GEIPI mathematiques 2000

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TerminaleS mai2000 Concours Geipi 2000 CorrectiondansSujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002.1. Exercice 1 (15 points) PartieA22x 2Onconsidèrel'application g de[0; +∞[dansR définiepar g(x)= − ln(x +1) oùlndésignela2x +1fonctionlogarithmenépérien.1.a.Déterminerlalimitedeg(x)quandx tendvers+∞.b.Calculerladérivéedegetdonnerletableaudevariationdeg.2.a.Montrerque,surl'intervalle[1;+∞[,l'équationg(x)=0admetunesolutionuniqueα .−1b.Donnerunevaleurapprochéedeαà10 prèsetjustifierlaréponse.+3.PréciserlesignedegsurR .PartieB2ln(x +1)Soit f la fonction définie sur [0;+∞ [ par f (x)= si x > 0, f (0)= 0 et soit (C) la courbexr rreprésentativedefdansunrepèreorthonormal O ;i ,j .( )f (x)−f (0)1.a.Calculer lim .DétermineruneéquationdelatangenteT à(C)aupointd'abscisse0.0x→0 xb.Montrerque lim f (x)= 0 etque lim f (x)= 0 .x→0 x→+∞2.a.Calculerf '(x)etdonnerunerelationliantf ’(x)etg(x)pourx>0.2αb.SoitαleréeldéfiniàlaquestionA.2.a.Établirquef (α)= .2α +1c.Donnerletableaudevariationdefettracerlacourbe(C).PartieCxOnconsidèrelafonctionFdéfiniesur[1;+∞[parF(x)= f(t)dt .∫ 12 21.Montrerque,pourtoutxdel’intervalle[1;+∞[, ln(x )< ln(x +1) .EndéduireleréelAtelque,pour2ln x ln(x +1)x >1, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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 Terminale S
 
 
            Correction dans       .  
     Partie A
 
 
mai 2000
 
; + dans [R dg x)=x2x+21ln(x2+1) où ln désigne la On considère l'applicationde [0 éfinie par(2 fonction logarithme népérien. 1. a. Déterminer la limite de() quandtend vers +. b. Calculer la dérivée deet donner le tableau de variation de. 2. a. Montrer que, sur l'intervalle [1 ; +[, l'équation() = 0 admet une solution uniqueα b. Donner une valeur approchée deαà 10−1près et justifier la réponse. + 3. Préciser le signe desurR. Partie B
Soit la ; + fonction définie sur [0 [ parf(x)=ln(x2+ is )1x>0,f(0)=0 et soit (C) la courbe x représentative dedans un repère orthonormalO;i,j.
1. a. Calculerlimf(x)f(0). Déterminer une équation de la tangente T0à (C) au point d'abscisse 0. x0x b. Montrer quelimf(x)=0et quelimf(x)=0. x0x→+∞ 2. a. Calculer'() et donner une relation liant’() et() pour> 0 . b. Soitαle réel défini à la question A. 2.a. Établir quef(α)=α22α+1. c. Donner le tableau de variation deet tracer la courbe (C). Partie C
x On considère la fonctiondéfinie sur [ 1 ; +[ parF(x)=f(t)dt. 1
1. Montrer que, pour toutde l’intervalle [ 1 ; +[,ln(x2)<ln(x2+1). En déduire le réeltel que, pour Alnx<ln(x2+1). > 1,.   x x 2. Calculer, pourx1, l'intégraleI(x)=xlntdt. On explicitera le calcul et on trouvera() de la forme 1t () =(ln)!. 3. a. A l'aide des questions C.1. et C.2., déterminer une fonctionϕtelle que, pour toutx1,ϕ(x)F(x). b. En déduire la limite de() quandtend vers +. Justifier la réponse. 4. Déterminer la dérivée'() de() et donner le tableau de variation de la fonction 
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 On considère le tétraèdre"#ci<contre ; on notele milieu de [] et$le milieu de ["#]. 1. a. Soit%1 udnecy ert bar, le; (#}. , 1)sètsytsin  dmepoe D pondérés {(,1) ; (, 1) ; (", –1)   ExprimerIG1en fonction deCD. b. Soit%2le barycentre du système de points pondérés {(, 1) ; (, 1) ; (#, 2)}. ExprimerIG2en fonction deID. En déduire la position de%2par rapport aux pointet#.    c. ExprimerJG1en fonction deCI. En déduireG2G1 en fonction deG2J. Préciser la position de%2 parA C rapport aux points%1et$. d. Compléter la figure ci<contre en y plaçant les points ,$,%1,%2. 2. Soit&un réel. On note%&le barycentre du système de points pondérés {(, 1) ; (, 1) ; (",&– 2) ; (#,&)} quand il existe. a. Préciser l'ensemble (E) des valeurs de& pour lesquelles le barycentre%& Dans les questions existe. qui suivent, on suppose que&appartient à (E).    b. Déterminer, en fonction de&, les réelset'tels quemIGm=aIC+bID. On donnera le détail du calcul. En déduire que%&appartient à un plan fixe (P). On donnera trois points définissant ce plan.  c. Vérifier quem JGmégal à un vecteur constant, que l'on précisera.est d. En déduire l'ensemble (F) des points%&du plan (P) lorsque&décrit (E).
B
     Une urne U contient quatre boules noires et deux boules blanches. On tire simultanément deux boules dans l'urne. 1. a. Quelle est la probabilitéd'obtenir deux boules noires ? b. Quelle est la probabilité''d'obtenir deux boules blanches ? c. Quelle est la probabilité'd'obtenir deux boules de couleurs différentes ? 2. Un jeu se déroule selon la règle suivante : le joueur tire simultanément deux boules dans l'urne U qui contient quatre boules noires et deux boules blanches.  
Si les deux boules sont noires, le joueur gagnefrancs (> 0) et le jeu s'arrête. Si les deux boules sont blanches, le joueur perd 6francs et le jeu s'arrête. Si les deux boules sont de couleurs différentes alors il ne remet pas les boules dans l'urne et tire une seconde fois simultanément deux boules de l'urne - si les deux boules tirées sont noires, il gagne' francs (on suppose'>0,ba) et le jeu s'arrête, - sinon, il perd 3 francs et le jeu s'arrête. On désigne par% la variable aléatoire dont les valeurs sont égales aux gains (positifs ou négatifs) du joueur. a. Faire un arbre correspondant à tous les gains possibles. b. Quelle est la probabilité( tirer deux boules noires au second tirage, sachant que l'on a tiré deux de boules de couleurs différentes au premier tirage ? c. Quelle est la probabilité(%=') de gagner'francs ? d. Faire un tableau définissant la loi de probabilité de la variable aléatoire%.
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 e. Exprimer en fonction de' l'espérance mathématique E(%) de la variable aléatoire%. Pour quelle valeur de'le jeu est<il équitable, c'est<à<dire E(%) = 0 ? f. Pour la valeur de'ainsi trouvée calculer, en fonction de, l'écart<typeσG(a)de la variable%.
    
π Le but de l'exercice est le calcul de l'intégraleK=04(cosθ).ln (cosθ)d où ln désigne la fonction logarithme népérien. 2 = 1. On considère l'applicationde ]–1 ; +1[ dansdéfinie parf(u1)uu2. Déterminer les réels,'ettels que, pour toutappartenant à ] –1 ; + 1 [,f(u)=a+1+bu+1cu. x –1 ;+1[,F (( ) ). 2. On pose, pourdans ]x=0f u du
a. Calculer(). b. Exprimer'() à l'aide de(). 3. On pose, pourθ2π2;π,g(θ)=F(sin ). Calculer'(θ). On donnera le détail du calcul de'(θ) et on constatera queg'(θ)Aniscos2θθ = un est entier positif. π sin Iθdθ 4. En déduire la valeur de l'intégrale=04cos2θ. 5. A l'aide d'une intégration par parties et de la valeur de, calculer l'intégrale). On posera u(θ)=ln (cosθ),v'(θ)=coset on donnera le détail du calcul.
     Le plan complexe P étant rapporté à un repère orthonormé direct(O;u,v), on appelle : le point d'affixe 1,
1l'ensemble{1}, P1le plan P privé du point A, P+P ayant une ordonnée positive ou nulle,le demi<plan formé par les points de Pl'ensemble des points de P dont l'ordonnée est négative ou nulle. Soitl'application de, dansdéfinie parf(z)=z11et soit T l'application de P1dans P qui, au point &d'affixe*, associe le pointd'affixe+=(*).
1. a. On poseZ0=f(4+i3). Donner l'expression algébrique et la forme exponentielle de+0. b. Déterminer les complexes*1 et*2 l'équation vérifiant(*) = –*. Donner les formes algébriques et exponentielles de*1et*2. 2. On considère les points&(*) et(+) où+=(*). a. Exprimer et arg+en fonction dez1et arg(*– 1). b. On suppose que le point& au cercle (C) de centre appartient et de rayon, En. Déterminer . déduire queappartient à un cercle (C') dont on précisera le centre et le rayon.
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 c. Soit (C1) le demi<cercle intersection de (C) et du demi<planPet&(*) un point de (C1). Que peut<on dire de arg(*– 1) ? En déduire une courbe (C'1) à laquelle appartient le point, où= T(&). 3. On pose*=+-et+=.+/, où,-,.,/sont des réels et+=(*). a. Exprimer.et/en fonction deet- b. Quel est l'ensemble E des valeurs de*pour lesquelles(*) est réel ? c. Quel est l'ensemble F des points&tels que T(&) appartienne à la droite(O,v)?
4. On considère la droite (D) d'é tion1. Soit&le point de la droite (D) ayant pour ordonnée- ua   = q2 a. Quelle est l'affixe*de&? b. Soit+=(*). Exprimer+en fonction de- c. Soitle point d'affixe+etle point d'affixe – 1. Calculer. En déduire que le pointappartient à un cercle (G) dont on donnera une équation cartésienne.
5. On considère, pourdans l’intervalle [ –1 ; +1 [ , la courbe (γ) d'équation :y=
1x2.
a. Quelle est la nature géométrique de (γ) ? l'application de [ –1 ; +1 [ dansRdéfinie parx xlculerϕ (). Donner le tableau ' b. Soitϕ ϕ( )=11+x. Ca de variations de la fonctionϕ. Quelle est l'image parϕde l'intervalle [–1 ; +1[ ?
c. On considère le point&de (γ) d'affixez=x+i1x2, [ –1 ; +1 [.
Soit= T(&),d'affixe+=.+/.  α. Calculer.. En déduire que le pointappartient à une courbe (Δ) que l'on précisera.  β. Exprimer/en fonction deϕ(). En déduire T(γ) , image par T de la courbe (γ).  
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