HEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2001 Option Economique Math 2
Dans tout le probl`eme,
d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a
.
On dispose de
jetons num´erot´es de
`a
. On tire, au hasard et sans remise, les jetons un `a un. La suite
des
num´eros tir´es est aussi appel´ee permutation de l’ensemble
.
´
Etant donn´e deux entiers
et
v´erifiant
, la suite
s
e
r
´eduisant `a
dans le cas o`u
est ´egal `a
— est appel´ee sous-suite de
et son nombre d’´el´ements est appel´e longueur de cette sous-suite.
On admettra que cette exp´erience al´eatoire peut ˆetre mod´elis´ee par la donn´ee de l’univers
, ensemble des permutations de
, muni de la tribu de ses parties
et de la probabilit´e uniforme
P
, ce qui signifie que, pour toute permutation
de
,
o
n
a
:
P
Si
est une variable al´eatoire d´efinie sur
P
, on note E
son esp´erance et V
sa variance.
Si
et
sont deux variables al´eatoires d´efinies sur
P
, on note Cov
leur covariance.
Pr
´
eliminaire
Soit
une variable al´eatoire prenant ses valeurs dans
o`u
est un entier sup´erieur ou ´egal `a
.
Montrer l’´egalit´
e
:
E
P
.
Partie 1 : Premi
`
ere sous-suite croissante
´
Etant donn´e une permutation
de
,
l
a
p
r
e
m
i
`ere sous-suite croissante est d´
e
fi
n
i
e
d
e
l
a
f
a
c
¸on suivante
: dans le cas
,
l
a
p
r
e
m
i
`ere sous-suite croissante est
; dans le cas contraire,
´etant le plus
petit entier de
v´erifiant
,
l
a
p
r
e
m
i
`ere sous-suite croissante est
.
Soit
la variable al´eatoire d´efinie sur
P
qui, `a toute permutation
, associe la longueur de sa premi`ere sous-suite
croissante.
Par exemple, si
et
, comme
et
,
o
n
a
:
.
1)
a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par
? Que vaut
P
?
b) Montrer que, pour tout entier
de
,
o
n
a
:
P
En d´eduire la loi de
.
2) Donner la valeur de E
sous forme d’une somme et d´eterminer la limite de E
quand
tend vers l’infini.
Partie 2 : Deuxi
`
eme sous-suite croissante
´
Etant donn´e une permutation
de
et sa premi`ere sous-suite croissante
;
s
i
c
e
l
l
e
-
c
i
s
e
termine par
(i.e. si
), on dit que la deuxi`eme sous-suite croissante n’existe pas; dans le cas contraire, la premi`ere
sous-suite croissante de
est appel´ee deuxi`eme sous-suite croissante de
.
Soit
la variable al´eatoire d´efinie sur
P
qui, `a toute permutation
, associe
s’il n’existe pas de deuxi`eme sous-suite
croissante, et la longueur de la deuxi`eme sous-suite croissante, dans le cas contraire.
Par exemple, si
et
, la deuxi`eme sous-suite croissante est
et l’on a :
.
1) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par
? Que vaut
P
?
2) On suppose, dans cette question seulement, que
est ´egal `a
.
a) Montrer que la loi du couple
est donn´ee par le tableau suivant :
b) Donner la loi de
et calculer son esp´erance.
c) Calculer la covariance de
et de
. Pouvait-on pr´evoir le signe de cette covariance?
3) On suppose `a nouveau que
est un entier quelconque sup´erieur ou ´egal `a
.
1/3
a) D´enombrer les parties de l’ensemble
distinctes de
.
b) En d´eduire
P
.
c) Montrer de mˆeme que, pour tout entier
de
,
o
n
a
:
P
d) Donner la valeur de E
sous forme d’une somme.
e) En d´eduire E
et sa limite quand
tend vers l’infini.
Partie 3 : Nombre de sous-suites croissantes
´
Etant donn´e une permutation
de
, si sa deuxi`eme sous-suite croissante existe et ne se termine pas
par
,
o
n
d
´efinit la troisi`eme sous-suite croissante `a l’instar de la deuxi`eme, etc., jusqu’`a ce que l’on ait d´efini une sous-suite
croissante se terminant par
.
Soit
la variable al´eatoire d´efinie sur
P
qui, `a toute permutation
, associe le nombre de ses sous-suites croissantes.
Par exemple, si
et
, comme les sous-suites croissantes sont
,
et
,
o
n
a
:
.
1)
a) Donner la loi de
dans le cas o`u
vaut
. Calculer son esp´erance et sa variance.
b) Donner la loi de
dans le cas o`u
vaut
. Calculer son esp´erance et sa variance.
2) On suppose d´esormais l’entier
sup´erieur ou ´egal `a
.
a) Calculer
P
et
P
.
b) Comparer les ´ev´enements
et
.
E
n
d
´eduire la valeur de
P
.
c) Donner la loi de
dans le cas o`u
vaut
. Calculer son esp´erance et sa variance.
3) Pour tout entier
de
,
s
o
i
t
l’´ev´enement ´egal `a l’ensemble des permutations
v´erifiant
,
e
t
s
o
i
t
la variable al´eatoire qui, `a toute permutation
, associe
si
et
sinon.
a) Montrer que
suit la loi de Bernoulli de param`etre
Donner son esp´erance et sa variance.
b) Donner une expression de
en fonction de
.
E
n
d
´eduire l’´egalit´
e
:
E
c) Montrer que l’on a :
P
En d´eduire la valeur de Cov
d) Montrer que, pour tout couple
d’entiers v´erifiant
,
l
e
s
´ev´enements
et
sont
ind´ependants.
En d´eduire l’´egalit´
e
:
C
o
v
.
e)
´
Etablir enfin l’´egalit´
e
:
V
4) On suppose maintenant que
est ´egal `a
. On consid`ere
variables al´eatoires
, mutuellement ind´ependantes,
de mˆeme loi que la variable
et on note
la variable al´eatoire ´egale `a
.
On note
la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite et on donne la valeur approch´ee suivante :
.
Calculer une valeur approch´ee de la probabilit´e
P
.
Partie 4 : Simulation informatique
Dans le langage informatique PASCAL, la fonction
random
renvoie, pour un argument
de type
integer
v´erifiant
,
u
n
nombre entier al´eatoire compris entre
et
(cette fonction est initialis´ee au d´ebut du corps principal du programme par la
proc´edure
randomize
).
On rappelle que, dans l’ex´ecution d’une boucle
for
i
:=
n
downto
2,
i
prend successivement les valeurs
.
Dans un programme ´ecrit en PASCAL, figurent la d´eclaration
type
tableau
=
array
of integer;
et la proc´edure:
procedure
aleatoire
(
var
A:tableau
);
var
aux,i,alea :
integer
;
begin
for
i:=1
to
5
do
A[i]:=i;
for
i:=5
downto
2
do begin
2/3
alea:=
random
(i)+1;
aux:=A[alea];
A[alea]:=A[i];
A[i]:=aux;
end
end
;
1)
a) On suppose que les valeurs successives de
alea
sont
et
. Donner les valeurs de
A[1], A[2], A[3],
A[4]
et
A[5]
`
a
l
a
fi
n
d
e
l
e
x
´
e
c
u
t
i
o
n
d
e
l
a
p
r
o
c
´edure.
b) Quelles valeurs successives doit prendre
alea
pour obtenir, `
a
l
a
fi
n
d
e
l
e
x
´ecution de la proc´edure le tableau :
A[1]=3, A[2]=5, A[3]=2, A[4]=4, A[5]=1
?
c) Expliquer pourquoi la proc´edure ci-dessus permet de simuler l’exp´erience al´eatoire d´efinie au d´ebut du probl`eme.
2)
´
Ecrire une fonction d’en-tˆete
function
T(A:tableau):
integer
; quirenvoie le nombre de sous-suites croissantes du
tableau
A
correspondant `a une permutation de
.
3) On suppose que le programme contient les d´eclarations
var
A:tableau;
var
k:
integer
;
var
S:
real
; et que le corps
principal du programme est le suivant :
begin
randomize
;
S:=0;
for
k:=1
to
1000
do begin
aleatoire(A);
S:=S+T(A);
end
;
S:=S/1000;
writeln
(S);
end
.
Apr`es ex´ecution du programme la valeur affich´ee de
S
est
.
C
e
r
´esultat est-il ´etonnant?
3/3
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