HEC 2002 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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HEC 2002, math IILes variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont toutes d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,B,P) et a` valeurs r´eelles.L’esp´erance d’une variable al´eatoire X est not´ee E(X).On admet les r´esultats suivants :i) si X et Y sont deux variables al´eatoires poss´edant une esp´erance et v´erifiant l’in´egalit´eX 6 Y c’est-`a-dire v´erifiant X(ω) 6 Y(ω) pour tout ´el´ement ω de Ω ) alors on a l’in´egalit´e :E(X)6E(Y).´ii) Etant donn´e une fonction f continue sur [0,+∞[ et une variable al´eatoire Y poss´edant uneZ +∞densit´e ϕ continue sur [0,+∞[ et nulle sur ]−∞,0[, si l’int´egrale f(u)ϕ(u)du converge0absolument alors la variable al´eatoire f(Y) poss`ede une esp´erance v´erifiant :Z +∞E f(Y) = f(u)ϕ(u)du0Partie I : D´efinition de l’application LOn note E l’ensemble des fonctions f r´eelles d´efinies, continues sur [0,+∞[ et telles que, pourZ +∞−xttout r´eel x strictement positif, l’int´egrale e f(t)dt converge absolument.01)a)V´erifier que E est un espace vectoriel r´eel.b)V´erifier que E contient les fonctions continues et born´ees sur [0,+∞[.2) Pour tout ´el´ement f de E on note L(f) la fonction d´efinie, pour tout r´eel x strictementpositif, par :Z +∞−xtL(f)(x) = e f(t)dt0a) V´erifier que L est une application lin´eaire de E dans l’espace vectoriel des fonctions de]0,+∞[ dansR.−λtb) Pour tout r´eel λ positif ou nul, on note ε la fonction r´eelle d´efinie par ε (t) = e pourλ λtout r´eelt positif ou nul. ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2002, math II Lesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceprobl`emesonttoutesde´niessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,B, Pleel.selrurse´ava`te) Lesp´erancedunevariableale´atoireXe´eesottnE(X). Onadmetlesre´sultatssuivants: i) siXetYre´pecna´vteireosspeds´tuanesneantlin´egalit´eravxuedtnosreoiat´ealesblia X6Ycets`--aideranierv´tX(ω)6Y(ωotruop)me´le´tuentωe´aglni:eil´tdeΩ)sonaalor E(X)6E(Y). ´ ii)Etantdonne´unefonctionfcontinue sur [0,+evariabl[etuneriotae´laeYssopeunntda´e Z +densit´eϕcontinue sur [0,+[ et nulle sur ]− ∞,sil0[,egraint´elf(u)ϕ(u) duconverge 0 absolumentalorslavariableal´eatoiref(Yceanerv´anit:)pso`sdeueense´pre Z +  E f(Y) =f(u)ϕ(u) du 0 PartieI:D´enitiondelapplicationL On noteEel0[rtincfoesedblemnsllse´denofs´reetinuessunies,con,+[ et telles que, pour Z +xt toutr´eelxenil,fitelarge´tteictrssipontmef(t) dtconverge absolument. 0 1)a)´eVeriuerqEtsesenuecaptcevorielr´eel. b)ireqreuV´eEcnoitne0us[res´ernboetesnutinocsnoitcnofselt,+[. 2)temen´el´toutoPrufdeEon noteL(fletruorte´ienou,pioct´endl)nofaxstrictement positif, par : Z +xt L(f)(xe) =f(t) dt 0 a)´VreiquereLdenetuplapese´nieriatacilnoiEdans l’espace vectoriel des fonctions de ]0,+[ dansR. λt b)lee´rtuotruoPλpositif ou nul, on noteελe´rnellee´dpeinarlafonctioελ(t) = epour toutr´eeltisitopul.Vfounerq´eritruop,eulee´rtuoλpositif ou nul, la fonctionελest dans Euotre´rtteuop,elxstrictement positif, calculerL(ελ)(x). c)ee´rtuotruop,euqertronMlλpositif ou nul et toute fonctionfdeE, la fonctionελfest aussi dansEeelv´etrei,eopruottu´rx:´el,fitisotilage´strictementpL(ελf)(x) =L(f)(x+λ). 1 3)euned`ertionfoncnoisOcnHntde´eme´elE, de classeCr[sueen´ortbeentsiasc,or0,+[. 0 Montrer que la fonctionHest aussi dansEluttoeer´e,topruxstrictement positif, justifier l´egalite´: 0 L(H)(x) =H(0) +xL(H)(x) 4)Soit une fonctionfnedteeml´´eE. Pour tout entier naturelnertneuqrofalitcnquonai`,mo n toutr´eeltpositif ou nul associet f(tsuatse)eentdl´emsi´eE. PartieII:D´erivabilit´edelafonctionL(f) Danstoutecettepartieonconside`reunr´eelxstrictement positif et une fonctionfnedt´lme´eeE. x 1)Soithr´eeunnulvlnont´lieire´tnanilage´|h|<. 2 a)ruottu´reelPottcitee´me:ntpositif,justierlin´etgsailr 2 2 h t (x+h)txtxtxt/2 ee +hte6e 2 b)uoPtr´ertouelTtnopetem,fujisittrics:e´tleristliga´ein Z  Z T(x+h)txt+ee|h| xt2xt/2 f(t) +tef(t) dt6t|f(t)|e dt h2 0 0
c)uired´edEnuqeL(frevits´dleaeb)enxuetqnnsoe´virneerbmoe´dexvaut : Z + 0 xt L(f) (x) =tf(t)e dt 0 d)Montrer que la fonctionL(fminee´niravdte´ur]0blesndties),+[ et, pour tout entier naturelkiaeddnuietne´rgalelavaleurdelade´ir´veedo,ernnl`ake-`imedeL(f) enx.
PartieIII:Injectivite´delapplicationL:f7→L(f) Danstoutecettepartieonconside`reunre´elxstrictement positif et une fonctionfcontinue et born´eesurlintervalle[0,+[. Ainsifdementel´e´tseE. 1)Soit (Xn)nNl´saleabrivadetenepe´dniseriotaeslteoialpoex-tsneaiduussneunaviuott 1 nentielledeparam`etre´egal`a(doncdespe´rancex). Pour tout entier natureln, on pose x n X Sn=Xk. k=1 a)neruDontae´eriobairlaelde´evaladeneitnsSn. Sn b)unoonetsntie´q,nerunedeDonraϕn.eriotae´laebliaaravel,d n 2)a)Soitαuioseivt.tfnroPpgeetleamlrrt´ci:eelsiutn´re´   Sn limPαx >= 0   n n+b)canoituntie´edalfonctionutEntlanisilfenxuotre´rtle,pouεstrictement positif, justifier lexistencedunre´elαstrictement positif tel que, pour tout entier naturelnnon nul, on a :      SnSn ff(x)> ε⊂ −x >α    n n c)Soitεtpenemct.Pifitosrnuirtslee´e:relorvuil´te´ag     Sn limP ff(x)> ε= 0 n n+3)On noteMun majorant de|f|sur [0,+[. a)SoitεtuotruoP.fitisopntmeteictrlseer´unltureernaentin, on noteAne´en´ventmle:     Sn An=ff(x)6ε n et1An:stae´erioeuslvriina´entegceJl.astuiiet´inadbilceastarlientresvoanri   Sn ff(x)6ε1An+ 2M(11An)   n b)nE:e´tgalil´euired´ed     Sn limE f=f(x) n+n 4)a)ga´et´lie:´eDduiredesquestionps´rcee´edtnsel Z n+n n1nt/x f(x) =limt f(t)e dt n n+(n1)!x 0 puisle´galite´ n n1    n(1)(n1)n f(x) =limL(f) n (n1)!x x n+b)Montrer que si deux fonctionsfetgtborn´eentinueseoc[0ellavretnilruss,+tenierv´[ L(f) =L(g) alorsfetg.alest´egson c)Muxfonctionse´sitnemeuq,edistron,perspluecr´fetgnoitunseteobnre´ceirlsuesllvaernt [0,+v[tneire´L(f)(x) =L(g)(x) seulement pour toutxdans ]a,+`oau([ifouositestp nul) alorsfetgcnetnos.esalege´or 2
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