HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (s)

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HEC 2003. Math1 option scientifique.NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGEDans tout le probl`eme n et p d´esignent des entiers naturels sup´erieurs ou ´egaux `a 2 et on poseE =M (R).p p;1L’espace E est muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteurpx de E est not´ee jjxjj; le produit scalaire de deux vecteurs x et y de E est not´e hx;yi.p pSi u est un vecteur non nul appartenant `a E , D d´esigne la droite vectorielle engendr´ee par up uet si x est un vecteur de E , P (x) est le projet´e orthogonal de x sur la droite D .p D uu?Si F est un sous-espace vectoriel de E , le suppl´ementaire orthogonal de F dans E est not´e F .p pPour toute matrice A appartenant `aM (R) on note Φ l’application lin´eaire deM (R) dansm;‘ A ‘;1M (R) d´efinie par : 8X 2M (R); Φ (X)=AX.m;1 ‘;1 A⁄Pour tout r appartenant `aN et toute famille (u ) de vecteurs de E , Vect(u ;:::;u ) esti 16i6r p 1 rle sous-espace vectoriel de E engendr´e par les vecteurs u ;:::;u .p 1 rSi g est une fonction d´efinie sur un sous-espace vectoriel F de E et `a valeurs dansR, on d´esigneppar max g(x) ou maxfg(x);x2F et jjxjj=1g le maximum, lorsqu’il existe, de la fonction gx2Fjjxjj=1sur l’ensemble des vecteurs x de F dont la norme est ´egale `a 1.´Partie I: Etude d’un exempleDans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose que p = 2. On note (u ;u ) la base1 2canonique de E .21) On consid`ere les vecteurs v ;v et v appartenant `a E et dont les coordonn´ees ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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HEC 2003. Math1 option scientique. NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D’UN NUAGE Danstoutleproblemenetpagxuauesruoedetdengnsiertieneslerutansirepuss2et on pose Ep=Mp,1(R). L’espaceEpest muni de sa structure euclidienne canonique; la norme euclidienne d’un vecteur xdeEpeetnoste||x||; le produit scalaire de deux vecteursxetydeEponteesthx, yi. SiunetrappaatnateecnvtuulnnnourseEp,Durardnepeetcroeteveegneillesigddroinelau et sixest un vecteur deEp,PDu(x)ogonaldeeteorthtselrpjoexsur la droiteDu. SiFest un sous-espace vectoriel deEpthaoigoreemoerntepplnlaelsdu,FdansEpsenttoeF. Pour toute matriceAnetrappaatnaMm,`(R)on noteAderelaplpcitaoilnnieiaM`,1(R)dans Mm,1(R)diner:apeX∈ M`,1(R),A(X) =AX. Pour toutrapatnanetrapNet toute famille(ui)16i6rde vecteurs deEp,Vect(u1, . . . , ur)est le sous-espace vectoriel deEpsruetcedreenngveesrlpau1, . . . , ur. Signeidnesnuousurstunectioefonless-cepactveieorFdeEpteavaruelsdansRe,ondesign parmaxg(x)oumax{g(x);xFet||x||= 1}le maximum, lorsqu’il existe, de la fonctiong xF ||x||=1 sur l’ensemble des vecteursxdeFgaleamreetseodtnalon1. Partie I: Etude d’un exemple Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose quep= 2. On note(u1, u2)la base canonique deE2. 1)rcuoOsnetcevseleredisnv1, v2etv3rtenantapaapE2etdonseltroocnnodseensdabalase (u1, u2) sont respectivement (1,2),(3,1),(2,1). 0 Onconsidereunreelmet on note, pour toutiataptrapnane{1,2,3},vlarohtgonoprojetele i deviapeerdnegneelleritoecevitroadrlusru1+mu2. 020202 a)Calculer en fonction demauqlatitn:e||v||+||v||+||v||. 1 2 3 b)nerlavaleurDtereimm0demitntuaeqinteateuqalruopttecelleamixstnoecum;m maximumestnoteλ1. µ ¶ 1 –32 2)SoitX.la matrice 2 –1 –1 a)Vequerierλ1est une valeur propre de X X;u1+m0u2etansoasecirurppoerutvnceet t aλ1. b)ueprveDladeeorrplrertuaetenimrX Xatlacererompaλ1. t Partie II: Les axes principaux d’inertie d’un nuage Lesnotationsintroduitesdanscettepartieserontutiliseesdanstoutelasuiteduprobleme. OndenitlamatriceX= (xij)tearntnaappaMp,n(R)ppaeleseescolonnenuage;s 16i6p 16j6n c1, . . . , cnsnoate;agnuseeleppudstniopXest donc un nuage denpoints dans un espace de dimensionp. t OndenitlamatriceV=X X. On appelleFle sous-espace vectoriel deEpseevtcuesrocolnnengendreparlesc1, . . . , cnet on suppose quedimF=retp > r>1. n X 2 Pour tout vecteurvnon nul deEp, on poseI(v) =||PDv(cj)||pcp;elleittseateetuqna j=1 l’inertie du nuageXsur la droiteDv. n X 2 ji. Pour tout couple de vecteurs(v, w)taenanpartapEp, on pose:J(v, w) =hv, cjihw, c j=1 1)a)Montrer que la matriceVdentsoesspelesrsfitisoeidtsagonalisableetquseseavelrupsorrp ou nuls.
On noteλ1, . . . , λples valeurs propres deVet on suppose queλ1>. . .>λp Justier l’existence d’une base orthonormale (e1, . . . , ep) deEptelle que: i[1, p]]e, Vi=λiei b)Montrer que le noyau de VestegalaceluiedX. t raleueeqdengEriudednVlaeagster. Montrer que:λr+1=. . .=λp= 0. Que peut-on dire deλ1, . . . , λr? Montrer que (e1, . . . , er) est une base deF. t 2)a)Montrer, pour tout vecteurvedtaenanparte1apnormEpilt:eeag,lI(v) =vV v. b)tuDmineeterurtor,poirappaatnanet[1, p]],I(eiadideseonbmersal)λ1, . . . , λp c)Ondeltinossee-sucapsveesorctlsieF1, . . . , FrdeEppar : ⊥ ⊥ F, F=F. . , F=F(D) F1=2 1(De), .r r1er1 1 Montrer que :i[1, r]], Fi= Vect(ei, . . . , er). Montrer que :I(e1) = max{I(v);vEpet||v||= 1}= max{I(v);vF1et||v||= 1}. Montrer que :i[1, r]], I(ei) = max{I(v);vFiet||v||= 1}. 3)Soitwun vecteur unitaire deEptel queI(w) = max{I(v);vEpet||v||= 1}. Montrer quewpaaientpartF. 4)On suppose dans cette question queε1, . . . , εrsontrcevruetantna1appartesdenormeEp et queG1, . . . , Grsontrsous-espaces vectoriels deEptels que G1=F ε1G1etI(ε1) = max{I(v);vG1et||v||= 1} (Dmax{I(v);vGet||v||= 1} ε2G2=G1ε1),etI(ε2) =2 (S) . εr1Gr1=Gr2(D),etI(εr1) = max{I(v);vGr1et||v||= 1} εr2 εrGr=Gr1(D),etI(εr) = max{I(v);vGret||v||= 1} εr1 Les droites vectoriellesDε1, . . . , Dεresprincieleesaxsnoatpp.geuanudeitrenidxuap a)rqerieVeu(ε1, . . . , εr) est une base orthonormale deFet que (ε1, . . . , εr, er+1, . . . , ep) est une base orthonormale deEp. b)Montrer que pour tout couple de vecteurs (v, w)aptaenanpartEp: t J(v, w) =vV w=hv,V(w)i c)On se donne deux vecteursv1etv2natapaaptrneriatinu,etuxnagohort,oesF. Pourtoutreelt, on poseϕ(t) =I(cost v1+ sint v2). Exprimerϕ(t)eidedalaI(v1), I(v2), J(v1, v2) ett. Montrer queϕsurtseeerojamRet qu’elle admet un maximum. On suppose que le maximum deϕest atteint en 0. Montrer queJ(v1, v2) = 0. 2 d)Montrer que pour tout (i, jtaenanpart)ap[1, r]] ,J(εi, εje)d=0quesi6=j. DricedeedelamatrealofmreetmrniVdans la base (ε1, . . . , εr, er+1, . . . , ep). ottuoprundeEequeduiri[1, r]],εiest un vecteur propre deVeassaicoλi. 5)Dans le langage des statisticiens les colonnescjdeXeunrepresenteedtndnisdividsu populationstatistiqueoupvariables statistiquesxi, (16i6p) ont respectivement pris les valeursxi1, xi2, . . . , xin(16i6puqetuelelletroseexdeesal,vrseu)tssonennermoy n X nulles,cestadire:xij= 0,16i6p. j=1 Calculer la covariance Cov(xk, x`) des variablesxketx`lorsqueket`rtiennentapaap[1, p]] ¡ ¢ puis comparer la matriceVet la matriceCov(xk, x`) 16k6p 16`6p 2
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