HEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (s)

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6HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.pCe probl`eme a pour objet l’´etude des points en lesquels une application lin´eaire de R dans Ratteint son maximum sur l’ensemble des solutions d’un syst`eme d’in´equations lin´eaires.pPour tout entier p strictement positif, on identifieraR etM (R).p,1Partie I : Pr´eliminairesOn dit qu’une partie K non vide deR est major´ee lorsqu’il existe un r´eel M tel que∀x∈K, x≤MUn r´eel M v´erifiant ces in´egalit´es s’appelle un majorant de K ; on dit aussi que M majore K.Dans ce qui suit on suppose que K est une partie non vide et major´ee deR. Soit M un majorantde K et a un ´el´ement de K. On d´efinit les suites (u ) et (v ) parn n∈N n n∈N u +v u +vn n n nn  ,v si ne majore pas Knu =a0 2 2et ∀n∈N, (u ,v ) =n+1 n+1 u +vv =M n n0  u , sinonn21) On suppose, dans cette question seulement, que K = [0,1[∪[3,4[, a = 0 et que M = 10.D´eterminer (u ,v ) pour tout entier n appartenant a`{1,2,3,4}.n n2) On revient d´esormais au cas g´en´eral.a) Montrer que :∀n∈N, u ≤v .n nb)Montrer que les deux suites (u ) et (v ) sont adjacentes et convergent vers un r´eelb.n n∈N n n∈Nc) Montrer que pour tout entier positif n, v est un majorant de K, puis que b majore K.nd)Montrer qu’il existe une suite d’´el´ements de K qui converge vers b.0e) On suppose que b est un majorant de K.0• Montrer que b ≥b.• En d´eduire que b ne d´epend pas des choix initiaux de a et M pourvu que a appartienne `aK et que M majore K.D´esormais, on notera ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2000. MATHEMATIQUES I, option scientifique.
p Ceproble`meapourobjetl´etudedespointsenlesquelsuneapplicationline´airedeRdansR atteintsonmaximumsurlensembledessolutionsdunsyste`medin´equationslin´eaires. p Pour tout entierpstrictement positif, on identifieraRetMp,1(R).
PartieI:Pre´liminaires On dit qu’une partieKnon vide deRlee´rniqursloeustxileetsamoj´reeMtel que
xK, xM Unr´eelMdejomantraleppnuele´tiasstneciragelais´nv´eK; on dit aussi queMmajoreK. Dans ce qui suit on suppose queKeeidnvnoiertpaneutsedeeroe´mtjaR. SoitMun majorant deKeta´el´untdeemenKs(tee´nO.dnssiutielun)nNet (vn)nNpar   un+vnun+vn n, vnmajore passi neK u0=a 2 2 etnN,(un+1, vn+1) =   un+vn v0=Mun,sinon 2 1)On suppose, dans cette question seulement, queK= [0,1[[3,4[, a= 0 et queM= 10. De´terminer(un, vn) pour tout entiernpatrapanenat`{1,2,3,4}. 2).eraluasiamro´ne´gsacevnrOesd´ntie a)Montrer que :nN, unvn. b)Montrer que les deux suites (un)nNet (vn)nNtnseteocvnreegtnsontadjacelee´rnusrevb. c)Montrer que pour tout entier positifn,vnest un majorant deK, puis quebmajoreK. d)ntsde´el´emeenustideelixtsueertriquonMKqui converge versb. 0 e)On suppose quebest un majorant deK. 0 Montrer quebb. ueireq´eduEndbenxdautinixioisehcapdsepdndee´aetMpourvu queairtanpepeana` Ket queMmajoreK. D´esormais,onnoteraαKle majorantbdeKainsi obtenu.
´ Partie II : Etude d’un exemple p 2 22 On munitRienrparonasedidcleume´eednnie||(x, y)||=x+ypour tout (x, y) appartenant 2 `aR. 1)sleer´esbromsnoitrreocsndie`nOa, b, c, tels que (a, b)6= (0,sioreltsolsrinat´de).On0 ensembles :   2 D= (x, y)R;ax+by+c= 0   2 2 R+= (x, y)R;ax+by+c >0 etR= (x, y)R;ax+by+c <0 2 a)Montrer queR+est une partie ouverte deR.
Onpourramontrer,enutilisantlacontinuit´ede(x, y)7→ax+by+cen un point(x0, y0) appartenanta`R+lixeq,uouveouleunebisteeee´ncetrrtne(x0, y0)et incluse dansR+. 2 Il s’ensuit, mutatis mutandis, queReiuoevtrutenaptregalemeneedest´R, ce que l’on admettra. 0 0 b)Soit (x, y) et (yx ,stedmenee´´ldeux)R+M.lee´rtutourpoe,quertronλnetrappana`ta   0 0 [0,1], le coupleλx+ (1λ)λyx ,+ (1λ)yntie`apatrapR+. 0 0 c)On suppose que (x, y) et (x ,y)app`aennearticepsertntnemevitR+etR. 0 0 Enconside´rantlafonctionλ7→a(λx+ (1λ)x) +b(λy+ (1λ)y) +c, montrer qu’il existe   0 0 λdans [0,1] tel queλx+ (1λ)λyx ,+ (1λ)yppara`taitneD. 2 2)Soitkedsetnenureitirtsmetctpenitos.Oifonncis`dredeseaptreisnonvidesetouverR: A1, . . . , Ak. a)On suppose dans cette sous-question queA1. . .Akest non vide. Montrer queA1. . .Ak 2 est une partie ouverte deR. Si(x0, y0)mseentdetun´el´eA1. . .Aknoomtnerlee´,stxinreuquraleirstrictement positif tel que la boule de centre(x0, y0)et de rayonrsoit incluse dansA1. . .Ak. 2 b)Montrer queA1. . .Akest une partie ouverte deR.   2 3)On note Δ l’ensemble(x, y)R;x0, y0,12x+y0 et 1+x2y0 et gle´noidncitapalprsuieparΔ (x, y)Δ, g(x, y) = 3xy+ 4 a)entergraRepr´estndΔnaushpqieuemnalpnPum(ernudinrteoerp`´ermnohoO, i , j). 2 b)oMrquentreunepΔestitrarefeee´mobte´erneedR. c)Montrer quegadmet un maximum sur Δ. 0 d)ledtsnelbmedΔen´earipCemaixumpmue-tlieˆrteatteintenunpoin   02 Δ =(x, y)R;x >0>, y0,12x+y >+0 et 1x2y >0 e)rete´DelrenimedblemnstsinpoesmaximumedeΔo`uce.ttstaetni    2 –11 01 4)malaictridnsre`enOoceAla matrice colonne= etB= . –1 2 0 11    x1     x24 On noteCl’ensembleX= R;x10, x20, x30, x40 etAX=B. x3  x4   x1 x2a)Montrer queX= `tneitraapapCsi et seulement six1, x2, x3, x4satisfont : x3 x4 x3= 12x1+x2, x4= 1 +x12x2,(x1, x2)Δ   2 44 b)re`d´lecnOisnoel´ementW= trnena`tpaapaR. 1 3 4 t On munitRde son produit scalaire canonique :hX, Yi=XY`ldarmeen´oeigseOa.cnnelt fonctionfd´esureniCpar : X∈ C, f(X) =hX, Wi   x1 x2Montrer quef(X) =g(x1, x2)oprutout´el´ementX= tearntna`appaC. x3 x4 sembleninertermlnsetnespsioeledselqu´eDfatteint son maximum surC. 2
Partie III : Sommets et maximum D´esormaisnetpsf.tnopisittrictemeentiersssedtnorengise´d Onconsid`ereunematriceAnanea`tpatrapMn,p(R), et deux matrices colonnesBetW n p appartenantrespectivement`aRetR. p Pourtout´ele´mentXdeRet pour toutiapaaptrnena`t[1, p]], nous noteronsXisaime`e-i   X1   composante, et ainsiX=. . Xp p Ondiraquune´le´mentXdeRstesipoircearefit´notX0, lorsque toutes ses composantes sont positives. pt On munitRde son produit scalaire canonique :hX, Yi=XY. p Onconside`relensembleC={XR;X0 etAX=B}et l’applicationfuresnied´Cpar X∈ C, f(X) =hX, Wi Onditquun´ele´mentZdeCest un sommet deClorsque    0 0020 000 00 (ZZ ,)∈ C,λ]0,1[, Z=λZ+ (1λ)Z=Z=Z   X1   p SiX=edtnluet´sneeme´R, on noteras(X)l’ensemble{i[1, p]];Xi6= 0}; cet . Xp ensembleseraappele´lesupportdeX. 1 2p Enfin, on notera. . . , CC ,C ,les colonnes deA. Toutescesnotationsserontutilis´eesjusqu`alanduprobl`eme. p 1)´Vquerierel´ilesuntneme´edlRent`artippaaC, alors il est un sommet deC. 2)onsualetn´ersg´euaaceitnrnveOequitusiuqecsnadesoppCest non vide et quefatteint son maximum surCenU.Ceares´tonxamemumiM0. Le but de ce qui va suivre est de construire un sommet deCen lequelfatteint son maximum. On suppose donc queUn’est 0 00 pas un sommet deCstcnit´xuee´letnemsidstoeonncd`siederU , Uappaat`anenrtCet un 0 00 r´eelλna`ttrnepaapa]0,1[ tels queU=λU+ (1λ)U. 0 0000 0 a)e´Vierquerf(U) =f(U) =f(Uur)tene´delevecteeduirequV=UUest orthogonal `aW. 00 0 Le vecteurUUnesumpcoanosnotelunnteeltiuqa`ettant´elui,onnnomnialua 0 0000 0 ´echangerUetUon peut supposer que le vecteurVa`´alegUUadmet une composante strictementne´gative.Cestcequenoussupposonsd´esormais. 0 00 b)Montrer ques(U)s(U), s(U)s(U) ets(V)s(U). ´etrelouPourtµ, calculer :A(U+µV). Montrer ques(U+µV)s(Utuotruop)leer´µ. i c)Montrer que la famille (C)is(U)ee.tli´esrenpoOurraconsid´erAV. d)eerOcnnois`dK={µR;U+µV∈ C}. Montrer queKjaroeemtee´departtunenvidienoseR. Montrer queU+αKVneitrappaa`tCet quef(U+αKV) =M0. Le nombreαK´et´ed´e.arapaIeitdinlsna e)On suppose que, pour toutiraetapp`anants(U), lai-ietnasopmoceme`Yide la colonneY ´egale`aU+αKVest non nulle. En remarquant que pour toutiantnraetappa`s(U), limUi+ (αK+µ)Vi) =Ui+αKVi, + µ0 justierlexistencedunre´elη, strictement positif, tel queU+ (αK+η)Vpaapann`etreiC. Ende´duireques(U+αKV) est strictement inclus danss(U). (1) (1) f )nodse´osuonstoreNrmaisU=U+αKVet nous supposons queUn’est pas un sommet deC. (2) Enseservantdesquestionspr´ec´edentes,montrerquelonpeutconstruireun´ele´mentU (2) (2)(1) deCtel quef(U) =M0et tel ques(U) soit strictement inclus danss(U). 3
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