HEC 2003 concours Maths 2 Option L

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HEC 2003 concours Maths 2 Option L

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
OPTION LETTRES ET SCIENCES HUMAINES
´ MATHEMATIQUES II
Mardi13mai2003,de8ha`12h.
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradu´eeestautoris´ee.
Leprobl`emeapourobjetle´tudedelarentabilite´du«surbooking»pourunecompgainaee´irneen.
PartieI:Expressiondelespe´ranceduchiredaaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Ntienuneiruuoe´reus´pretgal`a2,eptnemrtsletciunr´ee compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendun17q4velotucaiuepnteu`aceourlrospstellibeicuirllsqju`auNpassagers. Laprobabilit´epourquunacheteursepre´sentea`lembarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepr´esentepas`alembarquementestrembours´e`a80%,tandisquunacheteurquise pr´esente`alembarquementmaisnobtientpasdeplace,levol´etantde´ja`complet,estrembourse´`a200%. SoitXcaeherddsuetruletsnbilesenepr´la`tnateuqrabme,ntmelavabairlaeltae´erioesd´naiglentmbno soitYsiamtnmeuerqbaeml`antrivalaonelerbmgisetnanoiatd´releab´eal´rseneatlielstpeursdunbdachete n’obtenant pas de place et soitGonemnttaenriote´dengisltna´laelbaeraailvacentainesd’euros du chiffre daairedelacompagniesurlevolconside´r´e. Onsupposecesvariablesal´eatoiresd´eniessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deXnoD?p´erancenersonesnaec.teasavir 2.ou,pourtecr´eristnPle´teme´ωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. ´ 3.Ecrire l’expression deGen fonction den, X, Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, quenfnitseal`au´egeuro´eriN. Calculeralorslesp´eranceE(Gaelbae´lvaleaira)dtoireG. Lacompagniecherchealorsa`e´valuerlaprobabilit´eP([X>Nreet])ovria`asonbmiselnuraiaetretpuˆ choisidefac¸ona`optimisersonchiredaaire.
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Partie II : Approximations dans des cas particuliers Onreprend,danscettepartielesnotationsetlesd´enitionsdelaPartieI. 1.On suppose, dans cette question, quepl`a0est´ega,5. 2Xn ∗ ∗ a) SoitXedirn´el´eatoearavalbailr:paieX=√ ∙ n Donnerlespe´ranceetlavariancedelavariableale´atoireX. b) Parquelle loi approcher la loi deXsinestasszergna?doMtnerqrruelavenusrolaueeh´ocprap   n+ 12N delaprobabilite´P([X>N]) est Φ, n ou`Φde´signelafonctionder´epartitiondelaloinormalecentr´eer´eduite. x+ 12N c)Pourtoutre´elxreeiruuous´pnp,oe:osga´ea1l`f(x) =√ ∙ x Montrer que la fonctionfest croissante.    7 6 d) Onsuppose queNote023a`lage´tsednnoenΦ:√ ≈0,Φ609 ;√ ≈0,592 . 646 645 Quepeut-onend´eduirepourP([X>N]) sinrou´rieu`a64egalissiup,5fne´seitnurieer´pustse ou´egala`646? 2.Pour tout entier naturel non nulmid`erela,onconsofcnitnogm´deinuresRpar + m X k x x gm(x) =e k! k=0 m x ∗ 0 −x a)Montrerquelafonctionde´rive´edegm´dtesineruseRpar :g(x) =e+m m! m m ∗ −m0 Montrerquellev´erieladoubleine´galite´:xR,e6g(x)60 . +m m! b)Ende´duireque,siaetbtn0riasv´eo´neteldeuxsr< a < b, on a : m m m 06gm(a)gm(b)6(ba)e m! 3.On suppose, dans cette question, quepse´tgela0`a,99 et quenustnre´pcirtemeta`etisreusN. a)Pre´ciserlaloidelavariableale´atoirenX. b)Onsupposera,danslesprochainscalculs,quelaloidelavariableale´atoirenXeupetrteˆ remplace´eparlaloidePoissondeparam`etre0,01ndont on noteFrtpaioitndio´eernotclfa.n Que vaut alorsP([X>N]) ? c) Exprimerle nombreF(nNdedialacnofenuont`i)gmleqaredeoineutspai`ulicrt2. d) Onsuppose queN´tselage03a`.0 Pourtoutr´eelstrictementpositifα, on noteFαelafonctiodnree´aptrtioidnelaloidePoissond parame`treαet on donne : 3 3 3 F3(2)0,423 ;F3(3)0,647 ;e0,224 3! Montrer que, sin,02a3l`age´tseP([X>N´egal`a0s)teau]plus,5 et que, sin,l`ga03a3etse´ P([X>N]metcstnetse)irtsr`a0rieuup´e,6.
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