HEC 2001 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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Concours HEC 2001 option conomiqueMathmatiques IIIExercice 1On note m un paramtre rel et on considre les matrices H dfinies parm −1−m m 2 H = −m 1 mm−2 m 3−m3 3On note h l’endomorphisme de R ayant pour matrice H dans la base canonique de R .m m1. On suppose dans cette question que m = 2.(a) Dterminer les valeurs propres de la matrice H et les sous-espaces propres associs.2(b) La matrice H est-elle diagonalisable? Si oui, donner une base de vecteurs propres.2´2. Etudier de mˆeme les valeurs propres et les sous-espaces propres de H . Cette matrice est-elle diagonali-0sable?3. (a) Montrer qu’il existe un rel a, qu’on dterminera, qui est valeur propre dela matrice H pour toutesmles valeurs du paramtre m.(b) Dterminer, pour chaque valeur de m, le sous-espace propre associ la valeur propre a. Montrer qu’onpeut trouver un vecteur non nul v appartenant tous ces sous-espaces.134. Soit F le sous-espace de R engendr par les vecteurs v = (1,0,1) et v = (1,1,0).2 3Dterminer les vecteurs h (v ) et h (v ) et montrer que ces vecteurs appartiennent F pour tout m rel.m 2 m 335. En se placant dans la base deR forme des vecteursv ,v etv , dterminer les valeurs dem pour lesquelles1 2 3la matrice H est diagonalisable.mExercice 2.On ralise une suite de lancers indpendants d’une pice de monnaie quilibre. On associe cette exprience une suite(X ) de variables alatoires indpendantes, dfinies sur un espace probabilis (Ω,A,P) et suivant toutes la loin n≥11de Bernoulli de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Concours HEC 2001 option conomique Mathmatiques III Exercice 1 On notemun paramtre rel et on considre les matricesHmdfinies par   1m m2   Hm=m1m 2m3m 3 3 On notehml’endomorphisme deRayant pour matriceHmdans la base canonique deR. 1. Onsuppose dans cette question quem= 2. (a) Dterminerles valeurs propres de la matriceH2et les sous-espaces propres associs. (b) LamatriceH2? Si oui, donner une base de vecteurs propres.est-elle diagonalisable ´ 2.Etudierdemeˆmelesvaleurspropresetlessous-espacespropresdeH0. Cette matrice est-elle diagonali-sable ? 3. (a)Montrer qu’il existe un rela, qu’on dterminera, qui est valeur propre dela matriceHmpour toutes les valeurs du paramtrem. (b) Dterminer,pour chaque valeur dem, le sous-espace propre associla valeur proprea. Montrer qu’on peut trouver un vecteur non nulv1appartenant tousces sous-espaces. 3 4. SoitFle sous-espace deRengendr par les vecteursv2= (1,0,1) etv3= (1,1,0). Dterminer les vecteurshm(v2) ethm(v3) et montrer que ces vecteurs appartiennentFpour toutmrel. 3 5. Ense placant dans la base deRforme des vecteursv1,v2etv3, dterminer les valeurs dempour lesquelles la matriceHmest diagonalisable. Exercice 2. On ralise une suite de lancers indpendants d’une pice de monnaie quilibre. On associecette exprience une suite (Xn)n1de variables alatoires indpendantes, dfinies sur un espace probabilis (Ω,A,P) et suivant toutes la loi 1 de Bernoulli de paramtre. 2 Pour tout entiern1, on posesuprieur ou galSn=X1+∙ ∙ ∙+Xn. Notation: SiZest une variable alatoire dfinie sur (Ω,A,P), on noteE(Z) son esprance. N.B. La partie II peut tre traite indpendamment de la partie I. Partie I. Prliminaire 1. (a)Dterminer la loi de probabilit de la variableSn. (b) Quellessont l’esprance et la variance deSn? 2. (a)Montrer que pour tout relεstrictement positif, on peut trouver une constanteKεtelle que, pour tout entiernsuprieur ougal 1,on ait l’ingalit :   Sn1Kε P− ≥εn2n
1 (b) Dduirede la majoration obtenue que, pour tout relrvrifiant 0< r <, on a : 2   Sn1 1 limP− ≥= 0 r n+n2n 3. Montrerd’autre part,l’aide du thorme de la limite centre, que la suite dfinie pourn1suprieur ou gal   Sn1 1 parnP>admet une limite non nulle   n2n   Sn1 L’objet de la suite de l’exrecice est l’tude d’une majoration de la probabilitP− ≥εmeilleure que la   n2 majoration obtenuela question 2.a. ´ Partie II. Etude de fonctions   x e+ 1 On considre la fonctionfdfinie surRparf(x) = ln. 2
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´ 1. (a)Etudier les variations def. (b) Montrerqu’il existe des relsαetβ, que l’on dterminera, tels que : lim (f(x)(αx+β)) = 0 x+
0 0 (c) Montrerde mme qu’il existe des relsαetβtels que : 0 0 lim (f(x)(α x+β)) = 0 x→−∞ 2. Soitaun rel vrifiant 0< a <1 et soitϕala fonction dfinie surRpar xR, ϕa(x) =f(x)ax
´ 0 (a) Etudierles variations de la fonctionϕaet prciser les valeurs deϕa(0) et deϕ(0). Montrer que la a fonctionϕaatteint un minimum en un unique pointxadeRdont on donnera l’expression en fonction dea. ´ 1 (b) Etudierle signe dexasuivant les valeurs dea. Montrer que, pour tout relavrifianta6on a := , 2 ϕa(xa) e <1
ϕa(xa) Dans toute la suite, pour tout rel a vrifiant0< a <1, on poseha=e Sn ´ Partie III. Etude de l’cart desa moyenne n 1. Montrerque siZest une variable alatoire prenant un nombre fini de valeurs relles positivesz1, . . . , zr, on a la majorationP(Z1)E(Z). uSn 2. Calculer,pour tout reluet tout entiernsuprieur ou gal1, l’espranceE(e). En dduire que, pour tout entiern1, sisuprieur ou galaest un rel vrifiant 0< a <1 ettun rel quelconque, on a :   t Sna t (na)n E e=e
1 3.On suppose dans cette question queaest un rel vrifiant< a <1. 2 (a) Montrerque, pour tout reltstrictement positif et tout entiernsuprieur ou gal1, on a l’ingalit :  t Sna( ) Pa0e n n
(b) Endonnantt, dans l’ingalit prcdente, une valeur convenablement choisie, tablir, pour tout entiern suprieurt ou gal1, l’ingalit :   Sn n Pa(ha) n 1 1 4. Soitεun rel vrifiant 0< ε <; on posea= +ε. 2 2 (a) Comparer,pour tout entiern1, les lois de probabilit des variables alatoiressuprieur ou galSnet nSn. En dduire l’galit :    SnSn Pa=P1a n n puis la majoration :   1 Sn n P− ≥ε2(ha)   n2 En quoi cette majoration peut-elle tre considre, pourεstrictement positif fix, comme meillleure que celle de la question I.2.a?
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` (b) Al’aidede l’expression dexatrouve laquestion II.2.a, tablir l’galit   1 1 ϕa(xa) =( +ε) ln(1 + 2ε) + (ε) ln(12ε) 2 2
2 2 5. (a)En dduire qu’on a :ϕ(x) =2ε+o(ε), quandεtend vers 0. 1 1 +ε+ε 2 2 (b) Montrerqu’on peut retrouver ainsi la limite obtenue en I.2.b. ´ Partie IV. Etude d’un algorithme On se propose d’illustrer cet exercice par une simulation. On considre pour cela le programme Turbo-Pascal nommSimulationet reproduit ci-dessous, dans lequelRANDOM(100)dsigne un nombre entier tir au hasard par l’ordinanteur, avec la loi uniforme, dans l’intervalle [0,99] (la procdureRANDOMIZEsert initialiserla fonction RANDOM). 1. Quefait la procdureEPde ce programme? 2. Quelsnombres entiers sont comptabiliss dans les variablesU,VetWla fin de ce programme? 3. Dequels nombres les valeursP1,P2etP3fournies par le programme sont-elles des estimations? ` 4. Aquoi peut-on s’attendre pour la valeur deP1? PROGRAM Simulation; VAR n,K,U,V,W,i,j,X :integer; S :real; CONST nombredelancers=20000 ; nombredessais=2000 ; PROCEDURE EP(n :integer); begin S :=0; for i :=1 to n do begin X :=RANDOM(100); if X>49 then S :=S+1; end ; end ; BEGIN RANDOMIZE ; n :=nombredelancers; K :=nombredessais; U :=0; V :=0; W :=0; for j :=1 to K do begin EP(n) ; if abs(S/n-0.5)>exp((-0.4)*ln(n)) then U :=U+1; if abs(S/n-0.5)>exp((-0.5)*ln(n)) then V :=V+1; if abs(S/n-0.5)>exp((-0.9)*ln(n)) then W :=W+1; end ; writeln(’P1=’,U/K) ; writeln(’P2=’,V/K) ; writeln(’P3=’,W/K) ; END.
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