FESIC 2002 concours commun post bac s

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Concours FESIC 2002Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace)→− −→est rapport´e`aunrep`ere orthonormal (O, ı, )=(Oxy) (respectivement −→→− −→O, ı, , k =(Oxyz)).Exercice 1Soit f la fonction d?finie parx 1√f(x)= − ,2 ln ( x)D son ensemble de d´efinition et C sa courbe repr´esentative.a) On a : D =]0, +∞[.b) La courbe C admet une droite asymptote en +∞.xc) Pour tout x∈D,ona:f(x) < .21 2d) Pour tout x∈D,ona:f (x)= + .22 x(ln x)Exercice 2Soit f la fonction d´efinie sur R par f(x)=x+sin(πx)etC sa courberepr´esentative.a) Pour tout x r´eel, on a : f (x)=1+cos(πx). f(x)b) On a : lim =1+π.x→0 xc) La courbe C coupe la premi`ere bissectrice en chaque point d’abscisse1x = k + ,ou`k∈ Z.2d) La courbe C admet la premi`ere bissectrice comme droite asymptoteen +∞.Exercice 3Soit f et g les fonctions d´efinies par : √−2x −xf(x)=ln x+1− 1 et g(x)=e +2e .On note C la courbe repr´esentative de f et Γ celle de g.Onconsid`ere larotation R de centre O et d’angle π/2. On note M le point de coordonn´ees (x ; y)etd’affixez , image par R du point M de coordonn´ees (x ; y)etd’affixe z.a) L’ensemble de d´efinition de f est I = ]−1;+∞[.b) On a : z =iz.x = −yc) On a :y = xConcours d’entr´ee FESIC 2002 2d) Tout point M de la courbe C a une image M par R qui appartient `ala courbe Γ.Exercice 4On rappelle que 2 < e < 3.Soit f la fonction d´efinie surR par :|x|ef(x)= .xe +1a) La fonction f est paire.b) On a ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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Concours FESIC 2002 Danstoutequestiono`uilintervientleplan(respectivementlespace) estrapporte´a`unrepe`reorthonormal(O, , ı) = (Oxy) (respectivement   O, ı, , k= (Oxyz) ).
Exercice 1 Soitfla fonction d?finie par x1 f(x) =, 2 ln(x) Dtine´dedelbmesnsonetneioC´reebpernutrsceoisvaate. a)On a :D=]0,+[. b)La courbeCadmet une droite asymptote en +. x c)Pour toutx∈ D, on a :f(x)<. 2 1 2 d)Pour toutx∈ D, on a :f(x+ .) = 2 2x(lnx) Exercice 2 Soitfd´onniefolatincseruRparf(x) =x+ sin(πx) etCsa courbe repre´sentative. a)Pour toutxeer´:a,lnof(x) = 1 + cos(πx).   f(x) b)On a : lim= 1 +π. x x0 c)La courbeCeri`emprctseisebhcneecirniopeuqatdabscisseepalcuo 1 x=k,`ou+kZ. 2 d)La courbeCmeadaptlmireere`ssibrtcececimytpetsardiomoemote en +. Exercice 3 Soitfetgcnofsel:arspien´esdonti   2xx f(x) = lnx+ 11 etg(x+ 2e) = e. On noteCocalebruatntedivprrese´eefet Γ celle dege`disnocOn.aler rotationRde centre O et d’angleπ/2. On noteMnnodsee´loiepdentorco  (x;y) et d’affixez, image parRdu pointM(see´dnncoedorox;y) et d’affixez. a)seenLdeitnoeined´dbmelfest I = ]1 ;+[. b)On a :z= iz. x=y c)On a : y=x
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d)Tout pointMde la courbeCa une imageMparRiuqappaeitrnt`a la courbe Γ. Exercice 4 On rappelle que 2<e<3. Soitfoitcnofaeine´dnuslrRpar : |x| e f(x) =. x e +1 a)La fonctionfest paire. b)On a :limf(xet lim) = 0f(x) = 1. x→−∞x+3 1 c)On a :limf(x) =et limf(x.) = + 4 4 x+0x+0 d)On a :   2 2 e +1 f(x) dx= ln. 2 0 Exercice 5 On rappelle que 2<e<3. Soitfuresnialofcnitno´deRpar 2x f(x) = (x+ 1)e. a)La fonctionfv´el´erieoinuqta 2x (xR)y(x)2y(x) = e. 1 b)onLeq´tiuaf(x) =deux solutions distinctes. 16 1 Pourαesopno,lee´rI(α) =f(x) dx. α c)Poeeltu´rruotα, on a 1 2α+ 1 2α I(α) =− −e. 2 4e 4 (Onpourrautiliseruneinte´grationparparties.) d)lim =+On a :. α→−∞ Exercice 6 Onconside`relesfonctionsd´eniespar sinx 1x f(x) = [2 + cosx]e etg(x) =1. 2 + cosx On noteGla primitive degvalant 13 en 0 et I son intervalle de+ ln d´enition.
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a)On a : I =R. b)Pour toutxI, on a :G(x) = ln[f(x)]. c)La fonctionGest strictement monotone sur I. d)On a :   1 f(1) g(x) dx= ln. f(0) 0
Exercice 7 Soitffonctionlara´deinpe
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2x+ 3 f(x) =. x+ 2 etDonet.nnOsnenosededblemioitn´e   2 2 x n I=f(x) dxet, pournN, un=f(x)e dx. 0 0 a)lesleIstxieued´exraetbtels que, pour toutx∈ D, on ait b f(x) =a+. x+ 2 b)La suite (un)est croissante. nN 2 c)Pour toutnN, on a :IuneI. n d)La suite (un)a pour limite 4ln 2. nN Exercice 8 Onconside`rel´equationdi´erentielle y(x)2y(x(E) = 01). x a)Les solutions de (E1) sont les fonctionsy(x) =K`oue,KR. 2 b)(Eontiuaeq´L1)oseuqinuenutemdaonactidionitul´vnoireltnay(0) = 2x 2 et c’est la fonctiony(x+ 1.) = e Onconside`rele´quation  −3x (xR)u(x) +u(x) = 2e(E2) c)Une fonctionfioatEn(l´ereiqu´ev2) si et seulement si la fonctiong 3x d´enie,pourtoutxR, parg(x) = ef(xlednoitulostse,+1)natio´equ (E1). d)La fonction
x3x f(x) = 2ee
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est l’unique fonctionuve´E(n´equatioriantl2) et la conditionu(0) = 1.
Exercice 9 Pour tout entier naturelnelerd`siioctonafncnno2o,fne´d,ruseiR par
3 f(x) =x2nx+ 1. a)Pour toutn2, la fonctionfn-nilrusetnasteristmetcdtnerce´ssio tervalle [0; 1]. b)Pour toutnuqtale´,2ionfn(x) = 0 admet une unique solution dans R. On noteunl´el]d;1ontiuaeqrvalle[0nslinteulitnoadnuqieuosfn(x) = 0. 1 c)Pour toutn2, on a : 0un. n d)limOn a :un= 0. n+Exercice 10 Onconside`relasuite(unra)d´eniep nN
1 2 u0= 0, u1et, pour tout= 1nN, un+2=un+1+un. 3 3 Ond´enitlessuites(vn() etwn) par nNnN 2 vn=un+1unetwn=un+1+un. 3 a)La suite (vnquti´ehme.)tiratse nN b)La suite (wnconstante.) est nN 3 c)Pour toutnN, on a :un= (wnvn). 5 d)La suite (unpas de limite finie.) n’a nN Exercice 11 Soitαleeer´un(tEαnnioidtnanuoqceo´celu)elpmxez 2 2 z+ (1 +α)z+α= 0. , les points du plan dont les affixes sont les Ond´esigneparMαetMα solutions de (Eα). a)Le nombre complexez=2 + i5 est une solution de (Eα). b)l´equatutionsdeeLlossoi(nEα.nostiorts)mpcoitsos,leel´esee´ugujnocsexel e triangle (OMsicoe)ts.e`el c)Pour toutα >1, lαMα d)Pour toutα >1, on a :MαM= (3α+ 1)(α1). α
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Exercice 12 Dansleplancomplexe,onconside`relepointAdaxe4etlapplication Fqnt`,iuouatoitpMdistinct de A, d’affixez, associe le pointM=F(M), d’affixezrapee´nond
z4 z= (1) 4z a)Le point B d’affixe 1 + 3i a pour image parFd’affixe i.le point B b)suoTpselointsdeladroited´qeauitnoxeev´podutAintlona=p4ir meˆmeimageparF.   c)Pour tout pointMdistinct de A, d’imageMparF, on a : OM= 1. z1 d)Pour tout nombre complexezu`o=4(morbl,neeznodtee´nse z4 par(1))estr´eel.
Exercice 13 Soit : ˆcedlare´taliuqe3;´eotriangle´(ABC)unt rentceleGrtaie´udvatiedrg);(ABCngle paoptra`.Glme´seytriquHedeAparr Onpourra´egalementconside´rerIlemilieudusegment[BC]. a)niHteLopberaselte´stniopedere´dnopsedtrenycemt`ysus {; (B,(A, 1)2) ;(C,2)}. b)On a : HAHC = 3. SoitP(HC)oiteladrre`aluiadncireepeAptanssartppllepaan. c)Pour tout pointMdeP, on a : HMHC = 3. d)Le planPest l’ensemble des pointsMdepacelesina´vre:t   −−→MA2MB2MCHC =9.
Exercice 14 Soit(SMN)untriangleisoc`eledesommetprincipalS,decercleinscritde centre Ω et de rayon 1. On note Q, P, O respectivement, les points de contact du cercle inscrit avec les segments [SM], [SN] et [MN]. Enfin, on pose OS =x. x1 a)On a := . OM QS 2 b)On a : QS=x(x2). x 2 c)On a : OM= . x2 Onrappellequelevolumedunesectiondecoˆneeste´galautiersduvolume delasectiondecylindrecorrespondante(cest-`a-diredemˆemebaseetde mˆemehauteur).
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