HEC 1999 mathematiques i classe prepa b/l

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6CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION BLMATHEMATIQUES ILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Ond´esiretestersilar´epartitiondesvoyellesdansuntexteanciencorresponda`celledelalanguefran¸caiseactuelle.On ´etudie quelques aspects probabilistes permettant de r´epondre `a cette question.Les parties 1 et 2 sont ind´ependantes. La partie 3 utilise les notations et les r´esultats des parties pr´ec´edentes.NotationSi X et Y sont deux variables al´eatoires discr`etes, on note cov(X,Y) leur covariance, si celle-ci existe.Partie 1Soientn ets des entiers sup´erieurs ou´egaux `a 2. On consid`ere une urne contenant des boules de couleursC ,..,C .1 ssPLes boules de couleur C sont en proportion p . On a donc p = 1 et on suppose que, pour tout i, p > 0.i i i ii=1On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise.Pour tout ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION BL MATHEMATIQUES I
Lapre´sentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautorise´e.
Ond´esiretestersilare´partitiondesvoyellesdansuntexteanciencorrespond`acelledelalanguefranc¸aiseactuelle. One´tudiequelquesaspectsprobabilistespermettantder´epondrea`cettequestion. Lesparties1et2sontinde´pendantes.Lapartie3utiliselesnotationsetlesre´sultatsdespartiespre´c´edentes.
Notation SiXetYiablxvartdeusonnoonte`ecrs,teeriosidslasetae´cov(X, Y) leur covariance, si celle-ci existe.
Partie 1 Soientnetsonternecuneu`eredsceuoeledbsantnsurleouseneitredrseu´eouupssri´eocnOdisnxuag.2a`C1, .., Cs. s P Les boules de couleurCisont en proportionpi. On a doncpi= 1 et on suppose que, pour touti,pi>0. i=1 On effectuentirages successifs d’une boule avec remise. Pour toutide{1, .., s}, on noteXiaelbae´lvalairaurleeldsceuorbdebeuoaleaunomtoire´egCi`aesnuteob l’issue desntirages (on remarque que la variableXid´ddnpeeenavtliaareableal´.)´dnOineotrieUnpar : 2 s P (Xinpi) Un= . np i=1i A. Etude des variablesXi. 1.De´terminerlaloideXi,eranesp´scea.vacreieatnsno 2 2. Soit(i, j)∈ {1, .., s}tel quei6=jinrmte´e.DediolalreXi+Xjet sa variance. End´eduirequecov(Xi, Xj) =npipj.
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B. On suppose dans cette partie ques= 2. X1np1 2 U=Zo` 1. Montrerquen1uZ1=. (On utilisera la relation :X1+X2=n). np1p2 2. Parquelle loi peut-on approcher la loi deZ1lorsquenest grand? 1 1 C. On suppose dans cette partie ques= 3et quep1=p2=etp3=. 4 2 r   2n2 On poseZ1=X3etZ2= (X1X2). n2n 2 2 1. MontrerqueU=Z. (On utili nZ1+2sera la relation :X1+X2+X3=n). 2.De´terminerlesespe´rancesetvariancesdeZ1etZ2etcov(Z1, Z2). 3. Parquelle loi peut-on approcher celle deZ1lorsquenest grand? 4. Pourime´edentel´{1, .., n}n´end,oiravaltielbaTipar :Ti= 1 si auiouebdeleemet`oeanrigaunnuboet e`me e`me couleurC1,Ti=1 si auitirage on a obtenu une boule de couleurC2,Ti= 0 si auitirage on a obtenu une boule de couleurC3. (a) ExprimerX1X2dediavse`alaabrisleTi. (b)Ende´duirequelonpeutapprocherlaloideZ2, quandnlaioonmrna,daplrestgr.etier´edu´eecaltren 1 D. On supposes= 4etp1=p2=p3=p4=. 4 Xinpi 1. Pouri´lmee´etden{1,2,3,4}, on poseYi=. npi On noteMicecarr´eedordralamrtnlteneigod4eeltneocneiciet colonnejvautcov(Yi, Yjd´e).Onnit 1 Nonssegt´lcaomeantie`xua.antdoe4drscleustoracecirtrodee´r 4 ExprimerMen fonction deNetI,`ouIe.t´nieuictrmasegienal´d 2. 4 (a)Onde´nit4vecteursdeR: 1 11 1 e1=(1,1,0,0), e2=(1,1,2,0), e3=(1,1,1,3), e4= (1,1,1,1). 2 62 32 4 Montrer que ces 4 vecteurs sont des vecteurs propres deNet qu’ils forment une base deR. 4 (b) SoitQla matrice de passage de la base canonique deR(sebala`ae1, e2, e3, e4). t t Montrer queQQ=I. (Qtaarsnope´isngledees´deQ). t Expliciter la matriceQM Q.    Z1Y1 Z 2tY2 3.Onde´nitlesvariablesZ1, Z2, Z3etZ4par :=Q.    Z3Y3 Z4Y4 (a) ExprimerchaqueZien fonction deY1, Y2, Y3etY4et montrer queZ4= 0. (b) Montrerque, pouri= 1,2,3, les variablesZi.s´reeectnostn   Y1 2 2 2Y2   (c +Z+Zn pou ) MontrerqueUn=Z1 2 3rra calculer (. ( OY1, Y2, Y3, Y4.) )   Y3 Y4
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Partie 2 1. Soitrun entier naturel non nul. +Zr x 12 2 (a)Montrerlaconvergencedelinte´graledxx e. On noteJrsa valeur. 0 (b) Montrerque pour tout entierrnon nul,Jr+2=rJr. 2. (a) SoitYnu´etr´eeritdue.uassrigeceneeinniablevareatoeal´ 2 2 De´terminerlafonctionder´epartitiondelavariableal´eatoireYet montrer queYadmetunedisnee´t quelonde´terminera. (b)End´eduirelavaleurdeJ1. 3. Soitred´Onl.onaftlniutanreitunnonlerunenctionfrpar : r x 1 12 2 x >0, fr(x) =x ex60, fr(x) = 0. Jr (a) Montrerquefrsee´.litibobadeprit´edenstune 2 Onditquunevariableale´atoireXsuit la loi duχx)eul(`akerid-ihrilebtre´isteesluementdr´egdees siXadmetfrisnedruo.e´tp (b)Quelleloireconnaıˆt-onpourr?= 2 (c)Recopierlegraphiqueci-dessousenidentiantlescourbesrepre´sentativesdestroisfonctionsf1, f2, f7 ,enjustiantavecpre´cisionlar´eponse. 2 (d) SoitXtlalivanoidulavaei´rubaeenlerustaioχ`artron.M´eequerse´rgedtrebiledXadmet une esp´eranceetunevarianceetdonnerleurvaleur.
Partie 3 On reprend les notations de lapartie 1,snaut´teal`a2.ge´uorueire´pusequonlcuerqientne 2 On admet que,nrgna,dale´attner´ealoiatrivaleabUnsuit la loi duχa`sed1-ledse´rge.t´erib Leslinguistesontd´etermin´elar´epartition,danslalanguefran¸caiseactuelle,desvoyellesa,e,i,o,u,parmi l’ensemble de ces voyelles : p1= 0,1743 de a p2= 0,4031 de e p3= 0,1641 de i p4= 0,1212 de o p5= 0,1373 de u. Dansunextrait(comportant1145voyellesa,e,io,u)duntextedePascal,Usagedutrianglearithme´tiquepour lescombinaisons(conferTrait´edutrianglearithme´tique1654),onobservelesfre´quences: q1= 0,1476 de a q2= 0,4105 de e q3= 0,1607 de i q4= 0,1476 de o q5= 0,1336 de u. Oncherche,`alaidedecetextrait,a`mettreene´videncele´volutiondesfre´quenceslexicalesdelalanguefran¸caise. Pourcelaonfaitlhypothe`se,acontrario,quelesfr´equencesdesvoyellesdansuntexte,parmilensembledes i`eme i`eme voyelles,sontlesmeˆmesau17si`ecleetau20si`ecle. Ondonnelesvaleursnume´riquessuivantes: 2 – 0,975 =F4(11,`ou41,)F4itioparter´eiondnotclefaisngde´udiolalednχ´ertbelideesr´egd4a`,
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