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Mathématiques-BrevetdetechniciensupérieurSession2009-GroupementASpécialitésCIRA,SystèmesélectroniquesLesujetcomprend7pages,numérotéesde1à7Lespages5,6et7sontàrendreaveclacopie.Exercice1 -(9points)Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développementen série de Fourier defonctionspériodiquesrencontréesenélectricité.1. Onconsidèreunentiernatureln strictementpositif.Montrerque:Z1 cos(nπ)−1tcos(nπt)dt=2 2n π0 Z1 cos(nπ)Pourlasuitedel’exercice,onadmetque: tsin(nπt)dt=− .nπ02. Onconsidèrelafonction f définiesur R,périodiquedepériode2,telleque:(f(t)=t sur[0;1[f(t)=0 sur[1;2[(a) Enutilisantledocumentréponsen°1,àrendreaveclacopie,tracerlacourbeC représen-ftativedelafonction f surl’intervalle[−4;4].(b) OnappelleS lasériedeFourierassociéeàlafonction f.f+∞XOnnoteS (t)=a + [a cos(nπt)+b sin(nπt)]f 0 n nn=1Calculera0Donnerlesvaleursdescoefficientsa et b etendéduireque:n n· ¸+∞X1 cos(nπ)−1 cos(nπ)S (t)= + cos(nπt)− sin(nπt)f 2 24 n π nπn=1 Z2£12 2(c) Calculerlecarrédelavaleurefficacedelafonction f,définiparμ = f(t)] dt.ef f 2 0(d) Recopieretcompléter,aveclesvaleursexactes,letableausuivant:n 1 2 3anbn−3(e) Donnerunevaleurapprochéeà10 prèsdunombreréel A définipar:3X1 2 2a + (a +b )0 n n2 n=1A=2μef f13. Soit g la fonction définie sur R , périodique de période 2, dont la courbe représentativeC estgtracéesurl’intervalle[−4;4]dansledocumentréponsen°1.OnadmetqueledéveloppementensériedeFourierS (t)associéàlafonctiong,estdéfinipar:gS ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Mathématiques  Brevet de technicien supérieur Session 2009  Groupement A Spécialités CIRA, Systèmes électroniques
Le sujet comprend 7 pages, numérotées de 1 à 7 Les pages 5, 6 et 7 sont à rendre avec la copie.
Exercice 1 (9 points)
Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier de fonctions périodiques rencontrées en électricité.
1. Onconsidère un entier naturelnstrictement positif. Montrer que : Z 1 cos(nπ)1 tcos(nπt) dt= 2 2 0nπ Z 1 cos(nπ) Pour la suite de l’exercice, on admet que :tsin(nπt) dt= −. 0nπ 2. Onconsidère la fonctionfdéfinie surR, périodique depériode 2,telle que : ( f(t)=tsur [0;1[ f(t)=0 sur[1;2[ (a) Enutilisant ledocument réponse n°1, à rendre avec la copie, tracer la courbeCfreprésen tative de la fonctionfsur l’intervalle [4; 4]. (b) OnappelleSla série de Fourier associée à la fonctionf. f +∞ X On noteS(t)=a fa0+[ncos(nπt)+bnsin(nπt)] n=1 Calculera0 Donner les valeurs des coefficientsanetbnet en déduire que : · ¸ +∞ X 1 cos(nπ)1 cos(nπ) Sf(t)= +cos(nπt)sin(nπt) 2 2 4nπnπ n=1 Z 2 1£ 2 2 (c) Calculerle carré de la valeur efficace de la fonctionf, défini parµ=f(t)] dt. e ff 20 (d) Recopieret compléter, avec les valeurs exactes, le tableau suivant :
n1 2 3 an bn 3 (e) Donnerune valeur approchée à 10près du nombre réelAdéfini par : 3 X 1 2 2 a+b) a0+(n n 2 n=1 A= 2 µ e ff
1
3. Soitgla fonction définie surR, périodique depériode 2, dont la courbe représentativeCgest tracée sur l’intervalle [dans le document réponse n°1.4; 4] On admet que le développement en série de FourierSg(t) associé à la fonctiong, est défini par : Sg(t)=Sf(t) Justifier que : · ¸ +∞ X 1 cos(nπ)1 cos(nπ) Sg(t)= +cos(nπt)+sin(nπt) 2 2 4nπnπ n=1 4. Soithetkles fonctions définies surR, périodiques depériode 2, telles que : h(t)=f(t)+g(t) etk(t)=f(t)g(t)pour tout nombre réelt (a) Surledocument réponse n°1, à rendre avec la copie, tracer les courbesChetCkrepré sentatives des fonctionshetksur l’intervalle [4; 4]. (b) Onadmet que les développements en série de FourierShetSkassociés respectivement aux fonctionshetk, sont définis par : Sh(t)=Sf(t)+Sg(t) etSk(t)=Sf(t)Sg(t) Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonctionshetk.
2
Exercice 2 (11 points)
Dans cet exercice, on étudie un système « entréesortie ». La partie A permet de déterminer la réponse à l’échelon unité. Les parties Bet Cpermettent d’étudier les perturbations résultant d’une coupure de0, 1seconde.
On rappelle que la fonction échelon unité est définie par : ( U(t)=0 sit<0 U(t)=1 sit0
et qu’une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[.
Partie A : On considère la fonction causales1telle que, pour tout nombre réelt: Z t s1(t)+s1(u) du=U(t) (E1) 0 On noteS1la transformée de Laplace de la fonctions1. 1 1. MontrerqueS1(p)=. p+1 2. Endéduires1(t) pour tout nombre réelt. La courbe représentative de la fonctions1est donnée par lafigure 1 du document réponse n°2.
Partie B : On considère la fonction causales2telle que, pour tout nombre réelt: Z t s2(t)+s2(u) du=U(t)U(t1) (E2) 0 On noteS2la transformée de Laplace de la fonctions2. 1. Représentergraphiquement la fonctione2définie sur l’ensemble des nombres réels par : e2(t)=U(t)U(t1) 2. DéterminerS2(p) 3. (a)En déduires2(t) pour tout nombre réelt. (b) Justifierque : s2(t)=0 sit<0 t s2(t)=e si0t<1 t s2(t)= −e (e1) sit1 4. Établirle sens de variation de la fonctions2sur l’intervalle ]1;+∞[ + − 5. Calculers2(1 )s2(1 ) 6. OnappelleC2la courbe représentative de la fonctions2. (a) Recopieret compléter le tableau de valeurs cidessous :
t1,5 2 2,51 1,1 s2 2 Les résultats seront donnés à 10près.
3
(b) Compléterle tracé de la courbeC2surla figure 2 du document réponse n°2, à rendre avec la copie.
Partie C : On considère la fonction causales3telle que, pour tout nombre réelt: Z t s3(t)+s2(u) du=U(t)U(t1)+U(t(1, 1)E3) 0 1. Soitla fonctione3définie sur l’ensemble des nombres réels par : e3(t)=U(t)U(t1)+U(t1, 1)
(a) Montrerque e3(t)=e2(t) pour tout nombre réeltappartenant à l’intervalle ]− ∞; 1, 1[. (b) Déterminere3(t) pourt1. (c) Représentergraphiquement la fonction e3. Par la suite, on admet que : ( s3(t)=s2(t) sit<1, 1 ¡ ¢ t1,1 s3(t)=e 1e+e sit1, 1
2. Établirle sens de variation de la fonctions31;sur l’intervalle ]1,+∞[. + − 3. Calculers3(1, 1)s3(1, 1) 4. OnappelleC3la courbe représentative de la fonctions3. (a) Reproduireet compléter le tableau de valeurs cidessous :
t1,1 1,52 2,5 s3 2 Les résultats seront donnés à 10près. (b) Compléterle tracé de la courbeC3sur lala figure 3 du document réponse n°2, à rendre avec la copie.
4
Document réponse n°1, à rendre avec la copie (exercice 1)
Figure 1 : Représentation graphique de la fonctionf
Figure 2 : Représentation graphique de la fonctiong
Figure 3 : Représentation graphique de la fonctionh
5
Document réponse n°1, à rendre avec la copie (exercice 1)
Figure 4 : Représentation graphique de la fonctionk
6
Document réponse n°2, à rendre avec la copie (exercice 2)
Figure 1 : Représentation graphique de la fonctions1
Figure 2 : Représentation graphique de la fonctions2à compléter
Figure 3 : Représentation graphique de la fonctions3à compléter
7
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