HEC 2002 mathematiques i classe prepa hec (s)

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HEC 2002. Math 1, option scientifique.Le sujet ci-dessous vise a` faire comprendre comment deux concurrents aux int´erˆets antagonistes,ne parvenant pas a` fixer conjointement les strat´egies de l’un et l’autre, conviennent de les tirerau sort avec des probabilit´es bien d´etermin´ees.Notations :Dans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels non nuls fix´es et on pose :E =M (R); on d´efinit de mˆeme E .n n,1 p   x1 n X. .On noteK l’ensemble X = ∈E ,x ≥ 0,...,x ≥ 0, x = 1 ; on d´efinit de mˆemen n 1 n i. i=1xnK .pLes espaces E et E , sont munis de leur structure euclidienne canonique; la norme euclidiennen pd’un vecteur X de E est not´ee ||X||; le produit scalaire de deux vecteurs X et Y de E est not´en nhX,Yi; on adopte la mˆeme notation pour les vecteurs de E .pEnfin, si k est un entier naturel non nul et, si (z ) est une famille finie de r´eels, on notei 1≤i<≤kmax z ou maxz (respectivement min z ou minz ) son plus grand (respectivement son plusi i i i1≤i≤n i 1≤i≤n ipetit) ´el´ement.Plus g´en´eralement, si f est une fonction d´efinie sur un ensemble A, `a valeurs dansR, admettantun maximum (respectivement un minimum) sur A, on note maxf(x), (respectivement minf(x)x∈A x∈Ace maximum, (respectivement ce minimum).Partie I : Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petitsSoit A = (a )1≤i≤n une matrice appartenant a M (R)i,j n,p1≤j≤pOn note u(A) = min ( max a ) et v(A) = max ( min a ). Pour simplifier les notations, ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2002. Math 1, option scientifique.
Lesujetci-dessousvisea`fairecomprendrecommentdeuxconcurrentsauxinte´rˆetsantagonistes, neparvenantpas`axerconjointementlesstrate´giesdelunetlautre,conviennentdelestirer ausortavecdesprobabilite´sbiende´termin´ees. Notations : Danstoutleproble`menetpse´dengisepoonet:erslonnnlus´xsentdesentiersnatu En=Mn,1(R)´dno;medtineˆemeEp.    x 1n   X   On noteKnl’ensembleX=En, x10, . . . , xn0, xi= 1tdemˆemeno´dein; .   i=1 xn Kp. Les espacesEnetEp; la norme euclidienne, sont munis de leur structure euclidienne canonique d’un vecteurXdeEneet´tsone||X||; le produit scalaire de deux vecteursXetYdeEnetson´te hX, Yidonaelptˆeamnomeitatopnoelrucevsdseetruo;Ep. Enfin, sikest un entier naturel non nul et, si(zi)1i<kefunsteeied´reemalielnels,onnot maxzioumaxzi(respectivementminziouminzi) son plus grand (respectivement son plus 1in i1in i petit)´ele´ment. Plusg´en´eralement,sifsnmelbeiond´eniesurunetsefenutcnoA`,valauesnadsrR, admettant un maximum (respectivement un minimum) surA, on notemaxf(x), (respectivementminf(x) x∈Ax∈A ce maximum, (respectivement ce minimum).
Partie I :Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits SoitA= (ai,jmatrice appartenant a) uneMn,p(R) 1in 1jp On noteu(Amin ( max) =ai,j) etv(Amax ( min) =ai,j). Pour simplifier les notations, on 1in1jp1jp1in pourra´ecrirecesexpressions:u(Amax) = minai,jetv(A) = maxminai,j. i jj i     –1 6–2 –2 3   1)Calculeru(A) etv(A) dans les deux cas suivants :A= ;A1 0 .= 0 1 –1 –2 3–1 2)vernOula`on´ersg´eaucaientA∈ Mn,p(R). Pour toutj0∈ {1, . . . , p}et touti0∈ {1, . . . , n}, on poses= minaett= maxa. j0i,j0i0i0,j i j a)Montrer questpour toutj∈ {1, . . . , p}et touti∈ {1, . . . , n}. j0i00 0 b)ireq´eduEndeuv(A)u(A). 3)nieecritenTogramme´acolan´druobP-salensdaueeqosppsurpnudelubmae´rpnO 1)deuxconstantesentie`res:netp, 2) un type :;matrice = array[l..n,l..p] of real ´ a)Ecrire le corps de la fonction; i : integer) : real;function Maxligne (A :matrice cettefonctiondoitretournerleplusgrande´le´mentdelaligneide la matriceA`--aetsredci, la valeur maxA[i, j]. j ´ b)Ecrire le corps de la fonctionfunction MinMax(A :matrice) :real;cette fonction doit retourner la valeuru(A)nie,d´eointiauseliafrlctonsulptuahpno;rruoMax ligne.
Partie II :Le minimum des maxima et le maximum des minima   –2 3 1)ectairDnaonsi.Oncelamd`erute´ueidexenelpmetscqutetiesononAet pour= , 1 –1    x y 2 t tout (x, y)[0,on pose1] ,X= etY= puish(x, y) =XAY. 1x1y
a)Calculerh(x, y) en fonction dexety. b)ivsuerinrmte´eDedsruelavseltnax[0,1], le maximum de la fonctiony7→h(x, y) sur [0,1ce];naree´toixamsmumλ(x). c)´eterminDruiminumrealaveledmλ(x) lorsquex[0itcr´ed,uesrvelatoe´renaettCe].1α(A), t t elleestdonce´gale`amin(maxXAYmax), qu’on note plus simplement minXAY,e´attn XK2YK2X Y entendu queXetYd´ecriventK2. t d)raPmenuhte´eaodlonae,guntmoeixerlrecedtsneβ(A) = maxminXAYet donner sa Y X valeur. Dans la suite de cette partie,A= (ai,j)trmae.icgnsineeu`tnaaappanetrde´Mn,p(R). 1in 1jp t Ond´enitlafonctionfsurKn×Kppar :(X, Y)Kn×Kp, f(X, Y) =XAY   x 1n X   Pour toutj∈ {1, . . . , p}et toutX=Kn, on poseϕj(X) =ai,jxi, puis . i=1 xn λ(X) =maxϕj(X). 1jp 2)idnscoOnedfse`eroisnnotcg1, . . . , gpnied´eesnursutcsetionKndsrusnaa`,elavR. a)On poseh= max(g1, g2se-ta`d-,)cendioctonafelirKndansRrapeine´d:   h(x) = maxg1(x), g2(x) . g1+g2+|g1g2| Ve´rierqueh=eend´etrequeduihest continue surKn. 2 b)Montrer que la fonctiong= max(g1, . . . , gp) est continue surKn,g´nate´etdienrsuKn   par :xKn, g(x) = maxg1(x), . . . , gp(x) . 3)entun´el´emesquteetscanDere`disnocnonoitXaappatrnena`tKn. a)Montrer que pour toutYKp, f(X, Y)λ(X). b)Montrer qu’il existeYXKptel quef(X, YX) =λ(X). c)duirnd´eonpeequoptu:resEλ(Xmax) =f(X, Y). YKp 4)a)Montrer queKnrn´e.etsob (euq,emel`obprduteuiasrlOnadmetpouKnpenutsedem´eeeferartiEn) b)Montrer queλadmet un minimum surKn.   t Ceminimumestnot´eα(A)acne´ag`ltilestdoemin maxXAY, qu’on note plus XKnYKp t simplementmin maxXAY X Y   t Onmontreraitdemanie`reanaloguequelenombremax minXAYexiste. Il est note YKpXKn t β(A)etonl´ecritplsuispmelemtnmax minXAY. Y X 0 0 5)a)Soit (YX ,nat)`arappanetKn×Kp. Montrer queminf(X, Y)λ(X). XKn b):eriuedd´Enβ(A)α(A). 6)On dit qu’une partie non videCdeEpest convexe lorsque : 2 (X, Y)∈ C,m[0,1], mY+ (1m)X∈ C Onconsid`eredanscettequestionunepartieCdeEpvexeconontedivn.eer,feem´or,been´ a)Montrer qu’il existeW∈ C, tel que :Y∈ C,||W|| ≤ ||Y||. b)SoitYetrappaa`tnanC, on pose pour toutm[0,1] :Ym= (1m)W+mY. 2m m 2 2 Montrer que :m]0,1[,hW, Yi ≥||W|||| −Y||. 2(1m) 2(1m) t On rappelle. quehW, Yi)(=W Y)alacderidorpstiuesigneleed´WetY. 2 :eque´endirduEhW, Yi ≥ ||W||. 7)onconsid`erelenesbmel:aDsnqeeuectttjneiostal`quustecednaeitrapet   t C=m AX+ (1m)Y, XKn, YKp, m[0,1] 2
a)Montrer queKnest une partie convexeEn. b)Montrer queCeparstunonvetiecobnrexteeee´deEp. On admet pour la suite queCdeeeiefmre´neturtpaesEp. 8)veleuqnoitseuqettiarpplanuurteecane`tedanscetOnsupposC. t a)Montrer qu’il existeX0Kn, Y0Kpetunr´eelµ0 tels que :AX0=µY0. t b)iseldenge´eDrmteerinX0AYpour toutYKp. c)nireetmrngdeeliseD´eα(A). 9)oitseuqeoppusnonttcensDatientpaslnapparceetruunesuqlevea`C. a)net´euneml´exilteisertnuqroMW∈ Ctel que : t t m[0,1],XKn,YKp, XAW+ (1m)>Y W0 b)On notew1, . . . , wpooscleeen´onrdedsWdans la base canonique deEp. Montrer quewi>0 pour touti∈ {l, . . . , p}. t c)Montrer que :XKn, XAW>0. 0t0 d)Montrer qu’il existe un vecteurWKptel que :XKn, XAW >0. e)Montrer queβ(A)>0. 10)rtameciitla´enOndB∈ Mn,p(R) parB=Aβ(A)Jou`Jirecpaapseltmataartenant` Mn,p(R.a1)ssnoemtnua`x´tgetousdontel´eles´ a)uelavselsr´eDerinrmteα(B) etβ(B) en fonction deα(A) etβ(A). b)´rpse´cetneduqseirduesedesquontiDe´eα(A) =β(A).
Partie III :Point-selle et point critique Dans cette partie,Acedeunematriotjuuosr´dsegienMn,p(R) et on rappelle que pour tout (X, Y) t appartenant`aKn×Kp:f(X, Y) =XAY. On dit que le couple(X0, Y0)`araetantnappKn×Kpest un point-selle pourf, lorsque : (X, Y)Kn×Kp, f(X0, Y)f(X0, Y0)f(X, Y0)
1)Montrer qu’il existe un point-selle pourfet que si (X0, Y0) en est un, alorsf(X0, Y0) =α(A).   a b 2 2)releis`direcmataller´eeonncOAitnoitlafonctoned=´engsurRpar : c d   2y (x, y)R, g(x, y) = (x1x)A 1y ∂g ∂g 2 On appelle point critique degtout couple (u, v)Rtel que(u, v) =(u, v) = 0. ∂x ∂y a)Montrer quegadmet un unique point critique (x0, y0) si et seulement sia+dbc6= 0. De´terminerdanscecas(x0, y0). b)On supposeabetdcquementgalesnountnoeemtnmeˆidgeese´esoppusnotesluac etdbemismeeˆnodtsustolsnueegnontn. 2 Montrer que dans ce casgadmet un unique point critique (x0, y0) et que (x0, y0)[0,1] . 2 Montrer que :(x, y)R, g(x, y) =g(x0, y0) + (xx0)(yy0)(a+dbc). On pourra introduire les notations suivantes :       x yx0y0 X= ,Y= ,X0= ,Y0= ,U=XX0,V=YY0, 1x1y1x01y0 et on exprimerag(x, y)`alaiededU, V, A, X0etY0.    x0y0 reuiequEnedd´,est un point-selle pour l’applicationfe´dein 1x01y0 surK2×K2par : t (X, Y)K2×K2, f(X, Y) =XAY Quelle est la valeur deα(A) ?
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