HEC 1999 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.1/4Exercice 14 4 4On noteL(R ) el nsemble des endomorphismes de l espace vectoriel R , Id el ndomorphisme identique de R etIla matrice identitØ deM (R). On considŁre les matrices :4 0 1 0 10 1 0 0 0 0 1 0B C B C1 0 0 0 0 0 0 1B C B CL = ; M =@ A @ A0 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 04On dØsigne respectivement par ’ et les endomorphismes deR reprØsentØs par L et M dans la base canonique4E = (e ;e ;e ;e ) deR .1 2 3 441. (a) Montrer que ’ et sont des automorphismes deR et en dØterminer les automorphismes rØciproques.(b) DØterminer les valeurs propres et les sous espaces propres associØs de el ndomorphisme ’. de mŒme les valeurs propres et les sous espaces propres associØs de .4(c) Montrer que l on peut trouver un vecteur ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 1999
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
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Exercice 1 4 44 On noteL(R)lensemble des endomorphismes de lespace vectorielR,Idlendomorphisme identique deRetI la matrice identité deM4(R). Onconsidère les matrices : 0 10 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 0 00 0 0 1 B CB C L=; M= @ A@ A 0 0 0 11 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 4 On désigne respectivement par'etles endomorphismes deRreprésentés parLetMdans la base canonique 4 E= (e1; e2; e3; e4)deR. 4 1. (a)Montrer que'etsont des automorphismes deRet en déterminer les automorphismes réciproques. (b) Déterminerles valeurs propres et les sous espaces propres associés de lendomorphisme'. Déterminer de même les valeurs propres et les sous espaces propres associés de. 4 (c) Montrerque lon peut trouver un vecteurf1non nul deRvériant'(f1) =f1et(f1) =f1. 4 (d) Déterminer,plus généralement, une baseF= (f1; f2; f3; f4)deRdont chaque vecteur est à la fois un 0 0 vecteur propre de'et un vecteur propre de. Donnerla matriceLde'et la matriceMdedans cette baseF. 4 2. Onse propose détudier lensembleCdes endomorphismesdeRvériant'='et=. 4 (a) MontrerqueCest un sous espace vectoriel deL(R)qui contient'et. 0 0 (b) Montrerque si2Cet2C, alors2C. 4 4 (c) Soit2 L(R)un endomorphisme deRet soitGla matrice dedans la baseF, constituée de vecteurs propres de'et, déterminée à la question 1.d).Montrer que2Csi et seulement siGest une matrice diagonale. 4 (d) Endéduire queCest un sous espace vectoriel de dimension 4 deL(R)et que les en domorphismesId, ',et'forment une base deC.
Exercice 2 On considère un entier naturelNsupérieur ou égal à 3, et on notef1;2; : : : ; Nglensemble des entiers strictement positifs, inférieurs ou égaux àN. Une urne contientNboules numérotées de1àN. Ony e¤ectue des tirages successifs dune boule avec remise de la boule tirée après chaque tirage, jusquà obtenir pour la première fois un numéro déjà tiré.On note alorsTNle rang aléatoire de ce dernier tirage. Cest ainsi que, si on a obtenu successivement les numéros -1-5-4-7-3-5-, la variableTNprend la valeur 6, alors que si lon a obtenu -5-4-2-2- la variableTNprend la valeur 4. On admet quon dénit ainsi une variable aléatoire sur un espace probabilisé, dont la probabilité est notéeP. Toutes les variables aléatoires introduites dans le problème seront supposées dénies sur cet espace.SiZest une telle variable, son espérance sera notée E(Z) et sa variance V(Z). N.B.Les parties II et III sont indépendantes.
I. Etude de la variable aléatoireT N 1. Danscette question, on se place dans le cas particulier où lentierNest égal à 3. Déterminer la loi deT3et calculer son espérance et sa variance. 2. Onrevient désormais au cas général oùNest supérieur ou égal à 3.
(a) Déterminerlensemble des valeurs que peut prendreTN.
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(b) CalculerP(TN= 2),P(TN= 3), etP(TN=N+ 1). (c) Prouver,pour tout entierkdef1;2; : : : ; Ng, les égalités
k1 Y N!i P(TN> k= (1) =) k (Nk)!N N i=0
En déduire la loi de la variable aléatoireTN. (d) Déterminer,pour tout entierkxé, la limitelimP(Tn> k). N!+1 Pouvait-on prévoir ce résultat?
II. Etude dun algorithme Dans le programme Turbo-Pascal suivant, la fonctionRANDOMrenvoie, pour un argumentMde typeINTEGER, un nombre entier aléatoire de lintervalle[0; M1]. PROGRAM simulation; VAR T :ARRAY[1..20001] OF INTEGER; U,S,i,n :INTEGER; coincide :BOOLEAN;
PROCEDURE X; BEGIN RANDOMIZE; {initialisationde la fonction RANDOM} FOR i :=1 to 20001 DO T[i] :=1+RANDOM(20000); END;
BEGIN X; i :=1; coincide :=FALSE; REPEAT i :=i+1; S :=0; WHILE (S<i-1) and NOT coincide DO BEGIN S :=S+1; IF T[S]=T[i] THEN conicide :=TRUE; END; UNTIL coincide = TRUE; U :=i; FOR n :=1 to i DO WRITELN(T[n],, ); WRITELN; WRITELN(U= ,U); WRITELN(S= ,S); READLN; END.
a) Quefait la procédure X ?
b) Quereprésentent les variables U et S à la n du programme ?
c Pourquoiest-il certain que le nombre de passages dans la boucleREPEAT ...
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UNTILest ni ?
III. Etude du comportement asymptotique de la suite(TN)N>3 1. Uneformule pour lespérance deTN. N P (a) Justierlégalité suivante :E(TN) =P(Tn> k). k=0 h N N!PN (b) Endéduire légalité :E(TN) =. N N h! h=0 2. Unrésultat utile sur les lois de Poisson. Soit(Xn)n>1une suite de variables aléatoires de Poisson indépendantes de paramètre= 1et soit, pour tout entierN>1,YN=X1+X2+: : :+XN. (a) Montrer par récurrence surN, que la loi deYNest une loi de Poisson de paramètreN. Donner lespérance et la variance deYN. (b) Justierlégalité 0  Z YnN1 2 t =2 limPp60 =pe dt N2N!+1 1 1 (c) Endéduire légalite :limP(Yn6N) = N!+12 N 1N!e 3. Enappliquant ce résultat, montrer queE(TN)est équivalent àquandNtend vers linni. N 2N 4. Uneexpression de la variance deTN. N P 2 (a) MontrerlégalitéE(T) =(2k+ 1)P(TN> k): N k=0 h N N PN!PN (b) Etablirla relationkP(TN> k) =(Nh). N N h! k=0h=0 h N+1 N PN N (c) Montrerlégalité :(Nh) =. h!N! h=0 (d) Endéduire que la varianceV(TN)deTNet son espérance vérient la relation : 2 V(TN) = 2N+E(TN)(E(TN)) p NN 5. Enadmettant le résultat classique :N!N e2NquandNtend vers linni, donner, en conclu-sion, des équivalents simples deE(TN)etV(TN): * FIN *
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