HEC 2000 mathematiques i classe prepa hec (stg)

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n2(1)12xN=2>n+)nnxu)(nmn1n2)=nNux(l+1fn(+2annu(nn+1(nnunm1nnmu+1nmxun(ma1axm(uam))aH((x1u)Nu21n))nuu1(+1nu1>fu)nn>uu(1nn1pf+1nuu1+1n2u)nu2)5(pf)n(uanpxna1xfllanlul)aHl(+1paN2HEC 2000OPTION TECHNOLOGIQUEMATHEMATIQUESMardi 16 Mai 2000, de 8 ha1` 2hLa pre´sentation, la lisibilite´; l’orthographe, la qualited´ elare´daction, la clartee´ tlapre´cision des raisonnements entrerontpour une part importante dans l’appreci´ ation des copies.Les candidats sont invites´ a` encadrer dans la mesure du possible les re´sultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usaged’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mater´ iel el´ ectronique est interdite.Seule l’utilisation d’une re`gle gradue´e est autorisee´ .L’e´ preuve est composee´ de deux exercices inde´pendants.Exercice I1. Soit un re´el strictement positif.a. Montrer que l’e´quation posse`de une unique solution re´elle positive ou nulle qu’on preci´ sera. On notecette solution. Preci´ ser la valeur de(1) et comparer, suivant les valeurs de ,lesr eel´ s et .´b. Etudier les variations de la fonction d´ efinie, pour tout reel´ positif ou nul, par:)= . Donner sontableau de variation (on placera la valeur dans ce tableau). Quel est, suivant la valeur de , le signe de ?2. On conside`re la suite re´elle d´ efinie ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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HEC 2000
OPTION TECHNOLOGIQUE
MATHEMATIQUES
Mardi 16 Mai 2000, de 8 h `
a
1
2
h
La pr´esentation, la lisibilit´e;l’orthographe,la qualit´ede la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront
pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage
d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
L’´epreuve est compos´ee de deux exercices ind´ependants.
Exercice I
1.
Soit
un r´eel strictement positif.
a.
Montrer que l’´equation
poss`ede une unique solution r´eelle positive ou nulle qu’on pr´ecisera. On note
cette solution. Pr´eciser la valeur de
et comparer, suivant les valeurs de
,
l
e
s
r
´eels
et
.
b.
´
Etudier les variations de la fonction
d´efinie, pour tout r´eel
positif ou nul, par:
. Donner son
tableau de variation (on placera la valeur
dans ce tableau). Quel est, suivant la valeur de
, le signe de
?
2.
On consid`ere la suite r´eelle
d´efinie par son premier terme
strictement positif et, pour tout entier naturel
non nul, par la relation de r´ecurrence :
.
Justifier l’in´egalit´e
.
Soit
un entier naturel au moins ´egal `a
v´erifiant
;
´etablir l’in´egalit´e
et en d´eduire que la suite
est strictement minor´ee par
.
3.
Montrer que si la suite
converge, alors sa limite est
.
4.
Dans cette question, on suppose v´erifi´ee la propri´et´e suivante :
Pour tout entier naturel non nul,
a.
Pour tout entier naturel
non nul, ´etablir l’in´egalit´e :
.
b.
Pour tout entier naturel
non nul, exprimer
en fonction de
puis, `a l’aide du tableau de variation de
, prouver que la suite est croissante.
c.
En d´eduire que la suite
converge vers un r´eel strictement sup´erieur `a
et aboutir `a une contradiction.
Ainsi la propri´et´e
n’est pas v´erifi´ee.
5.
On note
un entier naturel non nul v´erifiant
.
a.
´
Etablir l’in´egalit´e :
.
b.
Soit
un entier naturel au moins ´egal `a
v´erifiant
;
´etablir l’in´egalit´e
et en d´eduire que la
suite
est strictement d´ecroissante.
c.
Montrer que la suite
converge vers
.
1
Exercice I I
Toutes les variables al´eatoires qui interviennent dans cet exercice sont d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e dont la
probabilit´e est not´ee
. On note
l’esp´erance d’une variable al´eatoire
.
1.
Montrer que l’esp´erance d’une variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etre
strictement positif est ´egale
`a
, et que sa variance est ´egale `a
.
2.
On suppose que la dur´ee d’utilisation, en mois, d’un pneu de v´elo neuf, avant qu’il ne cr`eve, est une variable al´eatoire,
not´ee
, suivant la loi exponentielle de param`etre
..
a.
Pr´eciser l’esp´erance et la variance de
.
b.
Quelle est la probabilit´e qu’un pneu ne cr`eve pas pendant les deux premi`eres ann´ees de son utilisation? On donne :
.
c.
Sachant qu’au bout d’un an d’utilisation, le pneu n’a pas crev´e, quelle est la probabilit´e qu’il ne cr`eve pas au cours des
deux ann´ees suivantes?
3.
D´eterminer le r´eel positif
v´erifiant :
. On donne:
4.
On consid`ere un v´elo muni de deux pneus neufs et on note
la variable al´eatoire repr´esentant la dur´ee d’utilisation,
jusqu’`a sa premi`ere crevaison, du pneu avant et, de mˆeme, on note
la variable al´eatoire repr´esentant la dur´ee d’utilisation
du pneu arri`ere jusqu’`
a
s
a
p
r
e
m
i
`ere crevaison.
On suppose que les variables
et
suivent la mˆeme loi que
et que, pour tout couple
de r´eels, les
´ev´enements
et
sont ind´ependants.
On note
la variable al´eatoire ´egale `a la dur´ee d’utilisation du v´elo avant que l’un ou l’autre des deux pneus ne cr`eve.
a.
Pour tout r´eel positif
, exprimer l’´ev´enement
`a l’aide des variables
et
et en d´eduire la fonction de
r´epartition de la variable
. Reconna
ˆ
i
t
r
e
l
a
l
o
i
d
e
et donner les valeurs de son esp´erance et de sa variance.
b.
On note
la variable al´eatoire ´egale au plus grand des deux nombres (al´eatoires)
et
.
i)
Pour tout r´eel positif
, exprimer l’´ev´enement
`a l’aide des variables
et
et en d´eduire la fonction de
r´epartition de la variable
puis une densit´e de celle-ci.
ii)
Calculer l’esp´erance de
. Pourquoi, intuitivement, pouvait-on pr´evoir l’encadrement:
?
c
.
D
´eterminer les r´eels
et
v´erifiant:
et
On donne
:
.
5.
On suppose que le prix d’achat du v´elo est ´egal `a
euros (o`u
est un r´eel strictement positif) et que sa valeur
marchande est une fonction
qui ´evolue au cours du temps, exprim´e en mois, suivant la formule :
Ainsi, par exemple, la valeur marchande du v´elo, deux ans apr`es son achat, est
.
a.
´
Etudier les variations de la fonction
sur
et donner son tableau de variation.
b.
Soit
la variable al´eatoire d´esignant la valeur marchande du v´elo quand, pour la premi`ere fois, un de ses pneus cr`eve.
Exprimer
`
a
l
a
i
d
e
d
e
et de
.
En d´eduire que la fonction de r´epartition
de
est donn´ee par :
si
si
si
c.
Donner une densit´
e
d
e
l
a
v
a
r
i
a
b
l
e
.
2
Calculer, en fonction de
,
l
e
s
p
´erance et la variance de la variable
.
d.
On suppose que le coˆut de la r´eparation d’un pneu, quand il cr`eve, est de
euros.
Quelle est la probabilit´e que le coˆut de la r´eparation soit sup´erieur ou ´egal au dixi`eme de la valeur marchande du v´elo
quand le premier de ses pneus cr`eve?
e.
Soit
la variable al´eatoire ´egale `a
.. Montrer que la fonction de r´epartition
de
est donn´ee par :
si
si
Reconna
ˆ
itre la loi de
et calculer son esp´erance en fonction de
.
f.
Comparer
et
.
3
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