FESIC mathematiques 2001

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Concours d’entr´ee FESIC 2001Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace) est−→ →−rapport´e`aunrep`ere orthonormal direct (O, ı,  )=(Oxy) (respectivement →−−→ −→O, ı,, k =(Oxyz)).Exercice 1Soit f la fonction d´efinie sur I = ]−∞, 1] par√f(x)=2x 1− xet C sa courbe repr´esentative. On d´esigne par T la tangente `alacourbeC au point d’abscisse x=0.2− 3xa) Pour tout x<1, on a: f (x)=√ .1− x√4 3b) Pour tout x∈ I, on a: f(x) .9c) Une ´equation cart´esienne de T est y =2x.d) La courbeC est au-dessus de T.Exercice 2Soit f et g les fonctions d´efinies sur I = ]−∞, 1] par−x xf(x)=ln(x+1)+e et g(x)=e − (x+1).a) La fonction g est positive sur I.−xeb) Pour tout x∈ I, on a: f (x)= g(x).x+1c) La fonction f est bijective de I sur ]0, +∞[.d) Il existe un unique r´eel α dans I tel que f(α)=0.Exercice 3Soit f la fonction d´efinie surR parxf(x)=(−x+3)e ,Concours FESIC 2001 2et C sa courbe repr´esentative.a) Pour tout x>0, on a: f(x)−x+3.b) La droite d’´equation y = 0 est asymptote al` acourbeC.c) La fonction f admet un unique extremum.2d) Pour tout r´eel m =e,l’´equation f(x)=m admet soit 0 soit 2solutions.Exercice 4Soit f la fonction d´efinie par2x xf(x)=ln e − e +1),D son ensemble de d´efinition etC sa courbe reifr´esentative.a) On a:D =R.−x −2xb) Pour tout x∈D,ona:f(x)=2x+ln(1− e +e ).c) La courbe C admet la droite d’´equation y =2x comme asymptote en+∞.d) La courbeC admet une unique tangente parall`ele ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concoursdentr´eeFESIC2001
Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementlespace)est rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, ı, ) = (Oxy) (respectivement   O, k, ı, = (Oxyz) ).
Exercice 1 Soitftcoifanol=]surIniend´e− ∞,1] par
f(x) = 2x1x etCgiseapenalTrgnatse´eatnte.ivd´Onente`alacourbeprrebeurcosa Cau point d’abscissex= 0. 23x a)Pour toutx <1, on a:f(x) =. 1x 4 3 b)Pour toutxI, on a:f(x). 9 c)ednneseTt´arieestauqcnoiUte´eny= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.
Exercice 2 Soitfetgd´nsioctonsfleIr]=seusein− ∞,1] par
x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. x e b)Pour toutxI, on a:f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+[. d)´reeqieununusietlxelIαdans I tel quef(α) = 0.
Exercice 3 Soitfinserued´ontincfolaRpar
x f(x) = (x+ 3)e,
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etCtiveentaor´uersbesraecp. a)Pour toutx >0, on a:f(x)x+ 3. b)Lonitauqe´detiordayasymptot=0estbre`elacauoC. c)La fonctionfadmet un unique extremum. 2 d)ruotoPeeltu´rm,l´=etionequaf(x) =madmet soit 0 soit 2 solutions.
Exercice 4 Soitfrlfaonctiond´eniepa 2x x f(xe) = ln1)e +, Dtnneeisooietmnns´eedebdlCnese´rfierebruocsave.tati a):On aD=R. x2x b)Pour toutx∈ D:, on af(x) = 2x+ ln (1e ).e + c)La courbeCtaoinetde´uqetladroiadmy= 2xcomme asymptote en +. d)La courbeCepargentele`all`nuuemdtetenainuqaalaO(exx).
Exercice 5 Soitfaflctonoidne´neiusrRpar   2 f(x) =xsin. x   4 4 a)On a:f= π π b)On af(x) = 0 si et seulement s’il existe un entier relatif non nulktel 1 quex= . c): limOn af(x) = 1. x0 d)On a: limf(x) = 2. x+Exercice 6 Pourtoutcoupleder´eelsaetbtels que (a, b)= (0,urts,)0d´onnie]0,+[ la fonction
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lnx fa, b(x) =ax+b+ x et on noteCa, basocru.entseivatrebe´epr a)Pour tout couple (a, b)= (0,auit´qetidedaor0),lony=ax+best asymptotea`lacourbeCa, b. b)Pour tout couple (a, b)= (0,: lim0), on afa, b(x) =b. + x0 c)Il existe une unique courbeCa, bssanpalepotparesocedAtnie´nnodro (1, 1). d)Il n’existe pas de courbeCa, baptnpelrpassaoordonn´ointBdecees (1,ntgeanetunnBteandala`ele`llarapetionequaed´roittedaemtt)0y= 2x.
Exercice 7 Soitnun entier naturel non nul etIninperaed´ 1 n In= (1+x) ln(1 +x)dx. 0 a)Pour toutx1], on a: 0[0 ;ln(1 +x)ln 2. b)Pour toutnN, on a: 0In2 ln 2. c)La suite (In)et.ssnarciodte´es nN d)La suite (In)converge vers 0. nN
Exercice 8 Soitnun entier naturel non nul etInienrpa´ed 1 n1x In=xe dx. 0 a)On a: I1= e1. b)La suite (In)est croissante. nN 1 e c)Pour tout entiern >0, on a:In. n+ 1n+ 1 d)La suite (In)ne tend pas vers 0. nN
Exercice 9 SoitFsuien´endioacftolnrRpar x 2 1t F(x) =te dt. 1
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a)La fonctionFest positive pour toutxpositif.   12 1x b)Pour toutxna:leo,re´F(xe) =1. 2 2 1x c)Pour toutxel´ena,o:rF(x) =xe1. d): limOn aF(x) = +. x+Exercice 10 Onconside`relasuite(Sn)erlanutitretuneurtoe,poenid´nnon nul, nN par n k1 2n Sn= =+ ++. 2 22 2 n nn n k=1 n+ 1 a)Pour tout entiern >0, on a:Sn= . 2n 1 b)Pour tout entiern >0, on a: 0Sn. 2 c): limOn aSn= 0. n+d)La suite (Sn)est croissante. nN Exercice 11 Soitf´dnoitcnofaluresnieRpar x f(x) =1e. 1 a)Pour toutx:1, on af(x)0. e b)noi´eLatquf(x) =xadmet deux solutions surR. Onde´signeparαsoueiqunn´ontiludevitageauqe´lenoitlf(x) =xet on consid`erelasuite(unonder´eclarelatieinpera)´decnerruun+1=f(un) nN pour tout entier natureln, et de premier termeu01. c)Pour tout entier natureln, on a:un1. 1 d)Pour tout entier natureln, on a:|unα||u0α|. n e Exercice 12 Onconsid`erelenombrecomplexe
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2 iπ Z=e. 3 1 + i a)On a:|Z|= 1. iπ b):On aZ=(1i)e . 3 iπ c)Ler´eelenutsugratnemedZ. 12 13iπ d):On aZ= e. 12
Exercice 13 Sizetzuenxnedtisngde´esopnos,xelempcoesbrom
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Z=zz+zz . a)Siz= 2i etz=1, alorsZ= 4i. iπ 3iπ b)Sizet= ez= e4, alorsZ= 0. 4 c)Siz=z, alorsZ= 2|z|. d)Sizest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθet  zest le nombre complexe de moduler >0 et d’argumentθ, alorsZ=   2rrcos (θθ).
Exercice 14 Soitαtrappalee´rnuvallntertlienan[e0] et (Eαncinuonatqundiole´)e complexez
2 z+ 2(sinα)z+ 1 = 0(Eα) a)Pour toutα[0, πnoE(]l,´qeauitα) admet deux racines complexes conjugue´esdistinctes. b)Il existe une unique valeur deα[0, π] pour laquelle i est solution de (Eα). c)Pour toutα[0, πle´uqtaoi(nE],α) a pour solutions:
z1= sinαi cosαetz2= sinα+ i cosα. d)Pour toutα[0, πl,´]ontiuaeq(Eα) a pour solutions π π i i(2) (2) z1et= ez2= e.
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Exercice 15 SoitA,B,Ctroispointsnonaligne´sduplanPetGapinreplntoied´
−→1−→1−→ AG= AB+ AC. 4 2 a)Le pointGltbesenertracy´dnopstnse´ret`ysusedoiepedem{(A, 1); (B, 1); (C,2)}. b)L’applicationf:P → Pta`,ptuontoiiuqMdu plan, associe le point Mudlppareniand´ M M=MA +MB + 2MC. estlhomothe´tiedecentreGet de rapport 3. c)Le pointGesilietlemgeemdusu]Co,tnI[le`uinpoestIemtleiliudu segment [AB]. d)Si le triangle (ABC) est rectangle en A, alorsGA =GC.
Exercice 16 SoitC´mteaparruebalocparr´ee tt x+ e= 2e tt y= 2ee o`uleparam`etretd´riectRSoitMceoodrnon´ees(da, b) un point deC. a)Le vecteurvceood´needrnos(b, a) est un vecteur directeur de la tangente`aCau pointM. −→ b)SoitNelopniectdrdoon´ons(eeb, a) etTliope´dtnOapreinT= −−→OM+ ON . Alors la droite (M Tbeurcola`ateenngataltse)Cau pointM. 2 c)La courbeCt´arieeseatnqnuncioebrue´dsnadocalcontenueestx2 y= 4. d)La courbeCn’a pas d’intersection avec l’axe (Ox).
Exercice 17 Onconsid`ereunesuccessiondesacsquonde´signeparS1, S2S, .. . ,n, ...Aude´part,lesacS1; tous lescontient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc autres sacs contiennent chacun 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On tire au hasard un jeton du sac S1, que l’on place dans le sac S2. Puis, on tire au hasard un jeton du sac S2, que l’on place dans le sac S3, et ainsi
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