FESIC mathematiques 2006

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CPE Lyon – ESA – ESA Purpan – ESCOM – ESEO – IGAL – ISA – ISAB - ISARA-Lyon – ISEN Brest – ISEN Lille – ISEN Toulon – ISEP – LOUIS DE BROGLIE SELECTION FESIC ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2006 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Samedi 13 mai 2006 de 8h. à 10h.30 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice est interdit ainsi que tout document ou formulaire. L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage, seuls les 12 premiers seront corrigés. Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F). Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse). Toute réponse exacte rapporte un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point. L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes). L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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SELECTION FESIC
ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2006
EPREUVE DE MATHEMATIQUES Samedi 13 mai 2006 de 8h. à 10h.30 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice estinterditainsi que tout document ou formulaire. L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage,seuls les 12 premiersseront corrigés. Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F). Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse). Toute réponse exacte rapporte un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point. L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes). L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis. INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE REPONSES Les épreuves de la Sélection FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes : Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer,ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.
1.Collez l’étiquette code-barres qui vous sera fournie (le code doit être dans l’axe vertical indiqué). Cette étiquette, outre le code-barres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez bien ces informations. Exemple:
2.Noircissez les cases correspondant à vos réponses :
FaireNe pas fairePour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont : V F V F vrai faux abstention abstention vrai faux abstention Attention :vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez annuler votre réponse comme indiqué ci-dessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par le surveillant.
Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 1 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct(O;u,v). Soitfqui, à tout point l'application M deP d'affixez,z 1, associe le pointM’ d'affixez' définie par : 2z+1 z'=. z1 a)f possède deux points invariants d'affixes conjuguées. b)L'ensembleEdes points M d'affixesztelles que z'Rest l'axe des abscisses.c)L'ensembleFdes points M d'affixes z telles que|z'| = 2est un cercle. d)A tout point M’ du plan d'affixe z', on peut associer un point M d'affixe z tel que f(M) =M’, sauf au point M’ d'affixe z' = 2. EXERCICE 2 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct(O;u,v). π On considère les compl exesz1,de module 2 et d'argument z2=z1etz3= 1 +i. 3 8 9 z×z 3 1 a)= 4. 11 z 2 4 7 z×z 1 2 b)est un nombre réel. 6 z 3 4 c)(z1z3) = 28.16 3 d)L'ensemble des points M dePd'affixes z telles quearg(z) = arg(z3)est la droite d'équationy=x. EXERCICE 3 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct(O;u,v). On considère le pointAd'affixea= 5i3 . On appelle : π ƒBle point d'affixeb, image deApar la rotation de centreOet d'angle, 3 ƒCle point d'affixec, milieu de [OA], 1 ƒDle point d'affixeddonnée pardc= (ba), 2 ƒetEle point d'intersection des droites (AD) et (BC) a)Le point B a pour affixe b= 3 3+i. b)D est le milieu de[OB]. c)E est le barycentre de{(B, 1), (C, 2)}. d)La droite(OE)est perpendiculaire à(AB).
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Sélection FESIC 2006 EXERCICE 4 a)On considère les quatre courbes ci-dessous :
b)
La courbereprésentant la fonction xsin(x)est la courbeC2. On considère les trois courbes ci-dessous :
x+1 La courbereprésentant la fonction xeest la courbeC1.
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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 c)On considère la fonctionfpar la courbe représentée C ci-dessous et la fonctionF définie sur [0; 4] par x F(x) =f(t)dt. 0
F est croissante sur[0; 4]. d)On considère les mêmes fonctionsfetFque celles définies à l'item c). La fonction F est deux fois dérivable sur[0; 4]et vérifie F"(0) = 0. EXERCICE 5 a)Soient f, g et h trois fonctions définies surR.On suppose que, quel que soit xR,on a : f(x)g(x)h(x), quelimf(x)=3et que limh(x)=5 . x→ +∞x→ +∞ Alors g(x)admet une limite quand x tend vers+et cette limite est comprise entre3et5. 1 x b)Soit f la fonction définie par f(x) =epour x0et f(0) = 0.On appelleCsa courbe représentative dans un repère du plan. Cpossède une asymptote d'équation xlim= 0 et f(x) = 0. x0 x>0
c)
d)
2 x x La fonction F définie par F(x) = lnxest une primitive de la fonction f définie par f(x) =xlnx2 2 + surR*.
Soient f la fonction définie par f(x) = 2lnxetCsa courbe représentative dans un repère du plan. Cpossède au point d'abscisse–1une tangente d'équation y= –2x– 2.
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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 6 n2 t a)Soit u la suite définie pournN*par :un=edt. 1 On veut prouver que la suite u est convergente. On considère pour cela le raisonnement suivant :2 2tt «Je choisism = 0 etM = 1. SoientnN* ett[1;n], on att, donc 0ee. Il s'ensuit que n n tt–1 –n 0und, soit 0n , soit e e tu[e]1nfin 0unee1. Ceci étant vrai pour toutnN*, 1 la suiteuapparaît bornée parm= 0 etM= 1. 2 t Soit de plusnN*. La fonctionteest continue et positive sur [1;n].unreprésente donc l'aire de la portion de plan comprise entre les droites d'équationx = 1,x =n,y = 0 et la courbe représentant cette fonction. Cette aire augmente quandnaugmente, ce qui se traduit par le fait que la suiteuest croissante. Conclusion :uest croissante et majorée par 1 donc la suiteuest convergente.» Ce raisonnement est exact.
b)
c)
d)
x Soit f la fonction définie sur[0; ln 2]par :f(x) = (2x– 1)e.On appelleCla courbe représentant f dans un repère du plan. On cherche à calculer l'aire de la portion de plan limitée par les droites d'équation x= 0,x= ln 2,y= 0et la courbeC. On considère pour cela le raisonnement suivant (et le renseignement :ln 20,7) :x «La fonctionF, définie parF(x) = (2x– 3)eest une primitive defsur [0; ln 2].Fest en effet dérivable sur x x x [0; ln 2] et pourx[0; ln 2] :F'(x) = 2e+ (2x– 3)e= (2x– 1)e. ln 2 ln 2 x On a :f(x)dx=[(2x3)e]= (2ln 2 – 3)×2 – (–3) = 4ln 2 – 3–0,2. 0 0 Comme le résultat est négatif, c'est que l'aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d'aire.» Ce raisonnement est exact.
10 Soitfla fonction définie surRpar :f(x) = (1 +x) . On cherche une approximation de f(0,001). On considère pour cela le raisonnement suivant :9 «fdéfinie et dérivable sur est R. PourxR,f '(x) = 10(1 +xla courbe représentant) et fune possède tangente au point d'abscisse 0 d'équationy =xf '(0) +fsoit (0), y = 10x1. On en déduit que + f(0,001)10×0,001 + 1, soitf(0,001)1,01.» Ce raisonnement est exact.
Soit Dl'ensemble des valeurs réelles x telles que sinx 0.Soit f la fonction définie sur Dpar :cosx f(x) = . sinx On veut prouver que f est décroissante surD. On considère pour cela le raisonnement suivant :«fest une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s'annule pas sur D. On en déduit quefest dérivable sur D. 2 2 sinxcosx1 PourxD, on af '(x) ==. Pour toutxD, on af '(x) < 0. Comme le signe de la 2 2 sinxsinx dérivée donne le sens de variation de la fonction, c'est quefest strictement décroissante sur D.» Ce raisonnement est exact.
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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 7 x Soit [E] l'équation différentielle :y' + 2y=esinx. 1 x Soitfla fonction définie surRpar :f(x) =e(cosx– sinx). 2 x a)f est dérivable surRet, pourxR, f'(x) =ecosx. n (1)nππ (n+1)π b)Pour nN,f' (x)dx=e(e+ 1). nπ 2 c)f est l'unique solution de l'équation[E]qui s'annule en0. d)Si g est une solution de[E], la courbe représentant g possède une tangente au point d'abscisse0dont une équation est donnée par : y= (1 – 2x)g(0). EXERCICE 8 G G Le plan est muni d'un repère orthonormal(O;u,v). 3x+2Soitfla fonction définie parf(x)=ln⎜ ⎟. On appelle Dfl'ensemble de définition def. 5x+ a)Df=R*.
⎧ −2b)D , Soit g une fonction définie et dérivable surDg =R0;telle que quel que soit xg 33 1 g'(x) =. 3x+2x f et g sont égales à une constante additive près.f(x)2 c)lim=. x1 5 x1 d)limxf(x)=0 . x0 x>0 EXERCICE 9 + Soientλ∈R* et les fonctionsf1etf2définies surRrespectivement par : 3x2x2x f1(x) =eetf2(x) = –λe+ 2λe. On appelle respectivementC1etC2leurs représentations graphiques dans un repère du plan. a)C1etC2se coupent au pointA(lnλ; 3λ). + b)Quel que soitλ∈R*,C1est "audessus" deC2. c)Il existe un point B en lequelC1etC2possèdent la même tangente. d)Lorsqueλest supérieur à 1, l'aire de la portion de plan comprise entre les courbesC1etC2et limitée par 3 (λ1) les droites d'équation x= 0et x=lnλest, en unités d'aire: . 3
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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 10 On considère une suite réellevstrictement croissante dont tous les termes appartiennent à l'intervalle [0;π]. On définit les suitescetspournNpar :cn= cos(vn) etsn= sin(vn). a)La suite v converge versπ. b)La suite c est décroissante. c)La suite s est périodique. d)Les suites c et s sont adjacentes si et seulement si la suite v converge vers . 4 EXERCICE 11 G G Le plan complexePest muni d'un repère orthonormal direct(O;u,v). 2nπ i 5 On considère la suite (zn) définie pournNparzn=eet, pournN, on appelleAnle point d'affixezn. a)Quel que soitnN,Anappartient au cercle de centre O et de rayon1.
b)Quel que soitnN, |zn+1zn| = |z1– 1|. c)La suite(zn)est périodique de période5. 4 d)= zkz0+z1+ … +z4= 0. k=0 EXERCICE 12 1 1eudéfinie pourn* par :u= On considère la suitN11 etun+1=⎜ + un. 2 n nn a)Pour tout nN*,on aun= . (n1)! b)La suite u est décroissante. n2 3c)Quel que soit nN,si on an2,alorson aura:0un2× ⎜ . 4d)La suite u est convergente et de limite nulle.
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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 13 On considère un espace probabilisé fini (Ω,p) dans lequel un événement A a les trois possibilités A1, A2et A3deux à deux distinctes de se produire et un événement B a les deux possibilités B1B et 2de se distinctes produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains événements de se produire par rapport à l'universΩ:  A1A2A3Total / B B1 20 B B230 B Total / A100 10 On donne aussi les renseignements suivants : 1 (A ) tant la probabilité d'obtenir A sachant p(A2) = 60% etp(A )= (l'écriturepB13 représen3que B1 est B 3 1 6 réalisée). a)A1etB1sont incompatibles.B b)La probabilité d'obtenirB1est24%. c)SiA3est réalisée, la probabilité d'obtenirA3etB1est4%. d)La probabilité d'obtenirA3etB1est4%. EXERCICE 14 Une rampe lumineuse est constituée d'ampoules bleues, rouges ou jaunes provenant de deux usines U1et U2. U1produit 60% de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :  Ampoules bleues Ampoules rouges Ampoules jaunes Ampoules de U1λB1= 0,25λR1= 0,20λJ1= 0,15 Ampoules de U2λB2= 0,20λR2= 0,15λJ2= 0,10 –1 a)La probabilité qu'une ampoule rouge dure moins de 5 ans sachant qu'elle vient deU1est0,6(1 –e). –1,25 –1 b)La probabilité qu'une ampoule bleue dure moins de 5 ans est1 – 0,6e– 0,4e. –0,75 –1,5 –0,5 –1 c)La probabilité qu'une ampoule jaune dure entre 5 ans et 10 ans est0,6(ee) + 0,4(ee). d)La demivie en années d'une ampoule jaune deU2est4ln 2.
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Epreuve de Mathématiques Sélection FESIC 2006 EXERCICE 15 On considère la représentation ci-dessous de l'espace rapporté à un repère orthonormal dont le centre est un pointO. On sait que la droiteDest orthogonale au planP. On appelleAle point de coordonnées 2, –1, –2 .
a)
b)
c)
d)
Le planPa pour équation cartésienne :xy– 2z– 1 = 0. x= −2t La droiteDa pour équation paramétrique:y=1+2t,avectR. z=2+4t x=2+2t = − La demidroite[OA)a pour équation paramétrique:y1t,avectR. z= −22t 1 La sphère de centre O et de rayonest cachée parP. 2
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Sélection FESIC 2006 EXERCICE 16 L'espace est muni d'un repère orthonormal(O;i,j,k). Pourθ∈R, on désigne parPetQles plans d'équations respectives : 2 2 yx=sinθ ⎧zy=cosθ P: ;Q: . ⎨ ⎨ zRxR ⎩ ⎩ On appelleΔla droite intersection de ces deux plans. a)Pour toutθ∈R,les plansPetQsont orthogonaux. zx=1 θ∈ Δ b)Pour toutR,la droiteest contenue dans le plan d'équation. yR c)Pour toutθ∈R,la droiteΔest orthogonale au plan d'équationx+y+z= 0. G G d)Il existe un réelθtel queΔsoit parallèle au plan(O;i,j).
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