HEC 2001 mathematiques i classe prepa b/l

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION Lettre et Sciences Sociales (BL)MATHEMATIQUES IAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.On dispose de n jetons numØrotØs de 1 à n, n Øtant un entier strictement supØrieur à 1. On tire, au hasardet sans remise, les jetons un à un. La suite (a ;a ;:::;a ) des numØros tirØs est aussi appelØe permutation de1 2 nel nsemble f1;2;:::;ng. tant donnØ deux entiers k et p vØri…ant 1 < k < p < n, la suite (a ;:::;a ) se rØduisant à (a ) dans le cas oøk p kk est Øgal à p , est appelØe sous-suite de (a ;a ;:::;a ) et son nombre d’ØlØments est appelØ longueur de cette1 2 nsous-suite.On admettra que cette expØrience alØatoire peut Œtre modØlisØe par la donnØe de l univers , ensemble despermutations de f1;2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties ( ) et de la probabilitØ uniforme P, ce qui signi ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION Lettre et Sciences Sociales (BL) MATHEMATIQUES I Année 2001
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
On dispose denjetons numérotés de 1 àn,nOn tire, au hasardétant un entier strictement supérieur à 1. et sans remise, les jetons un à un.La suite(a1;a2;:::;an)des numéros tirés est aussi appelée permutation de lensemblef1; 2;:::;ng. Étant donné deux entiersketpvériant1< k < p < n, la suite(ak;:::;ap)se réduisant à (ak) dans le cas où kest égal àp, est appelée sous-suite de(a1;a2;:::;an)et son nombre déléments est appelé longueur de cette sous-suite. On admettra que cette expérience aléatoire peut être modélisée par la donnée de lunivers, ensemble des permutations def1; 2;:::;ng, muni de la tribu de ses parties()et de la probabilité uniformeP, ce qui signie 1 que, pour toute permutation!def1; 2;:::;ng, on a :P(f!g) =. n! SiXest une variable aléatoire dénie sur(; ();P), on noteE(X)son espérance etV(X)sa variance. SiXetYsont deux variables aléatoires dénies sur(; ();P), on noteCov(X;Y)leur covariance.
Préliminaire SoitXune variable aléatoire prenant ses valeurs dansf1; 2;:::;mgmest un entier strictement supérieur à 1. m P Montrer légalité :E(X) =P([X>k]). k=1
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Partie 1 :Première sous-suite croissante. Étant donné une permutation(a1;a2;:::;an)def1; 2;:::;ng, la première sous-suite croissante est dénie de la façon suivante : dans le casa1< a2< ::: < an, la première sous-suite croissante est(a1;a2;:::;an); dans le cas contraire,kétant le plus petit entier def1; 2;:::;n1gvériantak> ak+l, la première sous-suite croissante est(a1;:::;ak). SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe la longueur de sa première sous-suite croissante. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, comme2<3<5et5>4, on a :L(!) = 3.
1. (a)Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L=n])? 1 (b) Montrerque, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L > k]) =. Endéduire la loi deL. k! 2. Donner la valeur deE(L)sous forme dune somme et déterminer la limite deE(L) quandntend vers linni.
Partie 2 :Deuxième sous-suite croissante.
Étant donné une permutation(a;a;:::;a)def1; 2;:::;nget sa première sous-suite croissante(a;:::;a), 1 2n1k si celle-ci se termine paran(i.e. sik=n), on dit que la deuxième sous-suite croissante nexiste pas ; dans le cas contraire, la première sous-suite croissante de(ak+l;:::;an)est appelée deuxième sous-suite croissante de(a1;a2;:::;an). 0 SoitLla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe 0 sil nexiste pas de deuxième sous-suite croissante, et la longueur de la deuxième sous-suite croissante, dans le cas contraire. 0 Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;, la deuxième sous-suite croissante est(4; 9)et lon a :L(!) = 2.
0 0 1. Quellessont la plus petite et la plus grande des valeurs prises parL? QuevautP([L= 0])? 2. Onsuppose, dans cette question seulement, quenest égal à 3. 0 (a) Montrerque la loi du couple(L;L)est donnée par le tableau suivant : 0 LL1 2 3 0 00 1/6 1 1/61/3 0 2 1/30 0 0 (b) Donnerla loi deLet calculer son espérance. 0 (c) Calculerla covariance deLet deL. Pouvait-onprévoir le signe de cette covariance ?
3. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.
(a) Dénombrerles parties de lensemblef1; 2;:::;ngdistinctes de;,flg,f1; 2g,...,f1; 2;:::;n1g 0 (b) EndéduireP([L+L=n]). k 2k 0 (c) Montrerde même que, pour tout entierkdef1; 2;:::;ng, on a :P([L+L>k]) = k! 0 (d) Donnerla valeur deE(L+L)sous forme dune somme. 0 (e) EndéduireE(L)et sa limite quandntend vers linni.
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Partie 3 :Nombre de sous-suites croissantes. Étant donné une permutation(a1;a2;:::;an)def1; 2;:::;ng, si sa deuxième sous-suite croissante existe et ne se termine pas paran, on dénit la troisième sous-suite croissante à linstar de la deuxième, etc., jusquà ce que lon ait déni une sous-suite croissante se terminant paran. SoitTla variable aléatoire dénie sur(; ();P)qui, à toute permutation!, associe le nombre de ses sous-suites croissantes. Par exemple, sin= 9et!3; 5; 4; 9; 6; 7; 8; 1)= (2;;comme les sous-suites croissantes sont(2; 3; 5),(4; 9),(6; 7; 8) et(l), on a :T(!) = 4.
1. (a)Donner la loi deTdans le cas oùnvaut 2.Calculer son espérance et sa variance. (b) Donnerla loi deTdans le cas oùnvaut 3.Calculer son espérance et sa variance.
2. Onsuppose désormais lentiernsupérieur ou égal à 4.
(a) CalculerP([T= 1])etP([T=n]). 0 (b) Comparerles événements[L+L=n]et[T62]déduire la valeur de. EnP([T= 2]). (c) Donnerla loi deTdans le cas oùnCalculer son espérance et sa variance.vaut 4.
3. Pourtout entieridef1; 2;:::;n1gsoitAilévénement égal à lensemble des permutations(a1;a2;:::;an) vériantai> ai+l, et soitXila variable aléatoire qui, à toute permutation!, associe 1 si!2Aiet 0 sinon. 1 (a) MontrerqueXi. Donnerson espérance et sa variance.suit la loi de Bernoulli de paramètre 2 n+ 1 (b) Donnerune expression deTen fonction deXi. Endéduire légalité :E(T) =. 2 1 (c) Montrerque lon a :8i2 f1;:::;n2g; P(Ai\Ai+l) =déduire la valeur de. EnCov(Xi;Xi+l) 6 (d) Montrerque, pour tout couple(i;j)dentiers vériant16i < i+ 26j6n1, les événementsAiet Ajsont indépendants.En déduire légalité :Cov(Xi;Xj) = 0. n+ 1 (e) Établirenn légalité :V(T) =. 12 4. Onsuppose, dans cette question.quenOn considère 1000 variables aléatoiresest égal à 5.Tl,...,T1000, mutuellement indépendantes, de même loi que la variableTet on noteSla variable aléatoire égale à 1000 1P Ti. 1000 i=1 On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et on donne la valeur approchée suivante p :( 5)0;987. Calculer une valeur approchée de la probabilitéP([2;95< S <3;05]). 5. Onsuppose à nouveau quenest un entier quelconque strictement supérieur à 1.
(a) Si(a1;a2;:::;an)est une permutation def1; 2;:::;ngetkle nombre de ses sous-suites croissantes, quel est le nombre de sous-suites croissantes de la permutation(an;an1;:::;a2;a1)? (b) Endéduire, pour tout entierkvériant16k6n, légalité :P([T=k]) =P([T=n+ 1k]). Retrouver ainsi la valeur deE(T).
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