GEIPI mathematiques 2003

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Le sujet comporte 13 pages numérotées de 1/13 à 13/13 EXERCICE I – (9 points) Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus ci-dessous Un constructeur automobile achète des pneus à trois fournisseurs dans les proportions suivantes : 20 % au premier fournisseur, 50 % au second fournisseur, 30 % au troisième fournisseur. Le premier fournisseur fabrique 90 % de pneus sans défaut, le second fournisseur fabrique 95 % de pneus sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 80 % de pneus sans défaut. On note F l'événement "le pneu provient du premier fournisseur", F l'événement "le pneu provient du second 1 2fournisseur" et F l'événement "le pneu provient du troisième fournisseur". 3 1- On choisit un pneu au hasard dans la livraison. On note S l'événement "le pneu est sans défaut". a- Calculer la probabilité P ( S ) que le pneu soit sans défaut. b- Le pneu choisi étant sans défaut, quelle est la probabilité P ( F ) qu'il provienne du premier S 1−3 fournisseur ? Donner la valeur exacte et une valeur approchée à 10 près, de P ( F ) . S 1 2- On suppose que la probabilité qu'un pneu monté soit sans défaut est de 0,895. Calculer la probabilité R, que sur un lot de 12 pneus montés, un pneu au plus soit défectueux. −3 On donnera une valeur approchée à 10 près de R. 3- La durée de vie en km d’un pneu est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre : 1 −5λ = = 2×10 . 50000x−λ tP() T ≤ x = ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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EXERCICE I  (9 points)
Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus ci-dessous Un constructeur automobile achète des pneus à trois fournisseurs dans les proportions suivantes :
20%au premier fournisseur,05%au second fournisseur,30%au troisième fournisseur.
Le premier fournisseur fabrique%09pneus sans défaut, le second fournisseur fabrique de 59% de pneus
sans défaut, le troisième fournisseur fabrique80%de pneus sans défaut. On noteF1l'événement "le pneu provient du premier fournisseur",F2l'événement "le pneu provient du second fournisseur" etF3l'événement "le pneu provient du troisième fournisseur". 1-On choisit un pneu au hasard dans la livraison. On noteS l'événement "le pneu est sans défaut". a-Calculer la probabilitéP(S) que le pneu soit sans défaut. b-Le pneu choisi étant sans défaut, quelle est la probabilitéPS( F1) provienne du premier qu'il  fournisseur ? Donner la valeur exacte et une valeur approchée à103près, dePS( F1). 2-que la probabilité qu'un pneu monté soit sans défaut est de On suppose 0,895.  Calculer la probabilitéR,que sur un lot de12pneus montés,un pneu au plussoit défectueux.  On donnera une valeur approchée à103près deR. 3-vie en km dun pneu est une variable aléatoireLa durée de T : paramètrequi suit une loi exponentielle de 1λ= =2×105. 50000 x[0 ; +[, on a :Tx=λeλdt.  Selon cette loi, pour toutdeP0xt
a-Quelle est la probabilitéP1qu'un pneu dure moins de50 000 km? Donner la valeur exacte deP1. b-Quelle est la probabilitéP2qu'un pneu dure plus de50 000 km? Donner la valeur exacte deP2. c-Quelle est la probabilitéP3qu'un pneu dure plus de50 000 km, sachant qu'il a déjà duré25000 km?  Donner la valeur exacte deP3.
I-1-a-
I-1-b-
I-2-
I-3-a-
I-3-b-
I-3-c-
P(S)=, 95 0 8
REPONSES A LEXERCICE I
l cte de36 va eur exaPS( F1):179valeur approchée dePS( F1):0,201 valeur approchée deR:0,636
P1= 1e1
P2=1e
1 P3=e=
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1 e2
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EXERCICE II  (11 points)
Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 3
A - Préliminaires:
On considère deux points quelconquesMetNdu plan .
1- Déterminer la normeu vecteu, du1. ru=MN M
2- SoitQun point du segment[MN]et soit le vecteur :w=Q1MQM+Q1NQN.
Justifier que le vecteurwest nul.
B -On considère un triangleABCdu plan dont les trois angles sont aigus.
On note de la façon suivante les mesures des angles géométriques de ce triangle : BAC,ABC=etACB= . =
A
C On désigne parA1 pied de la hauteur du triangle, leABC, issue de
.
B
1- a- Exprimertanettandes côtés de triangles judicieux de la figure, en fonction des longueurs
donnée.
b-Montrer queA1est barycentre du système(B , tanβ);( tanC ,γ).
2 que le barycentre- Justifier
 triangleABC.
du système(A , tanα);(B , tanβ);(C , tanγ)est l'orthocentre du
3- SoitA,BetC les milieux des côtés respectifs[BC],[AC]et[AB].
a que les médiatrices du triangle- MontrerABC sont les hauteurs du triangleABC.
b-En déduire que le centreOdu cercle circonscrit au triangleABCest barycentre des points A BetCaffectés de coefficientsa,betcque l'on précisera.,
c-En déduire que le centreOdu cercle circonscrit au triangleABCest barycentre des points A,BetC affectés de coefficientsa,b etcque l'on précisera.
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II-A-1-
II-A-2 -
u
1 = MN
MN
Justification de :w=0
REPONSES A LEXERCICE II
=1
CommeQ[MN]les vecteursQM etQN colinéaires et nont pas le même sens. sont
Les vecteursQ1MQM etQ1NQNsont unitaires daprès la questionII-A-1-. De plus, ils sont colinéaires et de sens opposés. Leur somme est donc nulle.
II-B-1-a-
AA tan=1A1B
II-B-1-b-Justification de :
AA1 tan=A1C
A1 barycentre du système(B , tanβ);(C , tanγ)
ABC11[ ]donc daprèsI-A-2-, on a :11A1ABB+A1AC1C=O
En multipliant les deux membres de cette égalité parAA1 on obtient :tanβ. A1B+tanγ. A1C=OdoncA1 estabertnecyrde( tanB ,β);(C , tanγ)
II-B-2-Justification de :Horthocentre deABCHbarycentre de( tanA ,α);(B , tanβ);(C , tanγ) donc par associativité des barycentres, H deest barycentre( tanA ,α),(A1, tanβ +tanγ) doncH appartient à la droite(AA1), hauteur deABC.
BB SoitB1le pied de la hauteur deABCissue deB. On a :tanα=BB1AB1 ettanγ=B1C1
CommeB1[AC], alors daprèsI-A-2-;B1AB1A+B1CB1C=O1 1
En multipliant parBB1 cette égalité, on obtient :tanαB1A+tanγB1C=OdoncB1est barycentre de( tanA ,);(C , tanγ)α
Ainsi par associativité des barycentres, le barycentreHde(A , tanα);(B , tanβ);(C , tanγ) est aussi le barycentre de( tanB ,β),(B1, tanα +tanγ)
doncHappartient à la hauteur(BB1)deABC. AinsiHest lorthocentre deABC.II-B-3-a- médiatrices de lesJustification de :ABC sont les hauteurs deABCSoit1 la médiatrice de[BC]alors1passe parAet1(BC). OretC'sont les milieux de[AC] et de[BA] donc( )B' C' est parallèle à(BC). Ainsi1( )B' C' doù1 est la hauteur issue deAdu triangleA' B' C'. Même raisonnement pour montrer que les deux autres médiatrices deABCsont hauteurs deA B' C'.' II-B-3-b-a'=tan b'=tanc'=tanII-B-3-c-a=tan+tan b=tan+tan c=tan+tan
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EXERCICE III  ( 9 points ) Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 5 La réussite de certaines recettes de cuisine réside en un chauffage doux et homogène, que lon réalise par
lintermédiaire dun bain-marie.
On considère une préparation (un ramequin par exemple, de taille suffisamment petite pour quon puisse y considérer la température comme uniforme) dontla température initiale est 20 °C.On la met dans uneiriabam-ndire dans un récipient contenant de l', c'est à eau maintenue à
température constante de 80 C. °
La températureT(t)de cette préparation en fonction du temps suit la loi de Newton, décrite par léquation différentielle suivante : (E):T(t)=K(T(t)80) (Kest un réel, fixé, strictement positif) Lunité de temps est laminute!
1- Sans résoudre léquation(E)sens de variation de la fonction, donner le T. Justifier votre 2- a-Donner, en fonction deK générale des solutions de léquation, lexpression(E).
réponse.
b-En utilisant la donnée initiale,déterminer, en fonction deK et du tempst température, laT(t)  du ramequin. 3 plongeant un thermomètre culinaire dans la préparation, on constate quau bout de- En10 minutesla
 température est de42,2 °C.
En déduire la valeur exacte deKet justifier votre résultat.  Donner une valeur approchée deKà104 près.
4- choisissant cette valeur approchée pour EnK, déduire lexpression de la températureT(t)du
 ramequin à l'instantt.
→ → 5- Dans un repère orthonormé( jO, i ,) considère la courbe, onCT représentative de la fonction Tdéfinie à la questionIII -4. - Justifier queCT admet une asymptotequandttend vers+ ∞et donner une équation de.
6-préparation est cuite à point lorsque la température atteint La 65 °C.
Pendant quelle duréedla cuisson après que lon ait relevé la doit-on encore prolonger
température de42,2 °C.Justifier votre résultat.
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III-3-
REPONSES A LEXERCICE III
III-4-
III-5-
III-6 -
III-2-a-
Justification :
,
Pour touttpositif a : on20T(t)80 donc
soit
t
0
quelque
80
(t10)minutes
=
t=ln(0,25)=30, 0..... etd 0,0462
e0,0462t=65008=0,25 6
Justification :
T(t)=65
60e0,0462t+80=65
III-2-b-
III-1-
Sens de variation deT:Test croissante
e10K=42,26800=0, 63
60e10K+80=42,2
T (10)=42,2
Valeur approchée de:0,0462
T(t)et=600, 0462+80
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ln(0, 63) 10
=
10K=ln(0, 63)K
ln(0, 63) = 10
TC(t)=CeKt+80 avec
T(t) =60eKt+80
Les solutions de(E)sont de la forme :
 un réel quelconque
T(t)
Comme alorsK(T(t)80)0 ainsiT(t)0 K>0'
Justification :
Equation de:y=80
d= 20 minutes
lim T (t)=80 carlim e0, 0462 t+ ∞t+ ∞
=0
K Valeur exacte de:
Justification :
EXERCICE IV(9 points)
Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 7
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé(O,u ,v ).
Dans tout cet exercice, on désigne parz le complexe conjugué de , par
et pararg zun argument dez(défini à2 kπprès oùkZ).
zle module du complexez
SoitF la fonction qui, à tout pointM du plan, daffixez non nulle, associe le pointM ' daffixedéfinie
par :z'=1. z
1- a-etéDrenimrz'en fonction dez.
b- en fonction dun argumentDéterminer un argument dearg zdez.  Que peut-on en déduire pour les pointsO,MetM '?
2 -On considère le cercleΓde centreOet de rayon1. SoitM daffixeun point dez.  a-imentéreDrz'.  b-Quelle est limage du cercleΓpar la fonctionF? 3 - On appelleA etBles points daffixes respectives1 et 1 etC le cercle de centreA le, contenant
 pointO. SoitM un point du plan daffixez.  a-Quelle relation doit vérifierz,pour queMappartienne àC?  b-On suppose queM est un point du cercleC, différent deO. ' Calculer alorsz+1. On justifiera le résultat. z' Comparer alors les longueurs BM 'etOM '. En déduire queM 'appartient à une droite fixeD précisera., quon  c-Construire sur la figure, les imagesM'1etM2'des pointsM1 etM2.
B
1
1 2
O
M2
A
1
M1
d-Quelle est limage du cercleC privé deO la fonction, parF?
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C
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REPONSES A LEXERCICE IV
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=
1z
1
z
IV-3-d-
=1
Limage deC privé deO parF estla droiteD.
1
1 + z'
Justification :
z'+1 z'
=
=
1z
Γ parF cercleest le
 lui-même.
MC seulement si si etz1=
1
IV-3-b-
=
z'+11 = z'
IV-2-a-
IV-1-b-arg z'=arg z+(2 )Déduction pourO,MetM:O , M ' et M sont alignés  etO appartient au segment[M
Comparaison deBM etOM':BM '=OM
z'=1
IV-2-b-
'
IV-3-a-
Limage de
.Dest la médiatrice du segment
1 Dest la droite déquationx= − 2
IV-1 a - -
z'
=
1 z
M']
IV-3-c-
.
]
[OB
M
A
O
1 2 M'1
1
M'2
B
1
C
1
M
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EXERCICE V(22 points)
Donner les réponses aux questions de la partie A et aux questions 1 et 2 de la partie B dans les cadres prévus à la page 9
PARTIE A
x1 Soit la fonction d ar . féfinie sur]_; 1[U]1;+ ∞[ pf (x)=e1x
On noteCfsa courbe représentative dans un repère orthonormé(O, i,j).
1 -
2 -
a- Déterminerf ' (x) et donner le tableau de variation defen précisant les limites aux bornes de
 lensemble de définition def.  Donner, dans ce tableau, la valeur def( _ 1)données dans le tableau seront exactes.. Les valeurs b-Donner les équations des droites asymptotes de la courbeCf.
Soita un réel distinct de1 etMle point de la courbeCfdabscissea.
Déterminer, en fonction dea équation de la tangente, uneTMà la courbeCf, au pointM.
PARTIE B On considère lintégrale suivante :J=10 dtf (t). Lobjet de cette partie est dencadrer lintégraleJet non den calculer la valeur exacte. 1- à la question vu le tableau de variation de UtiliserV - A - 1 - a - pour justifier que lon a : 1J1 e2.
2- pose, pour t On0 out entier natureln:un=tnet1dt. 1 a- Calculeru0. b- Etablir une relation de récurrence entreun+1 etun laide dune intégration par parties, à t=  dansun+1 où lon posera :g (t)=tn+1 et eh' ( )− −1.  On donnera le détail des calculs. c- Calculer alors successivementu1,u2,u3,u4 etu5 sous la forme :ui=pi+qie1 oùpietqientiers relatifs que lon précisera, pour chaque sont deux ui, dans le tableau  prévu à cet effet. (On utilisera le résultat de la questionV - B - 2 - a - pouru0).
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V-B-1- de Justification1eJ12 le tableau de variation de: Daprèsfvu en V-A-1-a-,
V-B-2-a-
V-B-2-b-
t 21[ ]01 ete1J
on a pour tout de[1;0]:1ef (t)21
1 2
e1
V-A-1-b- asymptotes de LesCfont pour équation :x1ety
− − − deTM:ae a1 a e( )1 y=x− + V-A-2- Equation(1a)2a1a
=0
+
+
1
pn = p01 p1=0 p2=1 p3=2 p=9 4= p544
_
½
f
0
+
1
un u0=1e1 = u1e1 e u2=1 21e u3=2 61
u4=924e1u5=44120e1
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h' (t)=e− −1h (t)= −et1 doùun+1=tn+1et110+10(n+1)tnet1 +1=(1)+1+(+1 doncun nn)un
V-B-2-c-
0 1 2 3 4
5
n
g' (t)(n+1)tn
dt
0 1 12
tdt ainsie1[ ]01
u0=1e1g (t)=tn+1
donc011dteJ
f ' (x)
_
+
(x)
V-A-1-a-
0
0
x
x1 x e f ' (x)=(1x)2
9/13
qn q0= −1 q= −1 1q2= −2 q3= −6 q4= −24 q5= −120
REPONSES A LEXERCICE V  PARTIE A  PARTIE B
J
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