Exercices sur les nombres complexes

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Niveau: Secondaire, Lycée
Terminale Pro Exercices sur les nombres complexes 1/7 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 Une minuterie est alimentée par une tension alternative sinusoïdale U(t) = Um ? sin(?t + ?). À un instant cette tension est représentée par un vecteur de Fresnel ?U dont les coordonnées sont (190 ; - 130). L'affixe de ?U est le nombre complexe z = 190 + j ? (-130). 1) Représenter le vecteur ?U ci-dessous. 2) Déterminer graphiquement le module et l'argument du nombre complexe z. 3) Calculer le module ? du nombre complexe z. Arrondir le résultat au dixième. 4) Calculer l' argument ? du nombre complexe z. Arrondir le résultat au dixième. 5) Écrire le nombre complexe z sous la forme trigonométrique. 20 200 0 20 (D'après sujet de Bac Pro ELEEC Session juin 2008)

  • tension d'entrée ve

  • ?? ?

  • affixe z3

  • vecteur om

  • calculer ?

  • mrbt session

  • coordonnées du vecteur om

  • point m2

  • point m1


Publié le : mardi 19 juin 2012
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http://maths-sciences.frPro Terminale EXERCICES SURLES NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 Une minuterie est alimentée par une tension alternative sinusoïdaleU(t) = Umsin(t+). À un instant cette tension est représentée par un vecteur de FresnelU dont les coordonnées sont (190 ;  130). L'affixe deUest le nombre complexez= 190 +j(130). 1) Représenter le vecteurUcidessous. 2) Déterminer graphiquement le module et l'argument du nombre complexez. 3) Calculer le moduledu nombre complexez. Arrondir le résultat au dixième. 4) Calculer l' argumentdu nombre complexez. Arrondir le résultat au dixième. 5) Écrire le nombre complexezsous la forme trigonométrique.
(D’après sujet de Bac Pro ELEEC Session juin 2008)
Exercices sur les nombres complexes 1/7
http://maths-sciences.frPro Terminale Exercice 2 On note :jle nombre complexe de module 1 et dont un argument est π/2• P le plan muni du repère orthonormal directd'unité graphique 1 cm. 1) Soit le nombre complexeztel quez= 44j. a) Placer, dans le plan P, le pointMd'affixez. b) Donner les coordonnées du vecteur . 2) Soit le nombre complexeztel quez= 44j. a) Calculer la valeur exacte du module du nombre complexez. b) Calculer l'argument, compris entre π et +π du nombre complexez. 3) a) Donner la valeur exacte de la norme du vecteur . b) Donner la mesure exacte, en radian, comprise entre π et +π de l'angle.
4) On associe au vecteur
la fonction sinusoïdaleudéfinie par :
• pour tout nombre réelt, par
.
a) Calculer la période de la fonctionu. b) Calculer la valeur exacte deu(l /400). (D’après sujet de Bac Pro Électrotechnique  Électronique Session juin 2000)Exercice 3 L est l’inductance d’une bobine et C est la capacité d’un condensateur.La figure suivante montre un circuit LC parallèle, alimenté par un courant électrique sinusoïdald’intensitéiet de tensionutelle queu= Usin (100t).
Il y a phénomène d’antirésonnance si LC² = 1 1) a) Écrire la valeur exacte de la pulsationdu signal de tension u.b) Sachant que L = 10 mH, calculer C pour qu’il ait antirésonnance. Arrondir auF. 2) Les impédances complexes ZLet ZCde la bobine et du condensateur sont telles que : ZL= jL et ZC= j COn peut calculer l’impédance complexegrâce aux formules :Z du circuit ZLZC   Z = ou = + ZLZCZ ZLZC Exprimer Z sous la forme algébriquea+ jb, en fonction de L, C et=. On rappelle que j. j (D’aprèssujet de Bac Pro MRBT Session 2000) Exercices sur les nombres complexes 2/7
http://maths-sciences.fr Terminale Pro Exercice 4 Dans le graphique cidessous, le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 0,01 cm. On notej.le nombre complexe de module 1 et dont un argument est
Soit les deux nombres complexesz1etz2tels que :  z1= 250
z2a pour module 250 et l'un de ses arguments est égal à
.
1) a) Placer sur le graphique les pointsM1etM2d'affixes respectivesz1etz2. b) Placer le pointM3dont l'affixez3est égale à z1c) Construire à partir des pointsM2etM3le pointSdont l'affixezest égale àz2+z3. d) Par lecture graphique, proposer une valeur pour chacune des coordonnées du pointS.
2) Le nombre complexez2est égal à
On rappelle
et
.
a) Vérifier quez2= 125+j125 . b) Déterminer l'écriture algébrique exacte du nombre complexe z = z2+ z3
100  O 100 (D’aprèssujet de Bac Pro Équipements et Installations Électriques Session juin 2002) Exercices sur les nombres complexes 3/7
http://maths-sciences.fr Terminale Pro Exercice 5On note : jle nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
le plan muni du repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm. Soit le nombre complexeztel quez= 4  4j. 1) a) Placer, dans le plan , le pointMdff'aeixz. b) Donner les coordonnées du vecteur . 2) a) Calculer la valeur exacte du module du nombre complexez. b) Calculer l'argument, compris entre et , du nombre complexez. 3) a) Donner la valeur exacte de la norme du vecteur . b) Donner la mesure exacte, en radians, comprise entre et , de l'angle . 4) On associe au vecteur la fonction sinusoïdaleudéfinie, pour tout nombre réelt, par :
a) Calculer la période de la fonctionu.
b) Calculer la valeur exacte de
.
O (D’aprèssujet de Bac Pro Équipements et Installations Électriques Session 2000)Exercices sur les nombres complexes 4/7
http://maths-sciences.frPro Terminale Exercice 6 Un circuit électrique est alimenté par une tension d’entréeuvariant en fonction du tempst.
La fonction de transfert en régime sinusoïdal du circuit, constitué par une résistance de valeur 7 R = 1 000 Ω et par un condensateur de capacité C = 10F ,a pour expression : T =
avec R en Ω , C en F eten rad/s. j désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument
.
4j 1) Montrer que, pour= 210rad/s, l’expression de T peut s’écrire: T = j 2) Calculer (1 + 2j)(12j) 3) En utilisant le résultat précèdent, montrer que T = 0,8 + 0,4j. 4) Calculer le module du nombre complexe T. Le résultat sera arrondi au millième. 5) Calculer un argument du nombre complexe T. Le résultat sera arrondi au centième de radian. (D’après sujet de Bac Pro Microinformatique et Réseaux Session juin 2009) Exercice 7Un circuit électronique a une tension d'entréeVe, et une tension de sortiey(t) qui dépend du tempst.
Pour une valeur fixée de la fréquence, la fonction de transfert du circuit cidessus a pour expression :
jdésigne le nombre complexe de module 1 et d'argument
.
1) Donner le conjugué de . 2) Calculer . 3) En utilisant les résultats précédents, montrer que . 4) Calculer le module deT, noté . 5) Calculer un argument deTarrondi au degré. (D’aprèssujet de Bac Pro MAVELEC Session 2001) Exercices sur les nombres complexes 5/7
http://maths-sciences.frPro Terminale Exercice 8
Un dipôle D parcouru par un courant d'intensitéiest soumis a une différence de potentielu telle que : u(t) = 230×sin (t) On associe àu(t)le nombre complexe U ayant pour moduleU= 230 V et pour argument = rad. [ ] U =U ;= [ 230 ; 0 ] R L'impédance complexe Z du dipôle D a pour expression : Z = R + jRC3 4 avec R = 10; C = 0,1F ;rad/s et où = 10 j designe le nombre complexe de module 1 et d'argument . 1) Montrer qu'avec les valeurs numériques de R, C et, l'impédance complexe Z a pour 3j expression Z = 10j 2) Vérifier que Z a pour forme algébrique Z = 1 500500j. 2 3) a) Calculer le moduleZde Z Le résultat sera arrondi à 10.2 b) Calculer un argument2de Z. Le résultat, en radian, sera arrondi à 10 . c) En déduire l'expression de Z sous forme trigonométrique UmoduleU 4) On rappelle que :I= moduleI = ZmoduleZ  argument(I) = argument(U)argument(Z) Sachant que l'intensité du courant traversant le dipôle a pour expression : i(t)=Isin (t+) Donner l'expression de la valeur instantanéei(t)de l'intensité du courant, la valeurIdu module deIsera arrondie au millième. (D’après sujet de Bac Pro MRIM Session juin 2007) Exercices sur les nombres complexes 6/7
http://maths-sciences.frPro Terminale Exercice 9 On applique une tensionude fréquence variablefà l’entrée d’un filtre passebas : Filtre R uC Ce filtre atténue ou « arrête » les tensions de fréquences supérieures à la fréquence
On appelle gain (en décibel) du filtre le nombre : G = 20logT où log est le logarithme décimal et où T est le module du nombre complexe :
On rappelle que j désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument
.
1) On donne: R = 100 Ω C = 63 μF= 2 πf avecf= 50 Hz. 2 Calculer RC., où la capacité C doit être exprimée en Farad. Arrondir à 10 2) On admet que .
En multipliant le numérateur et le dénominateur de par le nombre complexe (11,98j), montrer quepeut s’écrire. 2 3) a) Calculer le module du nombre complexe . Arrondir à 10 . b) En déduire le gain G du filtre. Arrondir à l’unité.(D’aprèssujet de Bac Pro ELEEC Session 2006)
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