FESIC mathematiques 2004

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Concours d’entr´ee FESIC 2004EXERCICE 1→− −→Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).On consid`ere les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d :a =−2− 2i ; b =2 ; c =2+4i ; d =−2+2i.a. ABCD est un parall´elogramme.πb. Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle− ,est2un point de l’axe des abscisses.c. Soient f =6i− 4 et F le point d’affixe f.Le triangle CDF est rectangle et isoc`ele en D.d. Soient g =−2i et G le point d’affixe g.Le triangle CDG est rectangle et isoc`ele en D.EXERCICE 2→− →−Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).5a. La partie r´eelle de (1 + 2i) est 41.b. On consid`ere trois points quelconques A, B et C du plan d’affixesrespectives a, b et c.L’´ecriture (b−c)=i(a−c) caract´erise une homoth´etie de centre C et derapport i.20c. (1 + i) est r´eel.4d. L’´equation z −1=0poss`ede quatre solutions distinctes dansC.EXERCICE 3→− −→Le plan complexe est rapport´eaurep`ere orthonormal (O, u, v ).Soient A le point d’affixe a =1− i et B le point d’affixe b =2i− 3.`A tout point M d’affixe z, z = b, on associe le point M d’affixez−1+iZ = .z +3− 2ia. L’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit r´eel est le segment[AB].b. Pour tout z diff´erent de −3+2ietde−3− 2i, on obtient la forme(z−1+i)(z +3+2ialg´ebrique de Z par le calcul : ).(z +3− 2i)(zic. L’ensemble des points M d’affixe z tels que M soit un point de l’axe 21 252des ordonn´ees est le cercle d’´equation ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concoursdentr´eeFESIC2004
EXERCICE 1 Leplancomplexeestrapporte´aurepe`reorthonormal(O, u, v). Onconsid`erelespointsA,B,CetDdaxesrespectivesa, b, cetd:
a=22i ;b;= 2c= 2 + 4i;d=2 + 2i. a..maemolrglle´unstrapaADeBC π b.Le point E, image de C par la rotation de centre B et d’angle, est 2 un point de l’axe des abscisses. c.Soientf= 6i4 et F le point d’affixef. LetriangleCDFestrectangleetisoc`eleenD. d.Soientg=2i et G le point d’affixeg. LetriangleCDGestrectangleetisoce`leenD. EXERCICE 2 Leplancomplexeestrapporte´aurep`ereorthonormal(O, u, v). 5 a.´(e1e+l2tlieedresatp4a1ri)Le. b.inpoisrocoelqutsB,AseuqnalpudCtendaxescnnoOreteis`d respectivesa, betc. Le´criture(bc) = i(acrac)´tcasireenueceneitdehte´ohometdetreC rapport i. 20 c.e´rtse)i+1(.el 4 d.ontiuaeq´Lzsnacnitdsetsse`eduq10=optionsdisatresoluC. EXERCICE 3 Leplancomplexeestrapport´eaurepe`reorthonormal(O, u, v). Soient A le point d’affixea= 1i et B le point d’affixeb= 2i3. ` A tout pointMd’affixez, z=b, on associe le pointMd’affixe
z1 + i Z=. z+ 32i a.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queZtseleengmee´rtseltios [AB]. b.Pour toutzdie´erntdeet de3 + 2i32i, on obtient la forme (z1 + i)(z+ 3 + 2i alge´briquedeZ: ).par le calcul (z+ 32i)(z+ 3 + 2i c.L’ensemble des pointsMd’affixeztels queMsoit un point de l’axe  2 1 25 2 desordonn´eesestlecercled´equation(x+ 1)+y= ,sauf le point 2 4 B. z1 + i d.Soitz0ulutinesotlei´seeonndcenoitauqna(o=iexletdm z+ 32i d’une telle solution).
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Le point M0d’affixez0].ABestunpointdeal´mdeairtcide[e EXERCICE 4 Soitfurniescnofale´dnoitRpar : x e,six <0 f(x) = cosx,six0 On appelleCfasΓatntngioprrese´eadsnnuerarhpqieulan.Soitp`eredup x larepre´sentationgraphiquedelafonctionexponentielle(xe ) dans le meˆmerep`ere. a.niopxuatcsbadstrrcoanplanndpoeslspaDnanoudroitissesn´egatives, Cfesxadetsliree´mtedelaltnoexaysedlaarm´syrietxieaseltiamegedpΓ abscisses. b.fest continue en 0. c.fenleabiverd´ste.0 d.uqtaoinLe´f(xteinalrvdaonlnsoselitulnuteueses`edeulnee)=0pos ]− ∞;π]. EXERCICE 5 Ondonneci-dessouslarepr´esentationgraphiquedetroiscourbesC1,C2 etC3sertuaxuedsel,nontsosestlarepr´esenttaoidnuenofcnituL.denelle lesrepre´sentationsdedeuxdesesprimitives.Onnote: f1nofaoitcrlt´enpaeeepnresr´C1; f2fanotcoilent´eeparnrepr´esC2; f3ne´teeaprnpe´rseafonctiorlC3; 4
3
2
1
0 C3 3 2 1 01 2 1 C2 2
3 C1 4
a.f1deetiviprimtuneesf2. b.f3sedeeev´ri´eadtlf1.
5
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c.Od`sionncebruelimit´eeparlacorelesaruafeclpnaC3, l’axe des abs-cisses,laxedesordonn´eesetladroitede´quationx=,enuaire1.Lsein´t d’aire, de cette surface estf2(1). d.SoitxR. SoientM1le point deC1d’abscissexetM2le point deC2 demeˆmeabscisse. La distanceM1M2est constante. EXERCICE 6 Ondonneci-dessouslarepr´esentationgraphiquededeuxcourbesC1et C2. • C1errpe´estnueenfonctionfselbrud´erivaR; • C2r´rpeeneslatencfoontife´ird,ed´veef.   On appellef´dnoitcnsee´virededeoneclafoft-esc,ad´eriv´`a-direleeedf. 4
3
2
1
C1
0 1 01 2 3 4 5 6 C2 1
2 a.Toute primitive defest croissante sur [-1; 6].  b.lanttaenesr´eperuobrLcanoitcnoffnndoes´eelsrsaapipopeedtnrooc (0 ;0).  c.La fonctionfs’annule trois fois sur [1 ;6]. d.rbeacouilimalenaplr´teelare`eidepacrfsusnocnOC2, l’axe des abs-cisses,laxedesordonn´eesetladroited´equationx= 1. Lairedecettesurfaceeste´galea`celleduncarr´eunit´e. EXERCICE 7 a.Soitfloifdannotceiuse´nrR+par : f(x) =x[sin(lnx)cos(lnx)].   Lade´riv´eefdefseltfanotcoidn´eniesurRpar :f(x) = 2sin(lnx).      b.2+ 2 ln3 +7 ln2 + 122 +7 lnln 11+ 60.1 = π 1 4 c.tanxdx2.= ln 02 e lnx d.= 42 edx. 1x EXERCICE 8
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Soientfetg´deinsenotcoisnvementsurespectirsfleRpar : 2 x 1 f(x) =etg(x) =f(t) dt. 2 1 +xx a.L’image deRparfest ]0 ;1]. 2 b.Pour toutxR,0g(x)xx. c.`ereduplanetpourDpernusnax0R, g(x0ntseaeledirael)errpe´ surfaceplanelimite´eparlacourberepr´esentativedef, l’axe des abscisses et 2 lesdroitesde´quationx=x0etx=x. 0 2 d.gtdesri´eavlbseruRet, pour toutxR, g(x) =f(x)f(x).
EXERCICE 9 SoientlRet (un.sfictrmeteponttisitarell`euossemtsunes)r´eeuite nN Pour les itemsa.,b.etc., on suppose que (un) convergeversl. nN a.lest strictement positif. 3 b.Il existenNtel quelstuoivaneparpelrueeedco´hun10`as.pr`e c.La suite (lnunconverge vers ln) ,l. nN d.On suppose dans cette question que la suite (un)ruv´ireop,ennN N:un+1= lnunet queu0> u1. On ne suppose pas que la suite (un) converge. nN La suite (un)dtserce´ssoitean. nN
EXERCICE 10 Onconsid`erelasuitecomplexe(zne´d):rapeinz0= 1 et, pour tout nN 1 + i nN, zn+1=zn. 2 PournN, on appelleMnle point d’affixezndans le plan complexe d’origine O. 1 a.La suite (|zn|.)om´eegitsunetuesnosiaredeuqirte´ nN 2 b.Quel que soitnN, les triangles OMnMn+1sont rectangles. c.Mnpartapemtnisssseisscleeutsiela`tneibasedexanest un multiple de 4. i e 4 d.Pour toutnN, zn= n. 2
EXERCICE 11 Leplanestrapport´ea`unrepe`reorthonormal(O, ı, ). Onconside`re,danscerep`ere,lespointsA(1;1), B(5; 3) et I milieu de [AB]. Soit (Gn)edetliusa´dstnioparepnie: nN G0= O; PournN, Gn+1me`teseltycenebarusystred{(Gn; 2); (A; 1); (B; 1)}. PournN, on appelle (xn;ynesd)lescoordonn´eeGn. a.G1, G2et G3.se´ngilatnos b.Quel que soitnN, Gn+1est l’image deGnthmoti´earpholede centre I et de rapport 2.
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