EXERCICES SUR LES INTÉGRALES

Publié par

Niveau: Secondaire, Lycée
Bac Pro indus Exercices sur les intégrales 1/6 EXERCICES SUR LES INTÉGRALES Exercice 1 Donner les primitives des fonctions f, g, h et k. ( ) ( 1)f x x x= ? ; ( ) x xg x e e?= + ; ( ) sin cosh x x x= + ; 1 1( ) ? k x x x = ? Exercice 2 Calculez les intégrales suivantes : 1 0 (3 4)A x dx= ?∫ ; 1 2 1 ( 5)B x dx ? = +∫ ; 23 1 21 ? C dx x ? ?= +? ?? ?∫ ; 2 1 3dxD x = ∫ 3 2 2 xE e dx= ∫ ; 2 0 cosF xdx π = ∫ ; sinG xdxπ π? = ∫ ; 3 0 (1 cos3 )H t dt π = ?∫ Exercice 3 La découpe en arrondi d'une pièce peut être décrite par l'intermédiaire de la fonction numérique f définie sur l'intervalle ]0 ; 4] par : 2( )f x x = ? Calculer 2 1 ( )f x dx∫ . On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième. (D'après sujet de Bac Pro P.

  • repère orthonormal

  • repère orthonormal d'axes

  • aire de la surface hachurée

  • plan rapporté

  • axe de symétrie

  • surface libre du liquide


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 537
Source : maths-sciences.fr
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins
http://maths-sciences.frBac Pro indusEXERCICES SUR LES INTÉGRALES Exercice 1 Donner les primitives des fonctionsf,g,hetk.1 1 xx f(x)=x(x1) ;g(x)=e+e ;h(x)=sinx+cosx ;k(x)= −x² Exercice 2 Calculez les intégrales suivantes : 2 113 2 223dx A=(3x4)dx ;=(x+5)dx ;C=1+dx ;D=  x²1 011 ππ 3π 2 3 2x E=e dx ;F=cosxdx ;G=sinxdx ;H=(1cos 3t)dt∫ ∫ 20π0 Exercice 3 La découpe en arrondi d’une pièce peut être décrite par l’intermédiaire de la fonction numériquefdéfinie sur l’intervalle ]0 ; 4] par : 2 f(x)= −2 Calculer (x)dx. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième. 1 (D’après sujet de Bac Pro P.M.S Session 1992)Exercice 4 2 Soit la courbe représentative de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]1 ; 7] par :f(x)=. 1  2  1  02 5 Dans le repère, orthogonal ci dessus, les unités graphiques sont 1 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée. Calculer l’aire du domaine plan hachuré au mm² près.(D’après sujet de Bac Pro Outillage Session 1992)Exercices sur les intégrales1/6
http://maths-sciences.frBac Pro indusExercice 5 G G La figure donnée représente le profil d’une pièce dans un repère orthonormal(O,i,j)d’unité graphique 2 cm.Les coordonnées des pointsA,B,C,D:, sontA2),(1 ;B(2 ;2),C(5 ;0,8), D(5 ; 0). O 1)L’arcOBest un arc d’une paraboleP. L’équation de cette parabolePest de la forme :y=ax² +bx;aetbréels. En écrivant que la parabolePpasse par le pointAet par le pointB, déterminer les nombresaetb. 2)Pour toute la suite du problème, on admet : -que l’arc de courbeOB estla représentation graphique de la fonctionfsur définie l’intervalle [0 ; 2] par :(x)=-x²+3x-que l’arc de courbeBCla représentation graphique de la fonction estgsur définie 4 l’intervalle [2 ; 5] par :g(x)=.
On se propose de déterminer l’aire de la surface hachurée : 2 a) Calculer l’intégrale=(x²+3x)dx0 5 4 b) Calculer l’intégraleJ=dx2 c) En utilisant les résultats précédents calculer, en unité d’aire, l’aire de la surface hachurée.(D’après sujet de Bac Pro Définition des produits industriels Session 1994)
Exercices sur les intégrales2/6
http://maths-sciences.frBac Pro indusExercice 6 Un élément de bois servant à l’élaboration d’un coffrage a la forme ci-dessous. G G On considère le repère orthonormal(O,i,j), d’unité graphique 1 cm. 1)Montrer que l’équation de la paraboleP d’axe(yy), de sommetSpassant par etA, est 3 y=x²+1.5 2)On se propose d’évaluer l’aire, en dm², du domaine hachuré. a)Calculer l’aireA1, du domaineAHOSpar l’arc délimitéAS dela paraboleP, l’axe (xx) et les droites d’équationsx= -4 etx= 0. b)Calculer l’aireA2du domaine hachuré. y 6  4B A arc de paraboleLes cotes sont en dm 4etCK=AB5  12,6 S G  Cj1 G xOK Hi x  2 yDE(D’après sujet de Bac Pro Bâtiment Session 1992)Exercices sur les intégrales3/6
http://maths-sciences.frBac Pro indusExercice 7 La cuve sphérique de centreO, de rayonR= 1 m, représentée ci dessous, contient un liquide dont la surface libre est située à la cotex(en mètres). La surface libre du liquide est le disque de centreCet de rayonCA. 1)En considérant le triangleOCA, rectangle enC, vérifier queOC= 1 –x2)Déterminer l’expression deCA² en fonction dex. 3)En déduire que l’expression de l’aire de la surface libre du liquide, en fonction dex, est : S(x)=2πxπxen m²)² (aire  Vérifierl’expression obtenue pour les  valeursparticulières suivantes dex: 0 ; 1 ; 2. 2 4)Calculer l’intégraleV=(2πxπx²)dx, 0 3  quireprésente le volume en mde la cuve.  (D’après sujet de Bac Pro Définition produits industriels Session 1993)Exercice 8 Une autoroute doit couper une voie ferrée. Une entreprise est chargée de construire un pont par dessus la voie ferrée pour laisser passer l’autoroute. La longueur totale du pont est de 8 m ; sa hauteur de 6 m (voir figure : pont de face). 8 y C 6 h 1 A O1x B 3 L’ouverture est limitée par un arc de parabole de hauteurh= 4 m et d’axe de symétrie (Oy). Les pointsA etB sonttels queOA =OB =3 m. Pour des raisons de sécurité, l’aire de l’ouverture doit être inférieure ou égale au tiers de l’aire totale de la façade. 1)On considère le repère orthonormal d’axes (Ox) et (Oy) où 1 cm représente 1 m. Une équation de la parabole dans ce repère est de la forme :y=ax² +c. Déterminerc, puisa. 4 3 2)Calculer l’intégraleIdéfinie par=[x²+4]dx. 0 9 Donner une interprétation géométrique de cette intégrale. 3)Vérifier que cette ouverture correspond aux normes du cahier des charges. (D’après sujet de Bac Pro Travaux publics Session 1993)
Exercices sur les intégrales4/6
http://maths-sciences.frBac Pro indusExercice 9 1) Sur la figure ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormal (Ox, Oy) d’unité graphique 3 cm, on considère les points A et B ayant respectivement pour coordonnées (-1 ; 0) et (1 ; 0). a) Placer les pointsAetB. b) Tracer le cercleCde diamètre [AB]. c) Montrer que l’une des équations du cercleCest :x²+y²=1 . d) Indiquer quelle est la partie du cercleCdont une équation esty=1x². 2) Le signaluest le signal défini sur\et périodique de période 2 tel que pour tout réelxde l’intervalle [-1 ; 1] :u(x)=1x². a) Tracer en rouge, dans le plan rapporté au repère (Ox,Oy) la courbe représentative du signal uconsidéré sur l’intervalle [-2 ; 2]. 1 b) Calculer[u(x)]²dx. 1 c) En utilisant la réponse donnée à la question 2) a), interpréter graphiquement l’intégrale 1 u(x)dx, puis en déduire sa valeur exacte. 1 d) Calculer les valeurs exactes de la valeur moyenne et de l’énergie moyenne du signalusur l’intervalle [-1 ; 1]. 2 1 0 −2 −10 1 2 −1 −2 (D’après sujet de Bac Pro Industriel Session 1998) Exercices sur les intégrales5/6
http://maths-sciences.frBac Pro indusExercice 10 On considère la fonctionfdéfinie sur [0 ;π(] parx)=2(1+cosx) . 1) Tracer la courbe représentative dans un repère orthonormal (unité : 4cm sur chaque axe). 2) On considère le domaine plan défini par :0xπet 0yf(xCalculer en cm² l’aire) . de ce domaine. (D’après sujet de Bac Pro E.I.E Session 1991)Exercice 11 Une pièce de verre, initialement froide, est portée rapidement à la température de 550°C puis on la laisse immédiatement refroidir. On admet alors que le tempst2nécessaire pour obtenir un refroidissement de 550°C à 450 °C est donné, en minute, par l’intégrale : 100 0,0347x t=e dx 2 0 0,0347x 1) Déterminer une primitive de la fonctiongdéfinie sur\parg(x)=e. 2) Calculert2et donner la valeur arrondie à la minute det2. (D’après sujet de Bac Pro E.I.E Session 1994)
Exercices sur les intégrales6/6
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.