HEC 2001 mathematiques i classe prepa hec (stg)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLEDES HAUTESETUDESCOMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLESUPERIEURE DECOMMERCE DELYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION TECHNOLOGIQUEMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document: l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.L’´epreuve est compos´ee de deux exercices ind´ependants.EXERCICE IUne ´election comporte trois candidats et n votants, ou` n est un entier sup´erieur ou ´egal a` 3. Chaque votantdonne sa voix a` l’un ou l’autre de ces trois candidats. Tout candidat qui a obtenu au moins une voix est ´elu. Onsuppose que chaque vote se porte au hasard, de fa¸con ´equiprobable, sur un de ces candidats et que les votes sontmutuellement ind´ependants. Le vote se faisant par correspondance, le d´epouillement se fait au fur et a` mesurede la r´eception des bulletins de vote et, pour tout entier naturel k au plus ´egal a` n, on note u la probabilit´ekqu’apr`es r´eception du k-i`eme bulletin, un seul candidat ait obtenu des voix, v la ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION TECHNOLOGIQUE MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument:lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautorise´e.
L´epreuveestcompose´ededeuxexercicesind´ependants.
EXERCICE I
Une´electioncomportetroiscandidatsetntavous,on`tnChaq`a3.tantuevoueire´pulage´uortuesrsientne donnesavoixa`lunoulautredecestroiscandidats.Toutcandidatquiaobtenuaumoinsunevoixeste´lu.On supposequechaquevoteseporteauhasard,defa¸con´equiprobable,surundecescandidatsetquelesvotessont mutuellementind´ependants.Levotesefaisantparcorrespondance,led´epouillementsefaitaufuret`amesure delar´eceptiondesbulletinsdevoteet,pourtoutentiernaturelkapuul´sgelaa`n, on noteuklibae´tilaprob quapre`sr´eceptiondukublle`emu,snteniandieulcitobdatavsedunet,xio-ivkuptcendio`epr´esralilabobpraqu´eit ktenucahcxoievunnsoiumuaenllubnitei-eme`ianeottbnaidadstentdeuxc,exactemwkorpalseapr`equlit´babi re´ceptionduk-rostcaisidndsaatme`ilubeitelel,nsunevoixchacun.eitnboetunuaomni 1. (a)Pre´ciserlesnombresu1,v1etw1. 1 2 (b)Justierlese´galit´es:u2=, v2=, w2= 0. 3 3 (c)Enutilisantlaformuledesprobabilit´estotales,montrerquilexisteunematriceMurpouttoe´iratnv entier naturelklunnrsteonemtncietreeini´fur`an:    uk+1uk    vk+1=M vk wk+1wk
1
(d)End´eduirele´galit´ematricielle:    unu1 n1    vn=M v1 wnw1   1 0 0   2. SoitAlatamcerinndopee´:raA2 0= 2 0 1 3 2 (a) Calculerla matriceA. (b) Montrerque, pour tout entier naturel non nulk,isteilexmorbednseeslse´rak,bk,ckre´vnai´eit´tlaleg    k+1 1 0 0ak+1=ak+ 2 k k    A=ak2 0et les relationsbk+1=bk+ 2ck k k bkck3ck+1= 2ck+ 3 ck+1ck (c) Pourtout entier naturel non nulk:, on posedk=ak+1aketqk=. k+1k 2 2 Montrer que les suites (d)×et (q)×´rptsiceelrersru´esg´eomiqtrseuesnodtuesxiuetsn.iaos k kN. kkN. P k1 (d)Calculerdedeuxfa¸consdie´rentes,pourtoutentiernaturelknon nul, les sommesdjet j=1 P k1 qj. j=1   k+1 ak= 22 Ende´duireles´egalit´es: k k ck= 32 (e) Exprimer,pour tout entier naturel non nulk,bk+1bken fonction dek. k k+1 End´eduire,parunem´ethodeanalogue`acelledelaquestiond),le´galit´e:bk= 32 +1. 3. n1n1 (a) Exprimerla matriceMcirteededamallai`aAse:e´agil´tirdueseltee´end 1 un= n1 3 n 22 vn= n1 3 n 21 wn= 1n1 3 (b)De´terminerleslimiteslimun, limvnet limwnste´luat´rseC.se?selbisvi´eprls-intieta n+n+n+` (c) Apartir de quel nombrenevotantsest-once´tlessnosud?nsoiuxdendcaatidiatr9a`nuq%9muaEXERCICE II
Cetexercicee´tudielafe´condit´edesfemmesdunpaystotalementimaginaire,laSyldavie. 1.elgdonultaoustve.eivrue´econditFemsslyade´edfsme On estime que le nombre d’enfants mis au monde par une femme syldave, au cours de sa vie, est une variable al´eatoireNPediolenednossioetm`rapa2.resuivantu (a)Donnerlespe´rancedecettevariableal´eatoire. (b)Calculerlaprobabilit´epe`´eaarpporhcnuvelaueendonnerem`ereetrteˆd,evadlysememefunurpo, 2 0,pr01s.`e(0On donnee'0,135) (c)Calculerlaprobabilit´epourunefemmesyldavedavoiraumoinsquatreenfants,sachantquelleena au moins un. 2.de´eemsfssmedaylFoce´tidnˆedchantrarspve.ega
2
Onsuppose,danscettequestion,quaucunefemmesyldavenestm`ereavantlaˆgede12ansetquilexiste +une fonctionfcontinue positive surR, nulle surRv´,iert:an + – pourtout intervalleJnon vide deRde la forme [a, b[, le nombre d’enfants mis au monde par une femmesyldavedaˆgeappartenant`alintervalle[12+a,12 +btunevari[,eseriotae´laelbaNJsuivant la b R loidePoissondeparame`treαJ:eparonn´dαJ=f(t)dt. a + – pourtout intervalleJnon vide deRde la forme[a,+[, le nombre d’enfants mis au monde par une femmesyldavedˆageappartenant`alintervalle[12+a,+[e,eriotaeeal´iablevarstunNJsuivant la +R loidePoissondeparam`etreαJodnn´epar:αJ=f(t)dt. a 0 On suppose de plus que, siJetJtes,sosintntdelleservaiotnidjsnalt,syalouneuesedtraurpsemrofnede´ce´ lesvariablesale´atoiresNJetNJsoinntepd´daensetn. 0 +R (a)Quelledoiteˆtrelavaleurdelint´egralef(t)dtelccsleetneevasoctnre´hsoieesesoth`shypeuecuoqrp 0 de la question 1.? (b)Justierque,pourtoutr´eelx´tilibabenuruopeitosproap,liftertapmsnoedaemuesylfemmdenedave   x R denfantavantlaˆgexe21+odtse´nnepar:P([N[0,x[= 0]) = expf(t)dt. 0 (c)Montrerque,pourtoutr´eelxt´liouepnerummfetisol,fiorpaibabmisavoirupadevselyapaseden mondedenfantavantdatteindrelˆagex12+paeer:sedtno´nts`mre,equellee,sachant    x+Z Z 1    P([N[0,x[= 0]/[N >0]) =expf(t)dt1expf(t)dt p 0x Rappel: le nombrepnnade´iqdael´sttes´eaunoi1.b). ´ 3.Etude d’une fonction auxiliaire. + Onsuppose,dore´navant,quefest la fonction nulle surRedteiope´nutr´urtoeeltdeRpar : 1728t f(t) = 2 2 (t+ 432) 432 864 1728 2 Remarque= == 144 =: 12. 3 6 12 + ´ (a) Etudierla fonctionfsurRaximtunmadmeellecesirpen.´arleomuuquqrertnomte (b)Donnerlalluredesacourberepre´sentativeenpr´ecisantsademi-tangente`alorigineetlabscissedeson point d’inflexion. x++R RR (c)Calculer,pourtoutr´eelxisittnopetemrtcisesalgr´entsilef,f(t)dt,f(t)dtetf(t)dt. 0 0x (d)Ende´duirelexpression,enfonctiondepet dexbaborpalboe´tilianednutestueaqslc..)oeid2,n ˆ 4.nalassiaecnaosedrenpermifaen.ntegdA`ereunemave`syld Onsuppose,danscettequestion,quelˆageauquelunem`eresyldavemetaumondesonpremierenfantest unevariableal´eatoireTprenant ses valeurs dans l’intervalle [12,+r´ereienla,top[rutoet´tvuxpositif:    2 1 2x864 P([T >12 +xexp]) =1exp2 2 p x+ 432x+ 432 0 0(a) OnposeT=Teirtoae´laelbairavaleerquontr12.MTnsdeurpoait´elafonctiongnulle surRet   2 1 1728t2t + de´niepourtouttdeRpar :g(texp) =. 2 22 p(t+ 432)t+ 432 3
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