=u tsinnωt dtn( )co( )n( ) ( ) ∫ ∫ T T 0 0 2) Indiquer quelle sont, pour tout entiern strictement positif (n>0), les valeurs des coefficients de Fourierbndu signalu. 3) Déterminer la valeur deu(t)pour : T T T T T T a)− ≤t< − b)− ≤t< c)t<2 4 4 4 4 2 4) Calculera0. Calculer, pour tout entiernstrictement positif (n>0), la valeur du coefficient de Fourierandu signalu. 5) Indiquer ce que représente le nombrea0pour le signalu.(D’après Bac Pro Maintenance audiovisuel électrique Session 1996)
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http://maths-sciences.fr Bac Pro indus Exercice 5 T La transmission d'un signalsest une suite périodique d'impulsions rectangulaires de durée 2 défini par la fonction notée é alementsrésentée ci-dessous et de période, re T.
T T s(t)=2 si -t4 4 T T s(t)=0 si<t<T4 4 Les coefficients de Fourieranetbnsont donnés, pour toutn1par : 4n a=sin ;b=0. n n nπ4 1) Exprimer l'amplitudeCde la raie d'ordrendu spectre du signal pour1n5. n 2) Effectuer une représentation graphique du spectre de raies. (D’après sujet de Bac Pro MRBT Session 1991) Exercice 6 SoitV, la tension périodique de périodeT, telle que : Ttsi 0t,V(t)=25 sin π,   2TT si<tT ,V(t)=0 2 1) Représenter graphiquement cette tension pour0t2Tdans un repère orthonormal tel que : en abscisse, 6 cm représentent une période ; en ordonnée, l'unité graphique est le cm. 2) Déterminer les coefficients de Fouriera0,a1,b1de la fonctionV. T 12 3)a) Calculer l'intégraleE=V(t)dtqui représente l'énergie moyenne du signal sur une T 0 période. 1 2 2 2 ) Calculer le noE=a+a+bqui représente l'énergie moyenne transmise sur b mbre1 0(1 1) 2 une période par le fondamental et la première harmonique. 1 c) Calculer .
(D’après sujet de Bac Pro Maintenance audiovisuel électronique Session 1992) Exercices sur l’approximation d’un signal périodique 4/10
http://maths-sciences.fr Bac Pro indus Exercice 7 Un signals, de périodeT=2, est représenté par une fonctionfdont la courbe représentative est donnée sur l'intervalle[20 ; π.
1) a) Représenterfsur[2π; 2π. b) A partir de la représentation graphique, étudier la parité def. 2) a) Montrer, par exemple par des considérations d'aires, quea0 etan sont nuls pour tout entiersn. b) Montrer que l'on a : π π/2 2 2V b=f(t)sin(nt)dt=sin(nt)dt∫ ∫ n π π 0π/6 c)Calculerb1etb2. d) En déduire le polynôme trigonométrique d'ordre 2 associé au signal. Exercice 8 Le polynôme de Fourier d'ordrend'un signal périodique est donné par : P ( t )=a+acos(ωt)+bsin(ωt)+acos(2ωt)+bsin(2ωt)+...+acos(nωt)+bsin(nωt) n1 2 20 1 n n Un signal temporelsest périodique, de périodeT. Le polynôme de Fourier d'ordre 5 associé à ce signal est le suivant : π4 4 4 P(t)=cos(100πt)cos(300πt)cos(500πt) 5 2π9π25π 1) Exploitation du polynôme de Fourier d'ordre 5 :P5(t) a) Quel terme représente l'harmonique fondamentale ? b) En déduire la pulsation , la fréquencefet la périodeTdu signal. c) Quelle est la composante continuea0de ce signal ? d) Identifier les coefficients de Fourier :aket bkpourkvariant de 1 à 5.
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http://maths-sciences.fr Bac Pro indus 2) Représentation spectrale a) Calculer l'amplitude des raies spectralesCkpourkvariant de 1 à 5. b) Construire sur le graphique ci-dessous la représentation spectrale du signal pour les fréquences comprises dans l'intervalle [0 ; 250 Hz]. On rappelle que l'amplitude de la raie d'ordrekest donnée par la relation : 2 2 C a+bk k k
3) Énergie du spectreEsCalculer l'énergie transportée par les 5 premiers harmoniques du spectre :E5-3 Donner le résultat avec une précision de 10 . Formule de Parseval : 12 2 2 2 2 2 E=a+ a+b+...+a+b+...+a+b  n10 1 k k n n 2 4) Énergie du signalESur une période ce signal est défini par : s(t)= −100πt sit[0,01 ; 0 s(t)= +100πt sit[0 ; 0,01[ Le temps est exprimé en secondes. T 2 12 L'énergie du signal est donnée par l'intégrale :E=s(t)dtT T 2 a) CalculerE. -3 Montrer que sa valeur approchée à 10 près est 3,290 J. b) Calculer
Quelle est, en pourcentage, l'énergie relative transportée par les 5 premiers harmoniques du spectre ? (D’après sujet deBac Pro Maintenance réseaux bureautique télématique session septembre 2001)
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http://maths-sciences.frPro indus Bac Exercice 9 Les nombresTetIMsont deux nombres strictement positifs donnés.
Le diagramme ci-dessus est la représentation graphique, dans le plan rapporté au repère orthogonal (Ot, Oy),du signalisur\et périodique de périodeT. T TLa représentation graphique du signaliconsidéré sur l'intervalleconstitué des; est   2 2deux segments de droite [AO] et [OB] tels que : T - le pointAa pour coordonnées; , M2 - le pointBest le point symétrique du pointApar rapport à l'axe (Oy). 1) Indiquer quelle est la parité du signali.Justifier votre réponse. 22) On considère la fonctiongdéfinie sur\part6i(t)sint  T2.1) Montrer quegTest une fonction impaire. 0T /2 2.2) En admettant queg(t)dt= −g(t)dt ,calculer la valeur du coefficient de Fourier ∫ ∫ T /2 0 b1deisachant que : T /2 22π= ⋅sin b1i(t)tdt TTT /2 T3.1) Pour touttde l'intervalle donner une expression algébrique de0 ; i(t)en fonction de   2t. 3.2) Calculer le coefficient de Fouriera0deisachant que : T /2 2 a=i(t)dt0 T 0 24.1) Vérifier que la fonctionfdéfinie sur\part6i(t)costest une fonction paire.   T
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http://maths-sciences.fr Bac Pro indus 0T /2 4.2) En admettant que(t)dt=f(t)dt,montrer que : ∫ ∫ T /2 0 T /2T /2 (t)dt=2f(t)dt∫ ∫ T /2 0 4.3) Montrer que la fonctionFdéfinie sur\par : 2   ×Iπ π 2MT2 T 2t6tsint+ ⋅cost        T2πT2πT          est une fonction primitive de la fonctionfdéfinie précédemment. 4.4) Calculer la valeur exacte du coefficient de Fouriera1deisachant que : T /2 22π= ⋅ta1i(t)costd T T   T /2 (D’après sujet de Bac Pro M.A.V.E.L.E.C. Session 1998) Exercice 10 Partie I(D'après une étude du signal de commande d'un moteur cabestan). 1 T.désigne le nombre 24 000 Partie A Dans le plan rapporté au repère orthogonal (Ot, Oy)d'unités graphiques 48 000 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée, le signalul de la variablet, défini sur\et périodique de périodeT, admet comme représentation graphique sur l'intervalle [0 ;T] l'ensemble constitué du segment de droite [AB] et du segment de droite [CD] privé des pointsCetDtels que : le pointAa pour coordonnées (0 ; 5) le pointBa pour coordonnées (0,5t; 5) le pointCest le projeté orthogonal deBsur l'axe (Ot) le pointDest le point de l'axe (Ot) d'abscisseT.
1) Calculer la valeur moyennem1, du signalu1, sur l'intervalle [0 ; T]. b 1 On rappelle que la valeur moyenne du signalssur l'intervalle [a;b]est égale à)dts( t . ba a 2) Calculer les coefficients de Fouriera1et b1du signalu1 périodique de périodeT sachant que :
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http://maths-sciences.frPro indus Bac T T 22π22π=t dta1u1(t)cos etb=u(t)sint dt∫ ∫   1 1 TTTT0 0 -1 (donner les résultats demandés arrondis à 10 ). Partie B1) Soit le signalu2de la variablet, défini sur\et périodique de périodeTtel que : u(t)=5 pour 0t0,4T 2 u(t)=0 pour 0,4T<t<T 2 1.1) Sur la figure ci-dessous, tracer dans le plan rapporté au repère (Ot, Oy)la représentation graphique du si nalu2.
1.2) Calculer la valeur moyennem2du signalu2sur l'intervalle [0 ;T]. 2) Soit le signalu3de la variablet, défini sur\et périodique de périodeTtel que : 5 pou u3(t)=r 0t0,6T u(t)=0 pour 0,6T<t<T 3 2.1) Sur la figure ci-dessous, tracer dans le plan rapporté au repère (Ot,Oy)la représentation graphique du si nalu3.
2.2) Calculer la valeur moyennem3du signalu3sur l'intervalle [0 ;T]. 3) Le signaluest tel que : pour touttde l'intervalle [0 ; 200T]u(t)=u(t)l 600T]=u tpour touttde l'intervalle [200T;u t)2( ) pour touttde lT; 1 20u t=u t'intervalle [600 0T])3( ) Exercices sur l’approximation d’un signal périodique 9/10
http://maths-sciences.fr Bac Pro indus Sachant que : 1200T200T600T1200T 1 1 1 1 u t dt u t dt u t dt ( )=1( )+2( )+u3(t)dt∫ ∫ ∫ 1200T1200T1200T1200T 0 0 200T600T et que 200T600T1200T 1m m1m 1 2 3  ; u1(t)dt=u2(t)dt= ;u3(t)dt=∫ ∫ 1200T12006 3 T2 0 200T600T calculer la valeur moyenne du signalusur l'intervalle [0; 1 200T] (donner la valeur exacte). Partie IIÉtude et représentation d'un signal On considère le signalsde la variabletdéfini sur\par : s(t) = 10+9cos(10ωt)+cos(30πt)1) Le signalsest la somme des trois signaux élémentairesf,gethde la variabletdéfinis sur \respectivement par : (t)=10 ;g(t)=9cos(10πt)et h(t)=cos(30πt).Déterminer la période du signal sinusoïdalg, ainsi que celle du signal sinusoïdalh. Montrer que la période du signalgest aussi une période du signals. 2) Montrer que le signalsest un signal pair. 3) Montrer que, pour tout nombretréel,0s(t)204) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant t 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 Valeur arrondie -2 des(t) à 10 5.1) Déterminer le signal dérivés'du signals. 5.2) En sachant que, pour tout nombre réelt, sin(30t)=sin(10πt)cos 20πt)+sin 20πt)cos(10πt) et sin(20πt)=2sin(10πt)cos(10πt) montrer que, pour touttréel, sin(30t)=sin(10πt)cos 20πt)+2sin 10πt)cos²(10πt) et s'(t)=(-30πsin (10πt))(2cos²(10πt)+cos(20πt)+3) 5.3) Vérifier que, pour toutt réel,(2cos²(10πt)+cos(20πt)+3)2; en déduire que, pour touttréel, le signe des'(t)est le même que le signe de(-sin 10t)). 5.4) Pour touttde l'intervalle [0 ; 0,1], étudier le signe desin 10t). 5.5) Déduire de ce qui précède le sens de variation, sur l'intervalle [0 ; 0,1], du signals(justifier la réponse donnée). 6) Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (Ox, Oy)d'unités graphiques 50 cm sur l'axe des abscisses et 0,5 cm sur l'axe des ordonnées, représenter graphiquement le signals considéré sur l'intervalle [- 0,l ; 0,2]. (D’après sujet de Bac Pro M.A.V.E.L.E.C. Session 1999)Exercices sur l’approximation d’un signal périodique 10/10
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