HEC 2000 concours Maths 2 ES

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HEC 2000 concours Maths 2 ES

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème se compose de cinq parties :il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique. Sile candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite ,admettre ce résultat. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urneUncontenantnboules numérotées de1àntire une boule au hasard dans. OnUn. On notekle numéro de cette boule.Sikest égal à1Si, on arrête les tirages.kest supérieur ou égal à2, on enlève de lurneUnles boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de1àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne.On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro1note. OnXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro1note. OnYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)et V(Yn)) lespérance et la variance deXn(respectivementYn).
Partie 1. n P1 11 1. Onpose :hn= =1 ++:::::+ k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)lnk6 k+ 1k lndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6hn61 + lnn
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(c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P11 1 2. Onpose :kn= =1 ++:::::+ 2 22 k2n k=1 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à2, linégalité 1 11 62 k k1k (b) Endéduire la majorationkn62 (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquand n tend vers linni.
Partie 2 :Etude de la variable aléatoire Xn
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn.
1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrer :
8j2N;8k2 f1;2; :::; ng;
P(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévénement(X2= 1)? Donnerla loi deX2, son espérance et sa variance. (c) CalculerP(X= 2=I= 1),P(X= 2=I= 2),P(X= 2=I= 3). Déterminerla loi deX, son 3 33 33 33 espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1;2; :::; ng. (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn= 2) (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrer la relation : n1 X 1 8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à3etjsupérieur ou égal à2, calculer :nP(Xn=j)(n1)P(Xn1=j) En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à2: n1 1 8j>1; P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j) n n
4. (a)Sinest supérieur ou égal à2:, montrer, en utilisant 3d. 1 E(Xn) =E(Xn1) + n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 rE(Xn deE(X)et deE 5. (a)Sinest supérieur ou égal à2, calculen)en fonction1(Xn1). (b) Endéduire:V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites enPartie 1). (c) Donnerun équivalent deV(X)quandntend vers linni. n
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6. Soit(Ti)une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout i entier naturel non nul,Ti i>1 1 suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose : i n X Sn=Ti=T1+:::::+Tn i=1 (a) VérierqueX1etT1ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à2, montrer, pour tout entierjnon nul : 1n1 P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn1=j) n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xn)etV(Xn).
Partie 3 :Etude de la variable aléatoire Yn. 1. Donnerla loi deYn. (a) Quellessont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2. 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à2
P(Y=j=I=k) =P(Y=jk) n nk1 (b) Sinest supérieur ou égal à2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à1 n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn) n n (c) Sinest supérieur ou égal à2, montrerE(Yn) =E(Yn1) + 1 Que vautE(Yn)pour tout entiernsupérieur ou égal à1?
Partie 4.Simulation informatique.
Dans le langage informatique PASCAL, la fonctionrandom(n)renvoie un entier aléatoire compris entre0etn1. On donne la procédure suivante Procedure Truc (n :integer ; vara, b :integer) ; var alea :integer ; Begin alea := random (n)+1 ; writeln (alea) ; if alea>1 then begin a := a+l; b := b+alea; Truc (aleal,a,b) end; End; et le programme principal suivant :
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var n ,a,b :integer ; Begin a := l ; b := l; . write (n:); readln (n); Truc (n,a,b) ; writeln (a=,a,b=,b), End. Que fait ce programme ?Que représentent a et b ? Cet algorithme est récursif.Transformer ce programme en un programme itératif écrit en Pascal.
Partie 5. On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre1etn. Apartir de lurneUnon e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans lentête du problème.Pourientier def1; :::; ng, on dénitZla variable aléatoire égal à1 i si, lors dun quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéroi, égale à0sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZndire de la variable? QueZ? 1 2. (a)Sinest supérieur ou égal à2, et i un entier def1; :::; n1g, montrer la relation n    X 1 1 (n) (k1) P Z= 1= +P Z= 1 i i n n k=i+1 (n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; :::; ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre. i n P (n) 3. QuevautZainsi? RetrouverE(Xn). i i=1 4. RetrouverE(Yn).
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