FESIC 2004 concours commun post bac s

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Concours d’entr´ee FESIC 2004EXERCICE 1→− −→Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).On consid`ere les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d :a =−2− 2i ; b=2 ; c=2+4i ; d =−2+2i.a. ABCD est un parall´elogramme.πb. Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle− ,est2un point de l’axe des abscisses.c. Soient f =6i− 4 et F le point d’affixe f.Le triangle CDF est rectangle et isoc`ele en D.d. Soient g =−2i et G le point d’affixe g.Le triangle CDG est rectangle et isoc`ele en D.EXERCICE 2→− →−Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).5a. La partie r´eelle de (1 + 2i) est 41.b. On consid`ere trois points quelconques A, B et C du plan d’affixesrespectives a, b et c.L’´ecriture (b− c)=i(a− c) caract´erise une homoth´etie de centre C et derapport i.20c. (1 + i) est r´eel.4d. L’´equation z −1=0poss`ede quatre solutions distinctes dansC.EXERCICE 3→− −→Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).Soient A le point d’affixe a=1− i et B le point d’affixe b=2i− 3.`A tout point M d’affixe z, z = b, on associe le point M d’affixez−1+iZ = .z+3− 2ia. L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit r´eel est le segment[AB].b. Pour tout z diff´erent de −3+2ietde−3− 2i, on obtient la forme(z−1+i)(z+3+2ialg´ebrique de Z par le calcul: ).(z+3− 2i)(zic. L’ensemble des points M d’affixe z tels que M soit un point de l’axe 21 252des ordonn´ees est le cercle d’´equation (x+1) ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concoursdentr´eeFESIC2004
EXERCICE 1 Leplancomplexeestrapporte´aurepe`reorthonormal(O, v, u). Onconsid`erelespointsA,B,CetDdaxesrespectivesa, b, cetd:
a=22i ;b= 2;c= 2 + 4i;d=2 + 2i. a..maemolrglle´unstrapaADeBC π b.Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle, est 2 un point de l’axe des abscisses. c.Soientf= 6i4 et F le point d’affixef. LetriangleCDFestrectangleetisoc`eleenD. d.Soientg=2i et G le point d’affixeg. LetriangleCDGestrectangleetisoce`leenD. EXERCICE 2 Leplancomplexeestrapporte´aurep`ereorthonormal(O, u, v). 5 a.´(e1e+l2tlieedresatp4a1ri)Le. b.inpoisrocoelqutsB,AseuqnalpudCtendaxescnnoOreteis`d respectivesa, betc. Le´criture(bc) = i(acrac)´tcasireenueceneitdehte´ohometdetreC rapport i. 20 c.e´rtse)i+1(.el 4 d.ontiuaeq´Lzsnacnitdsetsse`eduq10=optionsdisatresoluC. EXERCICE 3 Leplancomplexeestrapport´eaurepe`reorthonormal(O, v, u). Soient A le point d’affixea= 1i et B le point d’affixeb= 2i3. ` A tout pointMd’affixez, z=b, on associe le pointMd’affixe
z1 + i Z=. z+ 32i a.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queZtseleengmee´rtseltios [AB]. b.Pour toutzdie´erntde3 + 2iet de32i, on obtient la forme (z1 + i)(z+ 3 + 2i alge´briquedeZpar le calcul: ). (z+ 32i)(z+ 3 + 2i c.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queMsoit un point de l’axe   2 1 25 2 desordonn´eesestlecercled´equation(x++ 1)y= ,sauf le point 2 4 B. z1 + i d.Soitz0ulutinesotlei´seeonndcenoitauqna(o=iexletdm z+ 32i d’une telle solution).
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Le point M0d’affixez0ede[AB].tuesoinpedtn´malaidecirt EXERCICE 4 Soitfesnied´uralofcnitnoRpar : x e,six <0 f(x) = cosx,six0 On appelleCfeuqisnadgnoihparupedn.lareunerp`oStiΓerrpastntae´es x larepr´esentationgraphiquedelafonctionexponentielle(xe ) dans le meˆmerepe`re. a.,sevseisscabtiga´esnatxudnnastdopnioprltainoslnadpuesDpaoncorr Cfseegamiltdexasesydeetm´eerilstaeixladenoltaexdeΓparlasym´etri abscisses. b.fest continue en 0. c.fivabd´erest.0neel d.tauqe´Lniof(xeds`os0p)=lavrelnslintelutiondaseueelosueentenu ]− ∞;π]. EXERCICE 5 Ondonneci-dessouslarepre´sentationgraphiquedetroiscourbesC1,C2 etC3nction,lesdeuxaurtseostnendL.uleelstserela´eprtnesoitaudnofen lesrepr´esentationsdedeuxdesesprimitives.Onnote: f1fanolapeerent´r´esnrepctioC1; f2lnofaeeapresr´t´enioctepnrC2; f3lfanor´esent´ceteipaornrepC3; 4
3
2
1
0 C3 3 2 1 01 2 1 C2 2
3 C1 4
a.f1edemirpvitiesnetuf2. b.f3v´ee´eritladedesf1.
5
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c.itimelanlaarep´esalere`dlpecafruonsiOncocruebC3, l’axe des abs-cisses,laxedesordonne´esetladroited´equationx=,ereaiL1.se´tinun d’aire, de cette surface estf2(1). d.SoitxR. SoientM1le point deC1d’abscissexetM2le point deC2 demˆemeabscisse. La distanceM1M2est constante. EXERCICE 6 Ondonneci-dessouslarepr´esentationgraphiquededeuxcourbesC1et C2. • C1errpe´estnuenefonctionfavlbserud´eriR; • C2norper´esentelafonctife´d,´viredeef.   On appelleflaitnoofcnvie´´dreondeesecdefrid-a`-tire´daledeeev´ces,f. 4
3
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1
C1
0 1 01 2 3 4 5 6 C2 1
2 a.Toute primitive def; 6].est croissante sur [-1  b.Luocatantesenepr´rbernocnitaloffcodentoieprlpasepsasee´nnodro (0 ;0).  c.La fonctionfs’annule trois fois sur [6].1 ; d.nsid`erelasurfacnOocrbouacrleilenalpeapee´timC2, l’axe des abs-cisses,laxedesordonn´eesetladroitede´quationx= 1. Lairedecettesurfaceest´egalea`celleduncarr´eunit´e. EXERCICE 7 a.Soitflusrniend´ectioafonR+par :
f(x) =x[sin(lnx)cos(lnx)].   Lad´eriv´eefdefltseoitcnofaien´endrsuRpar :f(x) = 2sin(lnx).      b.2 + 17 ln23 ++ 2 lnln 11+ 62 +7 ln21 =0. π 1 4 c.tanxdx2.= ln 02 e lnx d.= 42 edx. 1x EXERCICE 8
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Soientfetgctiosfonlecepserseine´dsnrsuntmevetiRpar : 2 x 1 f(xet) =g(x) =f(t) dt. 2 1 +xx a.L’image deRparfest ]0 ;1]. 2 b.Pour toutxR,0g(x)xx. c.poetanplurusrnDnaerudpee`x0R, g(x0airedelarper)letnese´ surfaceplanelimite´eparlacourberepr´esentativedef, l’axe des abscisses et 2 lesdroitesd´equationx=x0etx=x. 0 2 d.gblesrivatd´eesruRet, pour toutxR, g(x) =f(x)f(x).
EXERCICE 9 SoientlRet (unuotsemreetcirtssr´teuiesate`llee)unposiment.tifs nN Pour les itemsa., b.etc., on suppose que (unvers) convergel. nN a.lest strictement positif. 3 b.Il existenNtel quelsoitunevaleurapcorpee´hedunprs.`e01a` c.La suite (lnun) ,converge vers lnl. nN d.On suppose dans cette question que la suite (unv´erie,opru) nN nN:un+1= lnunet queu0> u1. On ne suppose pas que la suite (un) converge. nN La suite (un).etanssoicr´etdes nN
EXERCICE 10 Onconside`relasuitecomplexe(zne´neiap:r)dz0= 1 et, pour tout nN 1 + i nN, zn+1=zn. 2 PournN, on appelleMnle point d’affixezndans le plan complexe d’origine O. 1 a.La suite (|zn|om´etriqsuiteg´eno.euedarsiseenut) nN 2 b.Quel que soitnN, les triangles OMnMn+1sont rectangles. c.Mntseussientsilemetdneas`etrlexiaspiaeaspbacsnest un multiple de 4. i e 4 d.Pour toutnN, zn= n. 2
EXERCICE 11 Leplanestrapporte´a`unrepe`reorthonormal(O, , ı). Onconside`re,danscerep`ere,lespointsA(1;; 3) et I milieu de1), B(5 [AB]. Soit (Gnlsaiuet:ra)ed´epnipodetsin nN G0;= O PournN, Gn+1secyrabeltusedtreneemt`ys{(Gn; 1); 1); (B; 2); (A}. PournN, on appelle (xn;yn)cselrdoon´onsdeeeGn. a.G1, G2et G3lign´es.snoat b.Quel que soitnN, Gn+1est l’image deGnetiedth´ehomolrap centre I et de rapport 2.
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