HEC 2000 mathematiques ii classe prepa b/l

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION Lettre et Sciences Sociales (BL)MATHEMATIQUES IIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Ce problŁme Øtudie deux suites de variables alØatoires discrŁtes. Il se compose de quatre parties.Si le candidat ne parvient pas à Øtablir un rØsultat demandØ, il inl diquera clairement, et il pourra pour la suiteadmettre ce rØsultat.Dans tout le problŁme, n dØsigne un entier naturel non nul.On considŁre une urne U contenant n boules numØrotØes de 1 à n:nOn tire une boule au hasard dans U . On note k le numØro de cette boule.nSi k est Øgal à 1, on arrŒte les tirages.Si k est supØrieur ou Øgal à 2, on enlŁve de ul rne U , les boules numØrotØes de k à n (il reste donc les boulesnnumØrotØes de 1 à k 1), et on e⁄ectue à nouveau un tirage dans l urne.On rØpŁte ces tirages jusqu’à l obtention de la ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES II Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Ce problème étudie deux suites de variables aléatoires discrètes.Il se compose de quatre parties. Si le candidat ne parvient pas à établir un résultat demandé, il lindiquera clairement, et il pourra pour la suite admettre ce résultat.
Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul.
On considère une urneUncontenantnboules numérotées de 1 àn: On tire une boule au hasard dansUn. Onnotekle numéro de cette boule. Sikest égal à 1, on arrête les tirages. Sikest supérieur ou égal à 2, on enlève de lurneUn, les boules numérotées dekàn(il reste donc les boules numérotées de 1 àk1), et on e¤ectue à nouveau un tirage dans lurne. On répète ces tirages jusquà lobtention de la boule numéro 1. On noteXnla variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour lobtention de la boule numéro 1. On noteYnla variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées. On noteE(Xn)etV(Xn)(respectivementE(Yn)etV(Yn)lespérance et la variance deXn(respectivementYn)
Partie 1. n P11 1 1. Onpose :hn1 ++= =  +. k2n k=1
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(a) Montrer,pour tout entier naturelknon nul, les inégalités : 1 1 6ln(k+ 1)ln(k)6 k+ 1k lndésigne le logarithme népérien. (b) Endéduire les inégalités :ln(n+ 1)6hn61 + ln(n): (c) Déterminerun équivalent simple dehnquandntend vers linni. n P1 11 2. Onpose :kn+1 += =  +. 2 2 k4n k=1 1 11 (a) Montrer,pour tout entierksupérieur ou égal à 2, linégalité :6. 2 k k1k (b) Endéduire la majoration :kn62: (c) Déterminerun équivalent simple dehnknquandntend vers linni.
Partie 2 :Étude de la variable aléatoire Xn.
On noteInla variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans lurneUn. 1. (a)Quelle est la loi deIn? (b) Quelleest la loi conditionnelle deXnsachantIn= 1? (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : 8j2N;8k2 f2;:::;ngP(Xn=j=In=k) =P(Xk1=j1)
2. (a)Quelle est la loi deX1? (b) Quelest lévénement(X2= 1)? Donnerla loi deX2son espérance et sa variance. (c) Déterminerla loi deX3son espérance et sa variance. 3. (a)Montrer queXnprend ses valeurs dansf1; 2;:::;ng. (b) DéterminerP(Xn= 1)etP(Xn=n). (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer : n X 1 8j>2; P(Xn=j) =P(Xk=j1) n k=1 (d) Sinest supérieur ou égal à 3 etjsupérieur ou égal à 2, calculer : nP(Xn=j)(nl)P(Xn1=j): En déduire, sinest un entier supérieur ou égal à 2 : n1 1 8j>1P(Xn=j) =P(Xn1=j) +P(Xn1=j1): n n 1 4. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant 3.d :E(Xn) =E(Xn1) + n (b) EndéduireE(Xn)et donner un équivalent simple deE(Xn)quandntend vers linni. 2 2 périeur ou égal à 2, calculerE(Xen 5. (a)Sinest sun)fonction deE((Xn1) )et deE(Xn1). (b) Endéduire :V(Xn) =hnkn(en reprenant les notations introduites en Partie 1).
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(c) Donnerun équivalent deV(Xn)quandntend vers linni. 6. Soit(Ti)i>1une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour toutientier naturel non nul,Ti n 1P suit la loi de Bernoulli de paramètre. Onpose :Sn=Ti=T1+  +Tn i i=1 (a) VérierqueX1etT1ont même loi. (b) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer pour toutjentier naturel non nul : 1n1 8j>1P(Sn=j) =P(Sn1=j1) +P(Sn1=j): n n En déduire queXnetSnont même loi. (c) RetrouverainsiE(Xn)etV(Xn). n P k 7. Ondénit le polynômePnpar la relation :8x2R; Pn(x) =x P(Xn=k): k=0 (a) DéterminerP1etP2: n1 +x (b) Sinest supérieur ou égal à 2, à laide du 3.d., montrer :8x2R; Pn(x) =Pn1(x) n (c) EndéduirePn. (d) DéterminerP(Xn=n1) 0 (e) CalculerP(1)et retrouverE(X). n n
Partie 3 :Étude de la variable aléatoire Yn. 1. Donnerla loi deY1. 2. (a)Quelles sont les valeurs prises parY2? (b) Déterminerla loi deY2. 3. (a)Sinest supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entierjnon nul et tout entierksupérieur ou égal à 2 : P(Y=j=I=k) =P(Y=jk): n nk1 (b) Sinest supérieur ou égal à 2, en déduire, pour tout entierjsupérieur ou égal à 1 : n1 1 P(Yn=j) =P(Yn1=j) +P(Yn1=jn): n n (c) Sinest supérieur ou égal à 2, montrer :E(Yn) =E(Yn1) + 1.Que vautE(Yn)pour tout entiernnon nul ?
Partie 4. On considère lurneUncontenantnboules numérotées entre 1 etn:À partir de lurneUn, on e¤ectue la suite de (n) tirages décrite dans len-tête du problème.Pourientier def1; 2;:::;ng, on dénitZla variable aléatoire égale i à 1 si, au cours de lun quelconque des tirages.on a obtenu la boule numéroi;égale à 0 sinon. (n) (n) 1. Quelleest la loi deZn? Quedire de la variableZ1? 2. (a)Sinest supérieur ou égal à 2 etiun entier def1; 2;:::;ng, montrer la relation : n X (n)1(k1) P(Z+= 1) =P(Z= 1) i i n k=i+1
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(n) (b) Montrerpar récurrence que, pour toutndeNet pour toutidef1; 2;:::;ng,Zsuit la loi de Bernoulli i 1 de paramètre: i n P (n) 3. QuevautZ? RetrouverainsiE(Xn): i i=1 4. RetrouverE(Yn).
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