HEC 2000 mathematiques ii classe prepa hec (s)

Publié par

HEC-ESCP-EML 2000. Math 2, option scientifiqueLe probl`eme consiste en l’analyse d’un algorithme de tri et l’´etude de sa complexit´e.On note lnx le logarithme n´ep´erien d’un r´eel strictement positif x et log x son logarithme en base 2. On rappelle que2lnxlog x =2 ln2´Partie I : Etude d’une suite r´eelleDans cette partie la lettre n d´esignera toujours un entier naturel au moins ´egal `a 2.On consid`ere la suite (u ) ∗ d´efinie par son premier terme u et v´erifiant, pour tout n, la relation de r´ecurrence :k k∈N 1n−1X2un = n−1+ uini=11)a)Calculer u et u en fonction de u .2 3 1b)Montrer que, pour tout n au moins ´egal a` 3, on a : nu −(n+1)u = 2n−2.n n−1uk2) Pour tout entier naturel k non nul, on pose : v = .kk +1a) Pour tout n au moins ´egal a` 3, exprimer v −v en fonction de n.n n−1b)D´eterminer deux r´eels α et β v´erifiant, pour tout r´eel x non nul et distinct de −1, l’´egalit´e :2x−2 α β= +x(x+1) x x+1nX 1 u 41c) Pour tout n, ´etablir l’´egalit´e : v = 2 + −2+ .nk 3 n+1k=2nX 1 1 n3) Pour tout n, on pose h = et z = −ln( ).n nk n n−1k=2a) Calculer u en fonction de h , u et n.n n 1nXb)Prouver l’´egalit´e : h = z +lnn.n kk=2c) D´eterminer la nature de la s´erie de terme g´en´eral z .nd)En d´eduire un ´equivalent de h quand n tend vers l’infini.ne) D´eterminer un ´equivalent de u quand n tend vers l’infini.n´Partie II : Etude d’une suite de variables al´eatoiresA On consid`ere un espace probabilis´e dont la probabilit´e est not´ee P, une ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 220
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
HEC-ESCP-EML 2000.Math 2, option scientifique Leproble`meconsisteenlanalysedunalgorithmedetrietle´tudedesacomplexite´. On note lnxnee´´pregoratimh´eelstriiendunrtisofimetcptnelelxet logxson logarithme en base 2. On rappelle que 2 lnx logx= 2 ln 2 ´ PartieI:Etudedunesuitere´elle Dans cette partie la lettrendise´alegs´in2.`atneinrtaruleuaomgneratoujoursune Onconside`relasuite(uk)kNrpmesrnoreemeitrdiepa´enu1tourutnaiop,ttere´vnrelatila,ruercn:enoed´rce n1 X 2 un=n1 +ui n i=1 1)a)Calculeru2etu3en fonction deu1. b)Montrer que, pour toutnol`ian3s´aeugma:,onanun(n+ 1)un1= 2n2. uk 2)Pour tout entier naturelknon nul, on pose :vk= . k+ 1 a)Pour toutnegs´`aalex3,imprreuaomnivnvn1en fonction den. b)etmrDe´lsr´eedeuxinerαetβruop,tnaire´vleer´uttoxnon nul et distinct de´e:1l,´egalit 2x2α β = + x(x+ 1)x x+ 1 n X 1u14 c)Pour toutnaelt,eg´l´iarbl:´eitvn= 2+2 +. k3n+ 1 k=2 n X 1 1n 3)Pour toutn, on posehn= etzn=ln( ). k nn1 k=2 a)Calculerunen fonction dehn,u1etn. n X b)rPuoevlr´ge:e´tilahn=zk+ lnn. k=2 c)g´enermeedet´erilesarudenataenlrmieretD´are´lzn. d)ivquenalreui´eunnEde´ddtehnquandntend vers l’infini. e)un´equDi´veterminerlanedteunquandntend vers l’infini. ´ PartieII:Etudedunesuitedevariablesal´eatoires
AOspneeuerd`sionncde´silibaborpecanoltpaorabibil´teestnot´eePairaaelbae´lriote,unevZec,seap,dn´esuieetrc prenantunnombrenidevaleursre´ellesnote´esz1, z2, . . . , zpntmeetvun´ene´eAne´tunnoaborilibepdlle. On noteE(Z/Aeroiat´ealleabrivanaecedallse´pre)Zibaborpalruoptncaahllseonneditieconlit´A, i. e. p X P E(Z/A) =ziP([Z=zi]/A) i=1 Soit (A1, A2, . . . , Aqbibaroeponent´liemene´vedsuotstnit´eegal.erPunlllr´uoevst`emecompletd´)nuys q X E(Z) =P(Aj)E(Z/Aj) j=1
Broepbibaeeemacspalt´silnodeartiesontesous-pssrunuˆmdte´neinscoesirtoeal´satecsnadsee´re´diTbaelavirlsseuoet probabilit´eestnot´eeP. Onconsid`ereunesuite(In)nNedleabrivatoeal´sariseetllqeeup,uortoutnnon nul,Insuit la loi uniforme sur l’ensemble [1, nteui(re`eesunsndinoocra,trtpeDauetn.tre1e,engralsnesua,sirpmcorsientsede]]Xn)nNbairaselavedesl´eatoir ayantlesproprie´t´essuivantes X1ela`e´ag0ecbliaarteanstonvaltse pour tout entier naturelnenllseedsllescoidionontiomua´snilage,2a`Xnsachant [In= 1] et deXnsachant [In=n] sonttoutesdeuxe´gales`alaloiden1 +Xn1 pour tout entier natureln3ateag`lneitottuaerns´eumoiitel que 2in1, la loi conditionnelle deXnsachant [In=i´egale`a]estolaledin1 +Zn,i+Tn,iou`Zn,ietTn,isindoire´eatesalailbvxradtuesno,setnadnepe´Zn,iayant mˆemeloiqueXi1, etTn,iantyameˆmioleeuqXni. Par exemple, on a :P([X6= 9]/[I6= 1]) =P([X5= 4]) et aussiP([X6= 9]/[I6= 3]) =P([Z6,3+T6,3= 4]) ce qui, X comptetenudeshypothe`ses,s´ecrit:P([X6= 9]/[I6= 3]) =P([X2=j])P([X3= 4je´tnate´emmosal,])uendte j aux valeurs convenables de l’entierj. 1)a)Montrer queX2etnatsnoa`elage´sˆuesqretcenemurae´lailbripeaeot1.eevarstun
1 2 ´ b)e´:slatis´egirletablEP([X3= 2]) =etP([X3decnare´]3=)=ealcu.CesplerlX3qu’on noteraU3. 3 3 2)mrnirealoldiete´eDX4etcalculersonesp´nareuqecnnoretoaU4. 3)encecurrrr´entpaopruuq,ertrem,noretunaertienuttolEnocprda´ennon nul,Xnsˆuremen,presquednerp,teds n(n1) valeursenti`eresinf´erieuresou´egalesa`. 2 4)Soitnuratrnieinmoaueltnenulaa`´sgeonet.2nOUnesp´lcedeeranXn. n1 X 2 ` a)esr´tauldetssolalAdiasedelirl´egalit´e:sup-raitAe´,tebaUn=n1 +Ui. n i=1 ` b)A l’aide de la partie I, donner l’expression deUnen fonction denaviutneluuqqe´nasiindeUnquandntend vers l’infini. 5)Pour tout entier naturelnnon nul, on noteαntitelavepalpsulre`eri)pr(eutienlberaailrvaesapXnavec une probabilite´nonnulle. a)Soitnetkdeux entiers naturels, l’entiernegs´`aal3.e´attnuaomni Montrer queP([Xn=k]) est nul si et seulement si les nombresP([n1 +Xn1=k]) etP([n1 +Zn,i+Tn,i=k]) (l’entierivairadenta2`n1) sont nuls. Ende´duirequeαnmoins´egestausrembonsedmuminimualan1 +αn1, n1 +α1+αn2, nl+α2+ αn3, . . . , n1 +αn2+α1. b)ere`ofalitcnnocoOnidnsgd´enie,pourtoutxstrictement positif, parg(x) =xlogx2x+ 2. 2 i.Montrer quegest convexe. Pour tout couple d’entiers (i, n) tel que 2ine´tilage´nileri´edu,end1:   n+ 1 g(i) +g(n+ 1i)2g. 2 ii.Pour tout entier naturelnate´rilbnon,lunt´lie:inlga´eg(n+ 1)g(n)log (nsclertpaasnErt1+.)tna`iaat 2 n= 1 etn= 2, montrer que, pour tout entier naturelnnon nul, on a :g(n+ 1)g(n)n1. 6)pnE´cornaderaptntteourtou,pirblate´,ecnerruce´rletarueinrnt´e:galiin´el,lnounn αn(n(+ 1) logn+ 1)2n 2
´ Partie III :Etude d’un algorithme de tri
Alerenunre`etunaertiOnconsidnnon nul et un ensembleE={e1, e2, . . . , en}`oue1, e2, . . . , en´vsliretnaonsestdeer´ e1< e2. .< e< .n. On munit l’ensemble des permutations deErobabilit´edlepauniformene´toePd`sieerO.nocn lesnviaarlae´lbseerstaioT1, T2, . . . , Tnnui,`qepetuotaoitatumrσdeEas,tlencisoemtndsedes´el´eesimagesEparσ, i.e.T1(σ) =σ(e1), T2(σ) =σ(e2), . . . , Tn(σ) =σ(en), et on noteT´laeuearevtcele(irtoT1, T2, . . . , Tn). Pour toute liste (α1, α2, . . . , αn´edeml´tsen)distinctsdeEon a donc :   1 P[T= (α1, α2, . . . , αn)] = n! 1)lbaeraaiotri´laeeete´DlaerinrmavelidloT1. 0 2)On supposentionaleg2.`amoaus´inrepeatumruoPtuotσdeEon noteT(σestliladentme´emeei´rle)elrp 1   0 0 ntele´l´ementexistee(σ) = 0 sinon,T(σme`eixuedel) σ(e1), σ(e2), . . . , σ(enieurf´er)ina`σ(e1) =T1(σ) si utT1 2 0 0 le´mentexisteetT) = 0 sinon, etc ´el´ementinfe´rieur`aσ(e1unteldeuxi`eme´e)is2(σ.,T(σ) le (nemtnlee´me´e-)`i1 n1 0 eme´el´ementexisteetT σ) = 0 sinon. infe´rieur`aσ(e1) si un tel (n1)-i`n1( Par exemple, si n= 4,(e1, e2, e3, e4) = (3,5,7,10) et (σ(e1), σ(e2), σ(e3), σ(e4)) = (7,10,5,3) 0 00 alorsT(σ) = 5, T(σ) = 3 etT(σ) = 0. 1 23 Soitkvre´iratn1neuientkn1. a)Combien y a-t-il de listes (i1, i2, . . . , iknt2riasv´ereitned)i1< i2. .< .< ikn? ´ b)Soit (α1, α2, . . . , αk)untsle´eme´ilendetsdistinctsde{e1, e2, . . . , ek}:gelati.et´Ebaillr´k \   1 0 P=α] [Tj j[T1=ek+1] = nk! j=1 c)reui´elEnedd´´teagil k \   1 0 P[T=α j j]/[T1=ek+1] = k! j=1 ou`P(A/Bilabobprlaneiges´d)eledit´econditionnelAsachantB. 0 00 Ainsi la loi conditionnelle de(T ,. . .T ,)sachant 1 2, Tk[T1=ek+l]est uniforme. 2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.