HEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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HEC 2001, math2, option scientifiqueL’objet du probl`eme est l’´etude de quelques aspects de la th´eorie classique du risque dont lecontexte et les notations sont introduits au fur et a` mesure.∗Dans tout le probl`eme, on consid`ere deux suites de variables al´eatoires r´eelles (Δ ) etn n∈N∗(C ) , d´efinies sur un mˆeme espace probabilis´e (Ω,B,P), v´erifiant les conditions suivantesn n∈Ni) les variables al´eatoires Δ ,Δ ,...,Δ ,...,C ,...,C ... sont ind´ependantes,1 2 n 1 nii) les variables al´eatoires Δ ,Δ ,...,Δ ,... sont strictement positives et ont toutes la mˆeme1 2 ndensit´e ´egale sur ]0,+∞[ a` la densit´e d’une variable al´eatoire exponentielle d’esp´erance ´egale a` 1,iii) les variables al´eatoiresC ,C ,...,C ,... ont toutes la mˆeme densit´e qu’une variable al´eatoire1 2 nexponentielle d’esp´erance ´egale a` c.On poseT = 0 et, pour tout entier natureln non nul, on noteT la variable al´eatoire d´efinie par0 nnXT = Δn ii=1On observera que la suite (T ) est strictement croissante et que, pour tout entier naturel n,n n∈Non a l’´egalit´e : Δ =T −T .n+1 n+1 nOn notera E(X) l’esp´erance d’une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,B,P).´Partie I : Etude d’une variable al´eatoire1) Pour tout entier natureln, d´eterminer l’esp´erance et la variance de la variable al´eatoireT .n2) Soit t un r´eel positif ou nul.a) Pour tout entier naturel n strictement sup´erieur `a t, justifier l’inclusion entre ´ev´enements :[T n−t]n n`b)A l’aide de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2001, math2, option scientifique Lobjetduprobl`emeestl´etudedequelquesaspectsdelathe´orieclassiquedurisquedontle contexteetlesnotationssontintroduitsaufuret`amesure. Danstoutleprobl`eme,onconsid`eredeuxsuitesdevariablesal´eatoiresre´elles(Δn)nNet (Cn)nNseemecapborplibaed´esnirusuˆenmis,´e(Ω,B, Panivsunssteinaltseocdntioi),v´er i)lesvariablesale´atoiresΔ1,Δ2, . . . ,Δn, . . . , C1, . . . , Cn. . .s,teepe´nadnnosdnit ii)lesvariablesal´eatoiresΔ1,Δ2, . . . ,Δn, . . .sontstrictementteouttonetesivitsopeˆemlsma densite´´egalesur]0,+nepoexreedllientare´pselage´ecnensialadunet´edbaelavirtaiolae´e`a[1`, iii)lesvariablesal´eatoiresC1, C2, . . . , Cn, . . .ttnoetuomalsemeˆenavuqutie´edsnoire´eatlealriab exponentielledesp´erancee´gale`ac. On poseT0= 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, on noteTnrapiirataoreeaabl´lien´aevedl n X Tn= Δi i=1 On observera que la suite (Tn)nNest strictement croissante et que, pour tout entier natureln, onal´egalite´:Δn+1=Tn+1Tn. On noteraE(Xetoirl´ealbaeraainuveecdanerp´esl)Xenid´ruseΩ(,B, P). ´ PartieI:Etudedunevariableal´eatoire 1)Pour tout entier natureln,d´eterirepse´arcnimenlrenciaeledtleearav´laeotaeravalbaiTn. 2)Soittunr.nuluitofopise´le a)Pour tout entier naturelnemtnus´preeirua`etcirtst,justierlincloisutnene´erne´venem:ts [Tn< t][|Tnn|>nt] ` b)Aldelaidegaliin´eeiBede´tT-e´myanheycebchedd´env,murlelidereuivalaP([Tn< t]). n++\ c)[nete´´vnemeirequelEnd´eduTk< t.ellune´tilibaobprdest]e k=1 ´ 3)Soitt´nno´nuee´letnemnadt.tEnuluitofposi´eelunrωde Ω, on noteN(t)(ω) le plus grand´el´ementdelensemble{nN/Tn(ω)6t}(qui contient 0) si cet ensemble est fini, et N(t)(ω) = 0 sinon. On observera que, pour tout entier naturelnnon nul,N(ta`lage´tse)nsi et seulement si : Tn6t < Tn+1. Montrer que l’applicationN(tiravelbase)enuttaiolae´eeller´rriaev´ent: P([N(t) = 0]) =P([T1> t]) . 4)a)Pour tout entier naturelndiolvaleairaaelbeal´irtoennounl,reconnaˆıtrelaTn. b)SoittleaturierntentrtouuoP.fitisoptnemectristel´enruntsi,lujnounnt´lie:lerga´e nZ X kt tn te (tu) t u 1 =+ ee du k!n! 0 k=0 n X kt te Ende´duirel´egalite´:P([N(t)6n]) = k! k=0 c)uortuotrPe´letounuitifconnl,reepsoiaareableal´irtotıˆaalerdiolvaleN(t). ´ PartieII:Etudedelaprobabilit´edˆetreende´citapre`slepremieroulesecondsinistre Danscettepartieonconsid`eredeuxre´elsaetr,rlottu´reeitisoptnruop,teftsanet´meteictr N(t) X positift, on noteKa(t)lave´:latirlpaeg´´eedienae´lriotairaaelbKa(t) =a+rtCien i=1 N(t) X convenant que la sommeCiest nulle lorsqueN(t) est nul. i=1
En particulier,Ka(T0) =Ka(0) =aet, pour tout entier naturelnnon nul, puisqueN(Tn) =n, n X Ka(Tn) =a+rTnCi i=1 Par exemple,Ka(t)al´eatoicapital(spera)tumeporaurtneselreertie´rptd’une compagnie dassurancedisposantduncapitalinitial(demontanta´eventuellementne´gatif),percevantdes primes(demontant´egal`arcivsemitsedssiniestrparunit´eedetpm)se,itdnmenisantdesassur´e decoˆutsal´eatoires(lesCim-selles´lasemeˆesirtoeaes(l)usant`rvendateadesTi). Dans cette partie,el´reelablial´ea,l´earave´attnxotaeeriKa(tmpleussieeplnot´)aresemtn K(t). 1)a)sienedunerinrmte´tilibaborpede´ttoeaeirlDedee´ravalbai´laerΔ1. b)it´edeprobabilittereimenurenedsnD´e´f, continue surRaravel,dl´eabliarieaeot L1=C1rΔ1. c)nd´eEeleduirionape´titroitcrednelndonafrexpiossFde la variableL1e´agil´tupsile: r a  1siexp( )a60 c+r r P[K(T1)<0] = ca exp( )sia >0 c+r c 2)On poseL2=C2rΔ2tenodie`ocsnfoncrelationga`tnaicoee´rtuotlassxeer´lel g(x) =P([L16x][L1+L26a]) a)Pourtoutr´eelh´esalitn´egrtsetcitnemisopf,tistjuerisile g(x+h)g(x)>P([x < L16x+h])P([L26axh]) et g(x+h)g(x)6P([x < L16x+h])P([L2< ax]) b)ncfoontieqirlaueEdne´udgubsaevtiiao`redltsere´rdRtrourtouel´ep,cevax, 0 g(x) =f(x)F(ax). d 0 On admetquegstd´evireelbarusRou,pourt´etrelcevax,g(x) =f(x)F(ax). 3)a)Prouverl´eet´liga P([L16a][L1+L26a]) =limP([n < L16a][L1+L26a]) n+b)´ddenEligae:t´reui´elZ a P([L16a][L1+L26a]) =f(x)F(ax) dx −∞ ´ c)ea´t:lsbriel´sgelatEi Z a P([K(T1)<0][K(T2)<0]) = 1f(x)F(ax) dx −∞ et Z a P([K(T1)<0][K(T2)<0]) =P([L1> a]) +f(x)P([L2> ax]) dx −∞ 4)Elensdae,irdu´endga´et´liecaso`uaestunr´eeplsotifiuoun,ll    c arca P([K(T1)<0][K(T2)<0]) =1 ++ exp 2 c+r c+r(c+r)c
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