HEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (stg)

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRlE DE PARIS
DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT
Direction des Admissions et Concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE PARIS
ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION TECHNOLOGIQUE
MATHEMATIQUES
Samedi 25 Avril 1998, de 8 h `
a
1
2
h
La pr´esentation, la lisibilit´e; l’orthographe, la qualit´
e
d
e
l
a
r
´edaction, la clart´
e
e
t
l
a
p
r
´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
´electronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
L’´epreuve est compos´ee d’un exercice et d’un probl`eme ind´ependants.
Exercice
On consid`ere les matrices carr´ees d’ordre
suivantes :
et
1.
Calculer la matrice
, puis, pour tout entier naturel
non nul, la matrice
.
2.
a. Exprimer la matrice
en fonction des matrices
et
.
b.
En d´eduire, pour tout entier naturel
non nul, l’´egalit´e
.
1
3.
On consid`ere les suites num´eriques
d´efinies par leurs pre-
miers termes
,
, et, pour tout entier naturel
, par les relations de r´ecurrence
:
On note, pour tout entier naturel
,
, la matrice-colonne suivante:
.
a.
V´erifier, pour tout entier naturel
,
l
´egalit´e matricielle:
.
E
n
d
´eduire, pour tout entier
naturel
non nul, l’´egalit´
e
:
.
b.
Donner, pour tout entier naturel
non nul, les expressions de
en fonction de
.
c.
D´eterminer les limites des suites
.
d.
Pour tout entier naturel
non nul, on pose
.
Donner, pour tout entier naturel
non nul, l’expression de
en fonction de
et en d´eduire la limite
de la suite
.
4.
Application `a un jeu de hasard
On suppose qu’un joueur fait avancer un pion sur les quatre cases d’un disque partag´e en quadrants
num´erot´es
dans le sens des aiguilles d’une montre, selon le protocole suivant :
au d´ebut du jeu, le pion est sur la case
;
`a chaque coup, le joueur tire, de fac
¸on ´equiprobable, un ´el´ement
de
, et avance son
pion de
cases, en tournant dans le sens des aiguilles d’une montre.
On note, pour tout entier naturel
,
l’´ev´enement ”juste avant le
coup, le pion est sur
la case
”,
l’´ev´enement ”juste avant le
coup, le pion est sur la case
”, l’´ev´enement
”juste avant le
coup, le pion est sur la case
”,
l’´ev´enement ”juste avant le
coup, le pion est sur la case
”.
a.
`
A l’aide de la formule des probabilit´es totales, exprimer, pour tout entier naturel
, les probabilit´es
des ´ev´enements
,
,
,
, en fonction des probabilit´es des ´ev´enements
,
,
,
.
b.
En d´eduire que ces probabilit´es sont donn´ees par les valeurs des suites
d´efinies `a la question
.
c.
Interpr´eter alors le r´esultat de la question
3.c.
d.
On suppose que, chaque fois que le pion s’arrˆete sur la case
, le joueur paye
euros et que,
chaque fois que le pion s’arrˆete sur une des cases
ou
, le joueur rec
¸oit
euros (dans le cas o`
u
l
e
pion s’arrˆete sur la case
, rien ne se passe).
Interpr´eter le nombre
de la question
3.d.
Le jeu est-il, en moyenne, favorable au joueur?
Probl
`
eme
2
On dispose d’une urne contenant deux boules, l’une num´erot´ee
, l’autre
. On effectue, dans cette
urne, une succession de tirages au hasard d’une boule en notant le num´ero obtenu, la boule tir´ee
´etant remise dans l’urne apr`es chaque tirage. La suite al´eatoire des num´eros tir´es fournit ainsi une
suite
de variables al´eatoires ind´ependantes, toutes de mˆeme loi v´erifiant:
.
Pour tout entier naturel
non nul, on note
;
d´esigne donc la somme des
num´eros obtenus au cours des
premiers tirages.
Un entier naturel
non nul ´etant donn´e, on consid`ere la variable al´eatoire
´egale au rang
o`u,
pour la premi`ere fois, on a
. Par exemple si
et si les premiers num´eros tir´es sont
alors
prend la valeur
.
D
e
m
ˆeme, toujours si
, si les premiers num´eros tir´es
sont
,... alors
prend la valeur
.
PARTIE I: Pr
´
eliminaires
1.
On consid`
e
r
e
l
a
s
u
i
t
e
r
´eelle
d´efinie par la donn´ee des deux premiers termes,
,
et, pour tout entier naturel
non nul, par la relation :
.
Montrer, pour tout entier naturel
non nul, l’´egalit´
e
:
.
2.
On consid`ere la suite r´eelle
d´efinie par la donn´ee des deux premiers termes,
,
et, pour tout entier naturel
non nul, par la relation :
.
Montrer que la suite
d´efinie, pour tout entier naturel
non nul, par
v´erifie les
hypoth`eses de la question pr´ec´edente et en d´eduire, pour tout entier naturel
non nul, la valeur de
en fonction de
.
PARTIE II:
´
Etude de la loi de T
1. Exemples
a.
Donner les lois de
et
ainsi que leurs esp´erances et variances.
b.
Montrer que les valeurs prises par
sont
et donner le tableau de la loi conjointe de
et
.
On montrera,en particulier ,que:
et que
.
c.
D´eterminer la loi de
, calculer son esp´erance et sa variance.
d.
Les variables
et
sont-elles ind´ependantes? D´eterminer la variance de
et
.
e.
Les variables
et
sont-elles ind´ependantes?
2. Calcul de l’esp
´
erance de
On revient au cas g´en´eral o`u
d´esigne un entier naturel non nul.
a. i)
D´eterminer la plus petite et la plus grande valeur prises par
dans le cas o`u
est pair (
).
ii)
D´eterminer la plus petite et la plus grande valeur prises par
dans le cas o`u
est impair (
).t
3
b.
Soit
un entier naturel non nul. En conditionnant par le r´esultat du premier tirage, justifier l’´egalit´e
suivante :
c. i)
V´erifier les ´egalit´es :
et
.
ii)
Prouver l’´egalit´e:
.
iii)
En d´eduire l’´egalit´e:
.
d.
`
A
l
a
i
d
e
d
e
l
a
p
a
r
t
i
e
I
, montrer que, pour tout entier naturel
non nul, on a :
Quelle est la limite de la suite de terme g´en´eral
?
Pour quelle raison ce r´esultat est-il plausible?
3. La loi de
On d´esigne toujours par
un entier naturel non nul.
a.
Pour tout entier naturel
non nul, justifier l’´egalit´e:
.
On rappelle que
.
En d´eduire l’´egalit´e:
o`u
est une variable al´eatoire suivant la loi
binomiale de param`etres
et
.
b.
´
Etablir l’´egalit´e:
.
On rappelle que le coefficient binomial
est nul si
.
PARTIE III: Cas particulier o`u
On admet que, pour
, la loi de
peut ˆetre approch´ee, au moins pour les valeurs proches
de l’esp´erance, par la loi de
o`u
est une variable al´eatoire suivant la loi normale
centr´ee r´eduite.
1.
D´eterminer la densit´e continue de la variable
et donner son tableau de variation.
2.
Calculer l’esp´erance et la variance de la variable
.
3.a.
`
A l’aide de l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebychev, ´etablir la minoration suivante :
.
b.
Sachant que
, calculer
.
4.
Soit
la fonction de r´epartition de
. Pour tout r´eel
, on pose
.
´
Etudier les variations de
.
En d´eduire la valeur du r´eel
qui maximise la probabilit´e
.
4
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