HEC 1999 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer dans lamesure du possible les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toutecalculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite. Seule ul tilisation d une rØgle graduØe est autorisØe.On dØsire rester si un algorithme gØnØrateur de nombres alØatoires est satisfaisant.On Øtudie quelques aspects probabilistes permettant de rØpondre à cette question.Les parties 1 et 2 sont indØpendantes. La partie 3 utilise les notations et les rØsultats des parties ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune régle graduée est autorisée. On désire rester si un algorithme générateur de nombres aléatoires est satisfaisant. On étudie quelques aspects probabilistes permettant de répondre à cette question. Les parties 1 et 2 sont indépendantes.La partie 3 utilise les notations et les résultats des parties précédentes.
Notation SiXetYsont deux variables aléatoires discrétes, on notecov(X; Y)leur covariance, si celle-ci existe.
Partie 1 Soitnetsdes entiers supérieurs ou égaux à2considére une urne contenant des boules de couleurs. OnC1; : : : ; Cs. s P Les boules de couleurCisont en proportionpi. Ona doncpi= 1et on suppose que, pour touti,pi>0. i=1 On e¤ectuentirages successifs dune boule avec remise. Pour toutidef1; : : : ; sg, on noteXila variable aléatoire égale au nombre de boules de couleurCiobtenues à lissue desntirages. Onremarque que la variableXidépend den. Ondénit la variable aléatoireUnpar : 2 s P (Xinpi) Un=. np i=1i 1/4
A. Etude des variablesXi. 1. Déterminerla loi deXi, son espérance et sa variance. 2 2. Soit(i; j)2 f1; : : : ; sgtel quei6=j. Déterminerla loi deXi+Xjet sa variance. En déduire quecov(Xi; Xj) =npipj.
B. On suppose dans cette partie ques= 2. X1np1 2 1. MontrerqueUn=ZZ1=p. 1 np1p2 2. Parquelle loi peut-on approcher la loi deZ1, lorsquenest grand? 1 1 C. On suppose dans cette partie ques= 3et quep1=p2=etp3=. 4 2 r   2n2 On poseZ=pXetZ= (XX) 1 32 12 n2n 2 2 1. MontrerqueUn=Z Zutilisera la rela. (On 1+2tion :X1+X2+X3=n) 2. Déterminerles espérances et variances deZ1etZ2etcov(Z1; Z2). 3. Parquelle loi peut-on approcher la loi deZ1, lorsquenest grand? 4. Pouriélément def1; : : : ; ng, on dénit la variableTipar :Ti= 1si aui-iéme tirage on a obtenu une boule de couleurC1,Ti=1si aui-iéme tirage on a obtenu une boule de couleurC2,Ti= 0si aui-iéme tirage on a obtenu une boule de couleurC. 3 (a) ExprimerX1X2à laide des variablesTi. (b) Endéduire que lon peut approcher la loi deZ2, quandnest grand, par la loi normale centrée réduite. 5. Onsuppose avoir déni dans un programme Pascal : Type Tableau = Array[l..100] of integer;
(a) Ecrire une procédureprocedure Tirage(var C : Tableau);permettant de simuler le tirage avec remise de100boules dans une urne contenant des boules de couleurC1ouC2ouC3en proportion 1 1 1 respectivement; ;. 4 4 2 LélémentC[i]vaut1,2ou3et représente la couleur de lai-iéme boule tirée (C1,C2ouC3). On utilisera la fonctionrandom:random(4)retourne un entier aléatoire compris entre0et3. (b) Ecrireune fonctionDifferencede paramétreCqui retourne la valeur deX1X2.
1 D. On suppose désormaiss= 4etp=p=p=p=. 1 2 3 4 4 SoitAune matrice réelle àplignes etmcient en lignecolonnes dont le coe¢iet colonnejest notéaij. Ondénit t la matrice àmlignes etpcolonnes appelée transposée deAet notéeAdont le coe¢ cient en ligneiet colonnej vautaji. t tt On utilisera sans le démontrer que, pour toutes matricesAetBtelles que le produitABexiste,(AB) =B A.
Xinpi 1. Pouriélément def1;2;3;4g, on poseYi=p. npi On noteMla matrice carrée dordre 4 dont le coe¢ cient en ligneiet colonnejvautcov(Yi; Yj)dénit. On 1 N.la matrice carrée dordre 4 dont tous les coe¢ cients sont égaux à 4 ExprimerMen fonction deNet deIIest la matrice unité.
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1 11 4 2. (a)On dénit 4 vecteurs deR:e1=p(1;1;0;0),e2=p(1;1;2;0),e3=p(1;1;1;3),e4= 2 62 3 1 (1;1;1;1). 2 4 Montrer que ces 4 vecteurs sont des vecteurs propres deNet quils forment une base deR. 4 (b) SoitQla matrice de passage de la base canonique deRà la base(e1; e2; e3; e4). t Montrer queQ Q=I. t Expliciter la matriceQ MQ. 0 10 1 Z1Y1 Y Z2t2 B CB C 3. Ondénit les variablesZ1,Z2,Z3etZ4par=Q. @ A@ A Z3Y3 Z4Y4
(a) ExprimerchaqueZen fonction de: : : ; YY ;et montrer queZ= 0. i41 4 (b) Montrerque, pouri= 1;2;3, les variablesZisont centrées. 0 1 Y 1 Y 2 2 2 2 B C (c) MontrerquZ(On pourra calculer(Y ;Y ;Y ;Y)) eUn=1+Z+Z.1 2 3 4 2 3 @ A Y 3 Y 4
Partie 2 1. Soitrun entier supérieur ou égal à 2. +1 Rr x 1Montrer la convergence de lintégralex e dxnote. OnJrsa valeur. 2 2 0 +1 R1x   2. (a)Pour tout réeltstrictement positif, établir la convergence de lintégraledxx e. OnnoteG(t) 2 2 t sa valeur. pp (b) Montrerà laide dun changement de variable que, pour tout réeltstrictement positif,G(t2) = 21(t) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. +1 R1x   2 2 (c) Endéduire la convergence et la valeurJ1dex edx 0 3. SoitrOn dénit la fonctionun entier naturel non nul.frpar : 1 r x 12 2 8x >0; fr(x) =x e8x60; fr(x) = 0 Jr (a) Montrerquefrest une densité de probabilité. 2 On dit quune variable aléatoire suit la loi du(lire khi-deux) àrdegrés de liberté si et seulementX admetfrpour densité. (b) Quelleloi reconnait-on pourr= 2? (c) Recopierle graphique ci dessous en identiant les courbes représentatives des trois fonctionsf1,f2,f7 1x 1en justiant avec précision la réponse.x e 2 2
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Partie 3 On reprend les notations de la partie 1, avecsentier quelconque supérieur ou égal à 2. 2 On admet que,nétant grand, la variableUnsuit la loi duàs1degrés de liberté. On considère un algorithme générateur de nombres entiers aléatoires compris entre 1 et 4.On utilise cet algo-rithme pour créer un échantillon de10000nombres compris entre 1 et 4.On obtient alors : 2602 fois le nombre 1 2534 fois le nombre 2 2422 fois le nombre 3 2442 fois le nombre 4. On se propose de tester la abilité de cet algorithme par lexamen de léchantillon précédent. On fait lhypothèse que le nombre (aléatoire) fourni par le générateur suit une loi uniforme sur lensemble f1;2;3;4g. On donne les valeurs suivantes : 2 0;95 =F3(7;81)F3désigne la fonction de répartition de la loi duà 3 degrés de liberté. 1 2 2 2 2 78 +58 )(102 +34 += 8;4032 2500 En introduisant des variables convenablesX1,X2,X3,X4et la variableUnassociée, justier le rejet de lhypothèse de répartition uniforme des nombres fournis par le générateur. * n *
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