FESIC 2001 concours commun post bac s

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Concours d’entr´ee FESIC 2001Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace) est−→ →−rapport´e`aunrep`ere orthonormal direct (O, ı, )=(O xy) (respective- →−−→ →−ment O, ı, , k =(Oxyz)).Exercice 1Soit f la fonction d´efinie sur I = ]−∞, 1] par√f(x)=2x 1− xetC sa courbe repr´esentative. On d´esigne par T la tangente `alacourbeC aupoint d’abscisse x=0.2− 3xa) Pour tout x<1, on a : f (x)=√ .1− x√4 3b) Pour tout x∈ I, on a : f(x) .9c) Une ´equation cart´esienne de T est y =2x.d) La courbeC est au-dessus de T.Exercice 2Soit f et g les fonctions d´efinies sur I = ]−∞, 1] par−x xf(x)=ln(x+1)+e et g(x)=e − (x+1).a) La fonction g est positive sur I.−xeb) Pour tout x∈ I, on a : f (x)= g(x).x+1c) La fonction f est bijective de I sur ]0, +∞[.d) Il existe un unique r´eel α dans I tel que f(α)=0.Exercice 3Soit f la fonction d´efinie surR parxf(x)=(−x+3)e ,Concours FESIC 2001 2et C sa courbe repr´esentative.a) Pour tout x>0, on a : f(x)−x+3.b) La droite d’´equation y = 0 est asymptote al` acourbeC.c) La fonction f admet un unique extremum.2d) Pour tout r´eel m =e,l’´equation f(x)=m admet soit 0 soit 2solutions.Exercice 4Soit f la fonction d´efinie par 2x xf(x)=ln e − e +1 ,D son ensemble de d´efinition et C sa courbe repr´esentative.a) On a :D =R.−x −2xb) Pour tout x∈D,ona:f(x)=2x+ln(1− e +e ).c) La courbe C admet la droite d’´equation y =2x comme asymptote en+∞.d) La courbeC admet une unique tangente ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concoursdentr´eeFESIC2001
Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementlespace)est rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, , ı) = (Oxy) (respective-  ment O, ı, k, = (Oxyz) ).
Exercice 1 SoitfcnitalofI=]esureniond´− ∞,1] par
f(x) = 2x1x etCise´penglTranataesr´taenvetind.Ogente`alacourbeeperrbouacsCau point d’abscissex= 0. 23x a)Pour toutx <1, on a :f(x) =. 1x 4 3 b)Pour toutxI, on a :f(x). 9 c)neenTedertcasi´eauqenoitts´enUy= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.
Exercice 2 Soitfetgsdontincfoesl]ru=Ieisse´n− ∞,1] par
x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. x e b)Pour toutxI, on a :f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+[. d)ree´inuqueunixtseellIαdans I tel quef(α) = 0.
Exercice 3 Soitfneiusr´endioctonaflRpar
x f(x) = (x+ 3)e,
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etC´esereprurbesacovi.etnta a)Pour toutx >0, on a :f(x)x+ 3. b)n´equatiodetiordaLy=0estabea`alocruyspmotetC. c)La fonctionfadmet un unique extremum. 2 d)eltr´etruoPuomnoitauql´e=e,f(x) =madmet soit 0 soit 2 solutions.
Exercice 4 Soitfinerapelafonctiond´   2x x f(xe) = ln1e +, Dtenotinied´desleemnbosneCperebruocas.tiveentar´es a)On a :D=R. x2x b)Pour toutx∈ D, on a :f(x) = 2x+ ln (1e +e ). c)La courbeCde´uqtaalrdioetadnmoeity= 2xcomme asymptote en +. d)La courbeCangequetaralntepamdueintenule`lla`eexaO(x).
Exercice 5 Soitfsurlfanotcoidne´neiRpar   2 f(x) =xsin. x   4 4 a)On a :f= . π π b)On af(x) = 0 si et seulement s’il existe un entier relatif non nulktel 1 quex= . c)On a : limf(x) = 1. x0 d)On a :limf(x) = 2. x+Exercice 6 Pourtoutcoupleder´eelsaetbtels que (a, b)= (0,´enditn,o0)usr ]0,+[ la fonction
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lnx fa, b(x) =ax+b+ x et on noteCa, basocru.entseivatrebe´epr a)Pour tout couple (a, b)= (0,auit´qetidedaor0),lony=ax+best asymptotea`lacourbeCa, b. b)Pour tout couple (a, b)= (0,lim0), on a :fa, b(x) =b. + x0 c)Il existe une unique courbeCa, bssanpalepotparesocedAtnie´nnodro (1, 1). d)Il n’existe pas de courbeCa, baptnpelrpassaoordonn´ointBdecees (1,ntgeanetunnBteandala`ele`llarapetionequaed´roittedaemtt)0y= 2x.
Exercice 7 Soitnun entier naturel non nul etIninperaed´ 1 n In+= (1x) ln(1 +x)dx. 0 a)Pour toutx[0 ;1], on a : 0ln(1 +x)ln 2. b)Pour toutnN, on a : 0In2 ln 2. c)La suite (In)et.ssnarciodte´es nN d)La suite (In)converge vers 0. nN
Exercice 8 Soitnun entier naturel non nul etInienrpa´ed 1 n1x In=xe dx. 0 a)On a : I1= e1. b)La suite (In)est croissante. nN 1 e c)Pour tout entiern >0, on a :In. n+ 1n+ 1 d)La suite (In)ne tend pas vers 0. nN
Exercice 9 SoitFsuien´endioacftolnrRpar x 2 1t F(x) =te dt. 1
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a)La fonctionFest positive pour toutxpositif.   12 1x b)Pour toutxr:o,ane´leF(xe) =1. 2 2 1x c)Pour toutx,oel:nae´rF(x) =xe1. d)limOn a :F(x) = +. x+Exercice 10 Onconside`relasuite(Sn)luterreanneittoutpournie,d´ennon nul, nN par n k1 2n Sn= =+ +. . .+. 2 22 2 n nn n k=1 n+ 1 a)Pour tout entiern >0, on a :Sn= . 2n 1 b)Pour tout entiern >0, on a : 0Sn. 2 c)limOn a :Sn= 0. n+d)La suite (Sn)est croissante. nN Exercice 11 Soitfdnoitcnofalrsuien´eRpar x f(x) =1e. 1 a)Pour toutx1, on a :f(x)0. e b)noit´Luaeqf(x) =xadmet deux solutions surR. Onde´signeparαesquniunnioutolevitage´uqe´ledoitlanf(x) =xet on conside`relasuite(unionder´erlarelate´neiap)decnerrucun+1=f(un) nN pour tout entier natureln, et de premier termeu01. c)Pour tout entier natureln, on a :un1. 1 d)Pour tout entier natureln, on a :|unα||u0α|. n e Exercice 12 Onconsid`erelenombrecomplexe
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2 iπ 3 Z=e. 1 + i a)On a :|Z|= 1. iπ b)On a :Z=(1i)e . 3 iπ c)Ler´eelesanutmugrdtneeZ. 12 13iπ d)On a :Z= e. 12
Exercice 13 Sizetzxuontnedgien´dseesopn,oesexplomscremb
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Z=zz+zz . a)Siz= 2i etz=1, alorsZ= 4i. iπ3iπ b)Siz= eetz= e, alorsZ= 0. 4 4 c)Siz=z, alorsZ= 2|z|. d)Sizest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθetzest   le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθ, alors   Z= 2rrcos (θθ).
Exercice 14 Soitαetrappalee´rnualletervlinnant0[, π] et (Eαcoinuenntiuadon´qel) complexez
2 z+ 2(sinα)z+ 1 = 0(Eα) a)Pour toutα[0, π(nE,]le´uqtaoiα) admet deux racines complexes conjugue´esdistinctes. b)Il existe une unique valeur deα[0, π] pour laquelle i est solution de (Eα). c)Pour toutα[0, π´qeauitnoE(],lα) a pour solutions :
z1= sinαi cosαetz2= sinα+ i cosα. d)Pour toutα[0, πle´,]n(ioatquEα) a pour solutions π π i i(2) (2) z1et= ez2= e.
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Exercice 15 SoitA,B,Ctroispointsnonalign´esduplanPetGn´earipelopnidt
−→1−→1−→ AG= AB+ AC. 4 2 a)Le pointGudystneremedtse`estrycelebapotsinpoesr´´end {; (B, 1); (C,2)(A, 1)}. b)L’applicationf:P → Pqui,`atooptutniMdu plan, associe le point Mrandpidne´pual M M=MA +MB + 2MC. estlhomoth´etiedecentreGet de rapport 3. c)Le pointGduselieut[ICgmenlupe,]`oeItsiotnmileeuliduimeltse segment [AB]. d)Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alorsGA =GC.
Exercice 16 SoitCrae´pee´rtamareprbouacl tt x= 2e+ e tt y= 2ee o`uleparame`trete´ditcrRSoitM(odnne´sedeorcoa;b) un point deC. a)Le vecteurv(dee´sedonncoorb, a) est un vecteur directeur de la tangentea`Cau pointM. b)SoitNiotnedocroodnne´(eslepb;a) etTe´dtpinlerainpo OT= OM+ ON . Alors la droite (M Testl)erbuocala`etnegnataCau pointM. c)La courbeCensineacnoe´trqe´itauacourbednuedanslsectnoet 2 2 xy= 4. d)La courbeCn’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).
Exercice 17 Onconsid`ereunesuccessiondesacsquonde´signeparS1, S2. . ,S, .n, ...Aude´part,lesacS1; tous lescontient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S1, que l’on place dans le sac S2. Puis, on tire au hasard un jeton du sac S2, que l’on place dans le sac S3, et ainsi
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