HEC 2000 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

Publié par

CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2000La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Exercice 11. Montrer que, pour tout nombre rØel x> 0 et tout entier naturel k; inl tØgrale1Z k xtt edt51+t1est convergente.Pour quelles valeurs de l entier k cette intØgralle est-elle aussi convergente pour x = 0 ?1 xtR e2. On se propose d Øtudier la fonction F dØ…nie, pour x> 0; par F (x) = dt:51+t1Montrer que F est une fonction strictement positive, dØcroissante et quelim F (x) = 0x! +13. (a) Montrer que, pour tout rØel t> 0; tout rØel x> 0 et tout rØel h> 0; on a : 2 2t h t(x+h) tx tx txe e + t he 6 e 21/4(b) Montrer de mŒme que, pour tout rØel t> 0; tout rØel x> 0 et tout rØel h6 0; on a : 2 2t h t(x+h) tx tx t(x+h)e e + t he 6 e 2(c) En dØduire que pour tout rØel x> 0 et tout rØel h tel ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 619
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2000
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Exercice 1 1. Montrerque, pour tout nombre réelx >0et tout entier naturelk;lintégrale 1 Z kxt t e dt 5 1 +t 1 est convergente. Pour quelles valeurs de lentierkcette intégralle est-elle aussi convergente pourx= 0? 1 xt R e 2. Onse propose détudier la fonctionFdénie, pourx>0;parF(x) =dt: 5 1 +t 1 Montrer queFest une fonction strictement positive, décroissante et que limF(x) = 0 x!+1
3. (a)Montrer que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh>0;on a :
2 2 t h t(x+h)txtxtx ee+t he6e 2
1/4
(b) Montrerde même que, pour tout réelt>0;tout réelx>0et tout réelh60;on a : 2 2 t h t(x+h)txtxt(x+h) ee+t he6e 2 (c) Endéduire que pour tout réelx>0et tout réelhtel quex+h>0;on a : 1 1 Z Z xt2 2 te ht F(x+h)F(x) +h dt6dt 5 5 1 +t+2 1t 1 1 (d) Montrerenn que la fonctionFest dérivable sur[0;+1[et donner une expression de sa fonction dérivée 0 F : 12xt R t e 0 4. Montrerde même queFest dérivable sur[0;+1[et queF"(x) =dt 5 1 +t 1 5. Onse propose de montrer que la fonctionln(F)est convexe. 2 (a) Montrerque sia,betcsont trois nombres réels tels que, pour tout réel;on ait linégalité :a+ 2 2b+c>0;alors, nécessairement,acb>0: (b) Endéduire que la fonctionln(F)est une fonction convexe.
Exercice II On dispose de deux jetonsAetBque lon peut placer dans deux casesC0etC1;et dun dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, lune des lettrea,boucdébut de lexpérience, les deux jetons. Au sont placés dansC0:On procède alors à une série de tirages indépendants de lune des trois lettresa,bouc. A la suite de chaque tirage, on e¤ectue lopération suivante : si la lettreaest tirée, on change le jetonAde case,
si la lettrebest tirée, on change le jetonBde case,
si la lettrecest tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On suppose quil existe un espaceprobabilisé dont la probabilité est notéep, qui modélise cette expérience et que lon dénit deux suites de variables aléatoires sur cet espace,(Xn)et(Yn), décrivant les positions n>0n>0 respactives deAetB, en posant :X0=Y0= 0, et pour tout entier naturel n non nul,Xn= 0si à lissue de la ieme nopération, le jetonAse trouve dansC0etXn= 1sil setrouve dansC1; de même,Yn= 0si à lissue de la ieme nopération, le jetonBse trouve dansCetY= 1sil setrouve dansC : 0n1
I Simulation Ecrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler lexpérience, qui lira un entierNentré au clavier, représentant le nombre de tirages à e¤ectuer, et qui a¢ chera à lécran la liste des couples observés(Xn; Yn)pour 1nN: Ce programme utilisera la fonctionRANDOMqui renvoie, pour un argumentmde typeINTEGER, un nombre entier de lintervalle[0; m1], tiré au hasard et de manière équiprobable. (Cette fonction doit être initialisé par la commandeRANDOMIZE)
2/4
II Simulation ieme 1. (a)Soit n un entier strictement positif.Déterminer la probabilité que, à lissue de lanopération, le jetonAnait jamais quittéC0: (b) Quelleest la proabilité que le jetonAreste indéniment dansC0? ieme 2. Pourtout entier naturelksupérieur ou égal à 2, on sinterresse à lévénementDk:à lissue de lak opération, le jetonArevient pour la première fois dansC0:Déterminer la probabilitép(Dk). 3. SoitM la matrice   2 1 M= 1 2 (a) Déterminerles valeurs propres deMet donner une base de vacteurs propres. n; (b) Endéduire lexpression deMpour tout entiernstrictement positif.
4. (a)Calculer les probabilitésp(X1= 0)etp(X1= 1): (b) Déterminerune matriceQtelle que, pour tout entier natureln;on ait légalité matricielle :    p(Xn+1= 0)p(Xn= 0) =Q p(Xn+1= 1)p(Xn= 1) n (c) Pourtout entier naturelnnon nul, calculer la matriceQet en déduire la loi de la variableXn:
III Etude dun mouvement du couple de jetons(A; B) On suppose que lon dénit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires(Wn), à valeurs n>0 dansf0;1;2;3g, décrivant les positions des dexu jetonsAetB;en posant : W0= 0;et pour tout entier naturelnnon nul, ieme Wn= 0;si à lissue de lanopération,AetBse trouvent tous les deux dansC0; ieme Wn= 1;si à lissue de lanopération,Ase trouve dansC0;etBdansC1; ieme Wn= 2;si à lissue de lanopération,Ase trouve dansC1;etBdansC0; ieme Wn= 3;si à lissue de lanopération, les deux jetonsAetBse trouvent dansC1: 1. Calculerla probabilitép(W1=i)pouriégal à 0, 1, 2 et 3. 2. Déterminerla matriceRtelle que, pour tout entier natureln;on ait légalité matricielle : 0 10 1 p(Wn+1= 0)p(Wn= 0) p(Wn+1= 1)p(Wn= 1) B CB C =R @ A@ A p(Wn+1= 2)p(Wn= 2) p(Wn+1= 3)p(Wn= 3) 3. Onconsidère les matrices : 0 10 10 1 1 0 0 01 1 1 10 0 0 1 0 1 0 01 1 1 10 0 1 0 B CBCB C I=; U=; V= @ A@ A@ A 0 0 1 01 1 1 10 1 0 0 0 0 0 01 1 1 11 0 0 0 n n (a) Pourtout entier naturelnnon nul, calculerUetV : (b) Etablir,pour tout entier naturel non nuln;légalité n X n kk nk k (UV() =1)VC U n k=0 0 0 où par convention on pose :U=V=I:
3/4
(c) Endéduire, pour tout entier naturel non nuln;légalité
1 n nn nn (UV) =[3(1) ]U+ (1)V 4
n 4. Pourtout entier naturelnnon nul, calculerR etdonner la loi de la variableWn:(on distinguera les casn pair etnimpair)
5. Déterminer, pour tout entier naturelnnon nul, la covariance deXnetYnet calculer la limite de cette covariance quandntend vers +1:
VI Etude dun long séjour. ieme On suppose que chaque tirage, avec lopération qui le suit, dure une minute.Ainsi, à lissue de lanopération, nminutes se sont écoulées depuis le début de lexpérience. Soitnun entier naturel non nul. On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jetonAa séjourné dansC1, entre le début ieme de lexpérience et lissue de lanopération, est une variable aléatoire que lon noteTn:
1. ExprimerTnà laide des variablesXk, pourkcompris entre 1 etn: 2. Endédure lespéranceE(Tn). 1 Calculer la limite deE(Tn)quandntend vers linni. n
4/4
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.