HEC 2003 mathematiques i classe prepa hec (stg)

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´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESOPTION TECHNOLOGIQUEMardi 13 mai 2003, de 8h `a 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE√3,On consid`ere un triangle ´equilat´eral A B C de longueur de cˆot´e 1, d’aire peint en noir; on d´esigne0 0 04respectivement par A ,B ,C les milieux des cˆot´es [B C ] , [A C ], [A B ] et on peint en blanc l’int´erieur1 1 1 0 0 0 0 0 0du triangle A B C . On effectue ensuite la mˆeme op´eration sur chacun des triangles encore noirs A C B ,1 1 1 0 1 1C B A , B A C et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :1 0 1 1 1 0Pour tout entier naturel n, soit t le nombre de triangles ´equilat´eraux encore noirs avant la (n + 1)-i`emenop´eration, c le nombre total de leurs cˆot´es, s le nombre total de leurs sommets et a la longueur de leurn n n1cˆot´e. On a donc : t = 1, c = 3, s = 3, a = 1, t = 3, c = 9, s = 6, a = .0 0 0 0 1 1 1 121. Expimer a en fonction de n, pour tout entier naturel n.n1/42. Soit n un entier naturel n. Exprimer les nombres t , c , s `a l’aide des nombres t , c , ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
OPTION TECHNOLOGIQUE
Mardi13mai2003,de8h`a12h.
Lapre´sentation,lalisibilit´e,lorthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesre´sultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautorise´e.
EXERCICE 3 , Onconsid`ereuntriangle´equilate´ralA0B0C0euguonelt´ˆoecrdriad,1eiepentennoir;ond´esinged 4 respectivement parA1, B1, C1s[mleeiliedxuoˆcsse´tB0C0] , [A0C0], [A0B0rueire´tnilcnaltenbpeineton] du triangleA1B1C1rsdnucrtseusnoahcrorncoienngiaseleeuneustiO.enetcop´eratielamˆemeA0C1B1, C1B0A1,B1A1C0et ainsi de suite pour obtenir les figures suivantes :
Pour tout entier natureln, soittn(latnavasrionerocnesee´uqlitae´arxuenombredetriangllneemi`)-+1 ope´ration,cnrscˆeleutaldretoonbmele´to,ssnle nombre total de leurs sommets etanla longueur de leur 1 cˆot´e.Onadonc:t0= 1, c0= 3, s0= 3, a0= 1, t1= 3, c1= 9, s1= 6, a1= . 2 1.Expimeranen fonction den, pour tout entier natureln.
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2.Soitnun entier natureln. Exprimer les nombrestn+1, cn+1, sn+1`laadidesenombrestn, cn, snet ende´duirele´galit´ematricielle:     tn+1tn3 0 0     cn+1=M cnou`Mest la matrice0 3 0 sn+1sn0 1 1 2 3 3.a) CalculerMetM. b)Montrerquilexisteunesuiteder´eels(un)n>1ve´iraeluratrnulnnnotruop,tneitnetuon:   n 3 00 n n   Met3 0= 0un+1= 3un+ 1 0un1 c) Exprimer,pour tout entier naturel non nuln,ununiquement en fonction den. 4.seluatstedaluqseUtiliserlesr´ruoptnomqrerp,euonti´epredc´teenruleouteourtrnatntien, on a : n tn= 3 n+1 cn= 3 3 n sn= (1+ 3) 2 5.Pour tout entier naturelneparo,nd´esignbnlencbnaltnespaiee´`jert´xdaueqs´lauiairtelgnbmoneder avant la (n1)-i+.noitare´poeme` a) Calculer,pour tout entier natureln,bn+1bnen fonction detn, puisbn+1en fonction uniquement den. b)End´eduire,pourtoutentiernaturelne´:lati´eg,l 1 +tn+bncn+sn= 2(relation d’Euler) 6.Pour tout entier natureln, on notepnedserte`mire´pserecoenesglanristtnalasavonrilasommed (n1+ationpe´teremeo)-i`Snepnijea`lbnaetnelasc.ced´urfa a) Exprimerpnen fonction den, pour tout entier naturelnelilatemiladeitsue,dte´etmrnire (pn)n>0.    n 3 3 ´ b) Etablir,pour tout entier natureln´egal:e´tilSn= 1. 4 4 Ende´duirelalimitedelasuite(Sn)n>0?isevleibi-ti´rpltatlate´.Cer´esu c)Montrerquilexisteunre´elDra,cciseisstomprmeneirtcere1ettnett2erv´aniteuqe´rpnol   D 1 pour tout entier natureln:tn= . an La surface noire est connue sous le nom de Joint de Culasse de Sierpinsky;Dseat´esappel dimension fractale.
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` PROBLEME Lobjetduprobl`emeestl´etudedelarentabilit´edu«surbooking».enneuourpmpagneco´eriniea
PartieI:Expressiondelesp´eranceduchiredaaire
Dans cette partie,nest un entier naturel non nul,Neriesup´tierunene,t`l2ae´agruuopmeteictrlseer´untn compris entre 0 et 1. Unecompagniea´erienneavendunspourlevol714quilielsta`ectnueor`ausqbuccatuepujrillieNpassagers. Laprobabilit´epourquunacheteursepr´esente`alembarquementestpet les comportements des acheteurs sontsuppose´sinde´pendantslesunsdesautres. Unacheteurquinesepre´sentepasa`lembarquementestrembours´ea`80%,tandisquunacheteurquise pr´esentea`lembarquementmaisnobtientpasdeplace,levole´tantd´eja`complet,estrembourse´a`200%. SoitX´ealleabrivalatnangise´deriotadachetelenombrelielstperudsubn`antemlesr´taen,tnqrabemeu soitYesd´reoilentnaigbairavaltae´laelnbilsduepr´letserdonbmetrucaehuerqntmeismanesetnatla`abme n’obtenant pas de place et soitGnetnatnomeltnangsi´eedirtoeal´ealavariablcentainesd’euros du chiffre daairedelacompagniesurlevolconsid´ere´. Onsupposecesvariablesale´atoiresde´niessurlemˆemeespacedeprobabilite´(Ω,A,P). 1.Quelle est la loi deX.ecse´psrnonoenD?riansavaceeteran 2.p,resice´rPntme´eelt´ourtouωde Ω, la valeur deY(ω) en fonction deNet deX(ω), en distinguant les casX(ω)> NetX(ω)6N. 3.:Juslr´itetie´gelaG= 0,2n+ 0,8X2Y. 4.On suppose, dans cette question seulement, queneinstauoe´ag`l´freeiruN. Quelle est la seule valeur possible pourYralecual?Cnaec´prelseolsrE(Gablevaridela)´ealoiatreG. Lacompagniecherchealors`a´evaluerlaprobabilit´eP([X>Nmonelrenerbden)a]mieretd´npermettant d’optimiser son chiffre d’affaire.
Partie II : Approximations dans des cas particuliers
Onreprend,danscettepartielesnotationsetlesd´enitionsdelaPartie?? 1.On suppose, dans cette question, queptse´e0aag`l,red´eniepar:5nscoonetlare`eidelbairaviotae´la 2Xn X=n a)Donnerlesp´eranceetlavariancedeX. b)Justierlese´galite´s:    1 2N1n P([X>N]) = 1PX6N= 1PX62n x+ 12N c)Pourtoutre´elxga´ea1l`ieerouur´puso,pnso:ef(x) =√ ∙ x Montrer que la fonctionfest croissante. d)Onde´signeparΦlafonctiondere´partitiondelaloinormalecentre´ere´duite,onsupposequeN    6 7 este´gal`a320etondonne:Φ− √0,Φ408 ;− √0,391 . 645 646 En admettant que l’on puisse approcher la loi deXee´ree´rtuq,etiudoinorlalecenrmalap peut-onende´duirepourP([X>320]) siniss45a6ui,p´eoul`ga´freeiruetsnine´puueirstserou e´gal`a646?
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