FESIC mathematiques 2006

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·-p---·p˛--TerminaleS mai2006 Concours Fesic Calculatrice interdite; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30; répondre par Vrai ou Faux sansjustification.+1sibonneréponse,−1simauvaiseréponse,0sipasderéponse,bonusd’1pointpourunexerciceentièrementjuste.Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). Soit la fonctionfqui,àtoutpointM2z +1d’affixez, zdifférentde1,associelepointM’d’affixez’telleque z ' = .z 1a.fpossèdedeuxpointsinvariantsconjugués.b.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' ℝ estl’axedesabscisses.c.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' = 2 estuncercle.d.AtoutpointM’dupland’affixez’,onpeutassocierunpointMd’affixeztelque f(M) = M ' saufaupointM’d’affixe z ' = 2 .Exercice 2 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère les complexes z de1module2etd’argument , z = z et z = 1+ i .2 1 338 9z z3 1a. = 4 .11z24 7z z1 2b. estunnombreréel.6z34c. z z = 28 16 3 .( )1 3d.L’ensembledespointsMd’affixeztellesque arg z = arg z estladroited’équation y = x .( ) ( )3Exercice 3 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère le point A d’affixea = 5 i 3 .Onappelle:* Blepointd’affixeb ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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· - p - - - · p ˛ - -  TerminaleS mai2006              Concours Fesic Calculatrice interdite; traiter 12 exercices sur les 16 en 2h 30; répondre par Vrai ou Faux sans justification.+1sibonneréponse,−1simauvaiseréponse,0sipasderéponse,bonusd’1pointpourun exerciceentièrementjuste. Exercice 1   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). Soit la fonctionfqui,àtoutpointM 2z +1 d’affixez, zdifférentde1,associelepointM’d’affixez’telleque z ' = . z 1 a.fpossèdedeuxpointsinvariantsconjugués. b.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' ℝ estl’axedesabscisses. c.L’ensembledespointsMd’affixesztelsque z ' = 2 estuncercle. d.AtoutpointM’dupland’affixez’,onpeutassocierunpointMd’affixeztelque f(M) = M ' saufau pointM’d’affixe z ' = 2 . Exercice 2   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère les complexes z  de1 module2etd’argument , z = z et z = 1+ i .2 1 33 8 9z z3 1a. = 4 . 11z2 4 7z z1 2b. estunnombreréel. 6z3 4 c. z z = 28 16 3 .( )1 3 d.L’ensembledespointsMd’affixeztellesque arg z = arg z estladroited’équation y = x .( ) ( )3 Exercice 3   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). On considère le point A d’affixe a = 5 i 3 .Onappelle: * Blepointd’affixeb,imagedeAparlarotationdecentreOetd’angle , 3 *Clepointd’affixec,milieude[OA], 1 *Dlepointd’affixeddonnéepar d c= b a ,( ) 2 *Elepointd’intersectiondesdroites(AD)et(BC). a.LepointBapouraffixe b = 3 3 + i . b.Destlemilieude[OB]. c.Eestlebarycentrede{(B,1);(C,2)}. d.Ladroite(OE)estperpendiculaireà(AB). TerminaleS 1 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 fi fi  Exercice 4 a.Lacourbereprésentantlafonction x sin ( x ) estlacourbeC .2 2 2y y 1 1C 1 C 2 x x 0 0 =2 =1 0 1 2 3 =2 =1 0 1 2 3 =1 =1 =2 =2   2 y 2 y C  C 3 41 1 x 0 x 0=2 =1 0 1 2 3 =2 =1 0 1 2 3 =1 =1 =2 =2    x+1b.Onconsidèrelestroiscourbesdelapagesuivante:lacourbereprésentantlafonction x e estC .1  c.On considère la fonction f représentée 4 parlacourbe(C)ci=dessousetlafonctionF x y 3définiesur[0;4]par F(x) = f(t)dt .∫ 0 Festcroissantesur[0;4]. 2  1d.OnconsidèrelesmêmesfonctionsfetF qu’auc. x0La fonction F est deux fois dérivable sur =2 =1 0 1 2 3 4 5 [0;4]etvérifie F ''( 0 ) = 0 . =1  =2 =3  TerminaleS 2 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 - £ - ˛ fi £ - £ - fi £ ¥ £ fi ˛ ¥ - ¥ - - £ „ - fi £ - £ ˛ - ˛ ‡ £ ˛ - ˛ £ - £ - -  .  6 y C 1 5 C 2 C 3 4 3 2 1 x 0 =3 =2 =1 0 1 2 3 =1 Exercice 5 a.Soient f, g et h trois fonctions définies sur ℝ . On suppose que, quel que soit x ℝ , on a: f(x) g(x) h(x) ,que lim f(x) = 3 etque lim h(x) = 5 . x+ x+ Alorsg(x)admetunelimitequandxtendvers + etcettelimiteestcompriseentre3et5. 1 xb.Soitflafonctiondéfiniepar f(x) = e pour x 0 et f 0 = 0 .Onappelle(C)sacourbereprésentative( ) dansunrepèreduplan.(C)possèdeuneasymptoted’équation x = 0 et lim f(x) = 0 . x 0 x>0 2x x c.La fonction F définie par F(x) = ln x  est une primitive de la fonction f définie par f(x) = x ln x  2 2 *surℝ + d.Soient f la fonction définie par f(x) = 2 ln x et (C) sa courbe représentative dans un repère du plan. (C)possèdeaupointd’abscisse−1unetangented’équation y = 2x 2 . Exercice 6 n 2ta.Soit u la suite définie pour tout n ℕ*  par u = e dt . On veut prouver que la suite u estn ∫ 1 convergente.Onconsidèrepourcelaleraisonnementsuivant: 22 t t«Je choisis m = 0  et M = 1 . Soient n ℕ*  et t 1 ; n , on a t t , donc 0 e e . Il s’ensuit que[ ] n nt t 1 n 0 u e dt ,soit 0 u e ,soitenfin 0 u e e 1 .Ceciétantvraipourtout n ℕ* ,n n n ∫ 11 lasuiteapparaîtbornéepar m = 0 et M = 1 . 2 tSoitdeplus n ℕ* .Lafonction t e estcontinueetpositivesur 1 ; n . u représentedoncl’airedela[ ] n portiondeplancompriseentrelesdroitesd’équationsx=1,x=n,y =0etlacourbereprésentantcette TerminaleS 3 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 - · - - - - - - „ - - p - p - p » p ˛ ˛ - - » ˛ » - - - · - - - - ˛ » - -  fonction.Cetteaireaugmentequandnaugmente,cequisetraduitparlefaitquelasuiteuestcroissante. Conclusion:uestcroissanteetmajoréepar1donclasuiteuestconvergente.» Ceraisonnementestexact. xb.Soitflafonctiondéfiniesur [ 0 ; ln 2 ] par: f(x) = ( 2x 1 ) e .Onappelle(C)lacourbereprésentativede fdansunrepèreduplan.Onchercheàcalculerl’airedelaportiondeplanlimitéeparlesdroitesd’équation x=0,x=ln2,y=0etlacourbe(C). Onconsidèrepourcelaleraisonnementsuivant(etlerenseignement ln 2 0,7 ): x«LafonctionFdéfiniepar F(x) = 2x 3 e estuneprimitivedefsur 0 ; ln 2 .Festeneffetdérivablesur( ) [ ] x x x0 ; ln 2 et F '(x) = 2e + 2x 3 e = 2x 1 e .[ ] ( ) ( ) ln 2 ln 2x On a: f(x)dx = ( 2x 3 ) e = ( 2 ln 2 3 ) 2 =( 3 ) 4ln 2 3 0,2 . Comme le résultat est ∫ 00 négatif,c’estquel’airecherchéeestlavaleurabsoluedecerésultat,soit0,2unitéd’aire». Ceraisonnementestexact. 10c.Soit f lafonction définie surℝ  par f(x) = 1+ x . On cherche une approximation de f 0,001 . On( ) ( ) considèrepourcelaleraisonnementsuivant: 9«f est définie et dérivable sur ℝ . Pour x réel, f '(x) = 10 1+ x  et la courbe représentant f possède une( ) tangente au point d’abscisse 0 d’équation y = xf '(0)+ f(0) , soit y = 10x +1 . On en déduit que f(0,001) 10 0,00+1 1 ,soit f(0,001) 1,01 .» Ceraisonnementestexact. d.Soit D l’ensemble des valeurs réelles x telles que sin x 0 . Soit f la fonction définie sur D par: cos x f(x) = . On veut prouver que f est décroissante sur D. On considère pour cela le raisonnement sin x suivant: «festunefractiondontlenumérateuretledénominateursontdérivablessurDetdontledénominateur nes’annulepassurD.OnendéduitquefestdérivablesurD. 2 2sin x cos x 1 Pour x D ,ona f '(x) = = .Pourtout x D ,ona f '(x) < 0 .Commelesignedela 2 2sin x sin x dérivéedonnelesensdevariationdelafonction,c’estquefeststrictementdécroissantesurD.» Ceraisonnementestexact. Exercice 7 xSoit(E)l’équationdifférentielle: y '+ 2y = e sin x . 1 xSoitflafonctiondéfiniepar f(x) = e cos x sin x .( ) 2 xa.festdérivablesurℝ et,pour x ℝ , f '(x) = e cos x . n( n+1 ) ( 1 ) nb.Pour n ℕ , f '(x)dx = e e +1 .( )∫ 2n c.festl’uniquesolutiondel’équation(E)quis’annuleen0. d.Sigestunesolutionde(E),lacourbereprésentantgpossèdeunetangenteaupointd’abscisse0dontune équationestdonnéepar y = 1 2x g 0 .( ) ( ) TerminaleS 4 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 ˛ l - - - - l ˛ l ˛ - p - ˛ l p l p l ˛ - p fi - ˛ l - l fi l ˛  Exercice 8   3x + 2  Leplanestmunid’unrepèreorthonormal (O ; u, v).Soitflafonctiondéfiniepar f ( x ) = ln .On  5x  appelleD l’ensemblededéfinitiondef.f *a. D =ℝ .f + 2 b.Soit g une fonction définie et dérivable sur D =ℝ 0,  telle que quel que soit x D , g g3  3 1 g '(x) = .fetgsontégalesàuneconstanteadditiveprès. 3x + 2 x f(x) 2 c. lim = . x 1 x 1 5 d. lim xf(x) = 0 . x 0 x>0 Exercice 9 * 3x 2 x 2xSoient ℝ etlesfonctionsf etf définiessurℝ par f (x) = e , f (x) = e + 2 e .OnappelleC et1 2 1+ 1 2 C leurscourbesreprésentativesdansunrepèreduplan.2 a.C etC secoupentaupoint A ln ; 3 .( )1 2 *b.Quelquesoit ℝ ,C estau=dessusdeC .1 2+ c.IlexisteunpointBenlequelC etC possèdentlamêmetangente.1 2 d.Lorsque estsupérieurà1,l’airedelaportionduplancompriseentrelescourbesC etC etlimitéepar1 2 21( ) lesdroitesd’équationx =0et x = ln est,enunitésd’aire, . 3 Exercice 10 Onconsidèreunesuitevstrictementcroissantedonttouslestermesappartiennentàl’intervalle 0 ; .[ ] Ondéfinitlessuitescetspour n ℕ par c = cos ( v ) et s = sin ( v ) .n n n n a.Lasuitevconvergevers . b.Lasuitecestcroissante. c.Lasuitesestpériodique. d.Lessuitescetssontadjacentessietseulementsilasuitevconvergevers . 4 Exercice 11   Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormal (O ; u, v).Onconsidèrelasuite z définiepour( )n 2n i 3n ℕ par z = e etonappelle A lepointd’affixe z .n n n a.Quelquesoit n ℕ , A appartientaucercledecentreOetderayon1.n b.Quelquesoit n ℕ , z z = z 1 .n+1 n 1 c.Lasuite z estpériodiquedepériode5.( )n 4 d. z = z + z +... + z = 0 .k 0 1 4∑ k=0 TerminaleS 5 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 l £ W - - - l - · - ‡ - ˛ - l - l - W - £ - - - ˛ - l l ˛  Exercice 12 1 1  Onconsidèrelasuiteudéfiniepour n ℕ* par: u = 1 et u = + u .1 n+1   n2n n  n a.Pour n ℕ* ,ona u = .n n 1 !( ) b.Lasuiteuestcroissante. n 2 3 c.Quelquesoit n ℕ* ,siona n 2 ,alorsonaura: 0 u 2 . n 4  d.Lasuiteuestconvergenteetdelimitenulle. Exercice 13 Onconsidèreunespaceprobabiliséfini ( , p ) danslequelunévénementAalestroispossibilitésA ,A ,1 2 etA deuxàdeuxdistinctesdeseproduireetunévénementBalesdeuxpossibilitésB etB distinctesde3 1 2 seproduire.Letableausuivantdonneenpourcentageslaprobabilitédecertainsévénementsdeseproduire parrapportàl’univers .   A  A  A  Total/A1 2 3 B   20  1 B  30   2 Total/B   10 100  1 Ondonneaussilesrenseignementssuivants: p A = 60 % et p A = .( ) ( )2 B 31 6 a.A etB sontincompatibles.1 1 b.Laprobabilitéd’obtenirB est24%.1 c.SiA estréalisé,laprobabilitéd’obtenirA etB est4%.3 3 1 d.Laprobabilitéd’obtenirA etB est4%.3 1 Exercice 14 Unerampelumineuseestconstituéed’ampoulesbleues,rougesoujaunesprovenantdedeuxusinesU et1 U .U produit60%decesampoules.Laduréedevieenannéesdechacunedecesampoulessuituneloi2 1 exponentielledontlesparamètressontlessuivants:   Ampoulesbleues Ampoulesrouges Ampoulesjaunes = 0,25  = 0,20  = 0,15 AmpoulesdeU  B R J1 1 1 1 = 0,20  = 0,15  = 0,10 AmpoulesdeU  B R J2 2 2 2  1a.Laprobabilitéqu’uneampoulerougeduremoinsde5anssachantqu’ellevientdeU est 0,6 1 e .1 ( ) 1,25 1b.Laprobabilitéqu’uneampoulerougeduremoinsde5ansest1 0,6e 0, 4e . 0,75 1,5 0,5 1c.Laprobabilitéqu’uneampoulejaunedureentre5et10ansest 0,6 e e + 0, 4 e e .( ) ( ) d.Lademi=vieenannéesd’uneampoulejaunedeUest 4 ln 2 .2 TerminaleS 6 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 - - - - ˛ - - ˛ - -  Exercice 15 Leschémaci=dessousreprésenteunesituationdeel’spacedansunrepèreappropriédontlecentreestun point O. On sait que la droite d est orthogonale au plan P. On appelle A le point de coordonnées (2;−1;−2). z d P  = yO 1 1 2 x =  a.LeplanPapouréquationcartésienne x y 2z= 1 0 .  x = 2t  b.Ladroitedapouréquationsparamétriques: y = 1+ 2t , t ℝ.   z = 2 + 4t  x = 2 + 2t  c.Lademi=droiteO[ A)apouréquationsparamétriques: y = 1 t , t ℝ.   z = 2 2t TerminaleS 7 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006 q ˛ q D ˛ q q D q ˛ q q - ˛ ˛ - - D D ˛ ˛  1 d.LasphèredecentreOetderayon estcachéeparP. 2 Exercice 16   L’espaceestmunid’unrepèreorthonormal(O ; i , j , k) . 2 2 y x= sin z y= cos  Pour ℝ ,ondésigneparPetQlesplansd’équationsrespectives P : , Q : .  z ℝ x ℝ   Onappelle ladroited’intersectiondecesdeuxplans. a.Pourtout ℝ ,lesplansPetQsontorthogonaux. z x= 1 b.Pourtout ℝ ,ladroite estcontenuedanslepland’équation . y ℝ c.Pourtout ℝ ,ladroite estorthogonaleaupland’équation x + y + z = 0 .   d.Ilexisteunréel telque soitparallèleauplan(O ; i , j ) .    TerminaleS 8 F.Laroche ConcoursFesic  mai2006
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