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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune régle graduée est autorisée. On désire rester si un algorithme générateur de nombres aléatoires est satisfaisant. On étudie quelques aspects probabilistes permettant de répondre à cette question. Les parties 1 et 2 sont indépendantes.La partie 3 utilise les notations et les résultats des parties précédentes.
Notation SiXetYsont deux variables aléatoires discrétes, on notecov(X; Y)leur covariance, si celle-ci existe.
Partie 1 Soitnetsdes entiers supérieurs ou égaux à2considére une urne contenant des boules de couleurs. OnC1; : : : ; Cs. s P Les boules de couleurCisont en proportionpi. Ona doncpi= 1et on suppose que, pour touti,pi>0. i=1 On e¤ectuentirages successifs dune boule avec remise. Pour toutidef1; : : : ; sg, on noteXila variable aléatoire égale au nombre de boules de couleurCiobtenues à lissue desntirages. Onremarque que la variableXidépend den. Ondénit la variable aléatoireUnpar : 2 s P (Xinpi) Un=. np i=1i 1/4
A. Etude des variablesXi. 1. Déterminerla loi deXi, son espérance et sa variance. 2 2. Soit(i; j)2 f1; : : : ; sgtel quei6=j. Déterminerla loi deXi+Xjet sa variance. En déduire quecov(Xi; Xj) =npipj.
B. On suppose dans cette partie ques= 2. X1np1 2 1. MontrerqueUn=ZZ1=p. 1 np1p2 2. Parquelle loi peut-on approcher la loi deZ1, lorsquenest grand? 1 1 C. On suppose dans cette partie ques= 3et quep1=p2=etp3=. 4 2 r   2n2 On poseZ=pXetZ= (XX) 1 32 12 n2n 2 2 1. MontrerqueUn=Z Zutilisera la rela. (On 1+2tion :X1+X2+X3=n) 2. Déterminerles espérances et variances deZ1etZ2etcov(Z1; Z2). 3. Parquelle loi peut-on approcher la loi deZ1, lorsquenest grand? 4. Pouriélément def1; : : : ; ng, on dénit la variableTipar :Ti= 1si aui-iéme tirage on a obtenu une boule de couleurC1,Ti=1si aui-iéme tirage on a obtenu une boule de couleurC2,Ti= 0si aui-iéme tirage on a obtenu une boule de couleurC. 3 (a) ExprimerX1X2à laide des variablesTi. (b) Endéduire que lon peut approcher la loi deZ2, quandnest grand, par la loi normale centrée réduite. 5. Onsuppose avoir déni dans un programme Pascal : Type Tableau = Array[l..100] of integer;
(a) Ecrire une procédureprocedure Tirage(var C : Tableau);permettant de simuler le tirage avec remise de100boules dans une urne contenant des boules de couleurC1ouC2ouC3en proportion 1 1 1 respectivement; ;. 4 4 2 LélémentC[i]vaut1,2ou3et représente la couleur de lai-iéme boule tirée (C1,C2ouC3). On utilisera la fonctionrandom:random(4)retourne un entier aléatoire compris entre0et3. (b) Ecrireune fonctionDifferencede paramétreCqui retourne la valeur deX1X2.
1 D. On suppose désormaiss= 4etp=p=p=p=. 1 2 3 4 4 SoitAune matrice réelle àplignes etmcient en lignecolonnes dont le coe¢iet colonnejest notéaij. Ondénit t la matrice àmlignes etpcolonnes appelée transposée deAet notéeAdont le coe¢ cient en ligneiet colonnej vautaji. t tt On utilisera sans le démontrer que, pour toutes matricesAetBtelles que le produitABexiste,(AB) =B A.
Xinpi 1. Pouriélément def1;2;3;4g, on poseYi=p. npi On noteMla matrice carrée dordre 4 dont le coe¢ cient en ligneiet colonnejvautcov(Yi; Yj)dénit. On 1 N.la matrice carrée dordre 4 dont tous les coe¢ cients sont égaux à 4 ExprimerMen fonction deNet deIIest la matrice unité.
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1 11 4 2. (a)On dénit 4 vecteurs deR:e1=p(1;1;0;0),e2=p(1;1;2;0),e3=p(1;1;1;3),e4= 2 62 3 1 (1;1;1;1). 2 4 Montrer que ces 4 vecteurs sont des vecteurs propres deNet quils forment une base deR. 4 (b) SoitQla matrice de passage de la base canonique deRà la base(e1; e2; e3; e4). t Montrer queQ Q=I. t Expliciter la matriceQ MQ. 0 10 1 Z1Y1 Y Z2t2 B CB C 3. Ondénit les variablesZ1,Z2,Z3etZ4par=Q. @ A@ A Z3Y3 Z4Y4
(a) ExprimerchaqueZen fonction de: : : ; YY ;et montrer queZ= 0. i41 4 (b) Montrerque, pouri= 1;2;3, les variablesZisont centrées. 0 1 Y 1 Y 2 2 2 2 B C (c) MontrerquZ(On pourra calculer(Y ;Y ;Y ;Y)) eUn=1+Z+Z.1 2 3 4 2 3 @ A Y 3 Y 4
Partie 2 1. Soitrun entier supérieur ou égal à 2. +1 Rr x 1Montrer la convergence de lintégralex e dxnote. OnJrsa valeur. 2 2 0 +1 R1x   2. (a)Pour tout réeltstrictement positif, établir la convergence de lintégraledxx e. OnnoteG(t) 2 2 t sa valeur. pp (b) Montrerà laide dun changement de variable que, pour tout réeltstrictement positif,G(t2) = 21(t) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. +1 R1x   2 2 (c) Endéduire la convergence et la valeurJ1dex edx 0 3. SoitrOn dénit la fonctionun entier naturel non nul.frpar : 1 r x 12 2 8x >0; fr(x) =x e8x60; fr(x) = 0 Jr (a) Montrerquefrest une densité de probabilité. 2 On dit quune variable aléatoire suit la loi du(lire khi-deux) àrdegrés de liberté si et seulementX admetfrpour densité. (b) Quelleloi reconnait-on pourr= 2? (c) Recopierle graphique ci dessous en identiant les courbes représentatives des trois fonctionsf1,f2,f7 1x 1en justiant avec précision la réponse.x e 2 2
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Partie 3 On reprend les notations de la partie 1, avecsentier quelconque supérieur ou égal à 2. 2 On admet que,nétant grand, la variableUnsuit la loi duàs1degrés de liberté. On considère un algorithme générateur de nombres entiers aléatoires compris entre 1 et 4.On utilise cet algo-rithme pour créer un échantillon de10000nombres compris entre 1 et 4.On obtient alors : 2602 fois le nombre 1 2534 fois le nombre 2 2422 fois le nombre 3 2442 fois le nombre 4. On se propose de tester la abilité de cet algorithme par lexamen de léchantillon précédent. On fait lhypothèse que le nombre (aléatoire) fourni par le générateur suit une loi uniforme sur lensemble f1;2;3;4g. On donne les valeurs suivantes : 2 0;95 =F3(7;81)F3désigne la fonction de répartition de la loi duà 3 degrés de liberté. 1 2 2 2 2 78 +58 )(102 +34 += 8;4032 2500 En introduisant des variables convenablesX1,X2,X3,X4et la variableUnassociée, justier le rejet de lhypothèse de répartition uniforme des nombres fournis par le générateur. * n *
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