HEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.Toutes les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,B,P) et a` valeurs r´eelles.L’esp´erance d’une variable al´eatoireX est not´ee E(X). SiA est un ´ev´enement de probabilit´e nonnulle on note P(E/A) la probabilit´e conditionnelle sachant A de l’´ev´enement E.Sin est un entier naturel non nul et six ,...,x sontn r´eels on note min(x ,...,x ) ou min x1 n 1 n i16i6nle plus petit d’entre eux.On rappelle que deux variables al´eatoires X et Y prenant des valeurs positives ou nulles sontind´ependantes si et seulement si, pour tout couple (a,b) de r´eels positifs ou nuls, on a :P([X6a]∩[Y 6b]) =P([X6a])P([Y 6b])On rappelle qu’une variable al´eatoire X prenant des valeurs positives ou nulles suit une loiexponentielle si et seulement si elle v´erifie la propri´et´e, dite d’absence de m´emoire :2∀(x,y)∈R P([X >x+y]/[X >x]) =P([X >y])+L’objet du probl`eme est l’obtention de diverses caract´erisations de la loi exponentielle.Partie I: Un r´esultat d’analyseOn consid`ere une fonction r´eelle ϕ continue sur [0,1]. On note M le maximum de la fonction|ϕ|sur [0,1].Pour tout entier naturel n non nul et tout r´eel v de [0,1], on note Y une variable al´eatoiren,vsuivant la loi binomiale de param`etres n et v.1) Soit n un entier naturel non nul, x un r´eel de ]0,1[, ε un r´eel strictement positif v´erifiant lesin´egalit´es0
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.
Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´niessurunmeˆme espaceprobabilis´e(Ω,B, Plee´.selelavrsru)et`a Lespe´rancedunevariableale´atoireXeot´eestnE(X). SiAent´onne´ve´nutselibibaroeptdenem nulle on noteP(E/Al)orpaibabllsecaahtnlit´econditionneAdle´mene´eevntE. Sinest un entier naturel non nul et six1, . . . , xnsontnleosre´(tonnnimex1, . . . , xn) ouminxi 16i6n le plus petit d’entre eux. Onrappellequedeuxvariablesale´atoiresXetYprenant des valeurs positives ou nulles sont ind´ependantessietseulementsi,pourtoutcouple(a, bitifsounuls,ona:red)sopslee´ P([X6a][Y6b]) =P([X6a])P([Y6b]) Onrappellequunevariableal´eatoireXprenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentiellesietseulementsielleve´rielaproprie´t´e,ditedabsencedeme´moire: 2 (x, y)R+P([X > x+y]/[X > x]) =P([X > y]) Lobjetduproble`meestlobtentiondediversescaracte´risationsdelaloiexponentielle.
PartieI:Unre´sultatdanalyse Onconside`reunefonctionr´eelleϕcontinue sur [0,1]. On noteMle maximum de la fonction|ϕ| sur [0,1]. Pour tout entier naturelnnonnuletlottu´reevde [0,1], on noteYn,vevuneae´lriotairaaelb suivantlaloibinomialedeparam`etresnetv. 1)Soitnun entier naturel non nul,x0nu´reedl]e,1[,εunr´eelstretcitnemisopvfitri´entasle ine´galite´s 0< xε < x < x+ε <1 a)rtuotruolee´Coer,pmparvde [x+ε,,l1]eennevm´[´etessYn,v6nx] et [|Yn,vnv|>n(vx)] etend´eduirelesine´galit´es: v(1v) 1 P([Yn,v6nx])6 6 2 2 4b)suJe´rtletruop,uogoeunala¸connefardutievde [0, xεi,legn´ital:´e] 1 P([Yn,v> nx])6 2 4´ c)Etablirlesin´tilage´:se Z Z 1xε   M(1x)M x ϕ(v)P([Yn,v6nx]) dv6etϕ(v) 1P([Yn,v6nx]) dv6  2 2 22x+ε0 d)ielirdu´endE:e´tilage´n Z Z x1   1 ϕ(v) dvϕ(v)P([Yn,v6nx]) dv6+ 2ε M  2 40 0 ´ 2)´reeottul,euqruopatErilbxde ]0,1[, on a, pour tout entier naturelntie´:essa,lndrazgalegn´i Z Z x1 9M ϕ(v) dvϕ(v)P([Yn,v6nx]) dv6  3 4n 0 0 3)On suppose maintenant que la fonctionϕop,eire´verlnatutierutenurton, Z 1 n ϕ(v)vdv= 0 0 Z 1 a)oˆnyemuotrlopteriou,pstJuPtie´`:l,´gelantr´eelsacoecieϕ(v)P(v) dv= 0. 0
b)irdu´eDesquesedps´ritnoedtncee´e,poesquutr´urtoeelxde ]0,e´:lati´geonal1[, Z x ϕ(v) dv= 0 0 c)Montrer que la fonctionϕest nulle. Ainsi,onamontre´danscettepartiequesiϕest une fonction continue sur[0,1]ntirave´ Z 1 n pour tout entier natureln,ϕ(v)vdv= 0, alorsϕest nulle. 0 Danstoutelasuiteduprobl`eme,onconside`reunesuite(Xn)nNtoeal´saleabdreivaseri inde´pendantes,positivesounullestnotteata,mdedemsienesutmˆlaruse(e´tllun l’intervalle ]− ∞,0[) dont on notefalerts`noitcirretnila0e[llva,+[. On suppose que la fonctionfest continue et strictement positive sur [0,+[. On noteF0alertsirtcoin`alintervalle[,+ummoa`entuotsed[lefanotcoinder´epartitionc ces variables. On suppose de plus queX1(et donc chaque variableXia)eenutemdncra´espe.
PartieII:Caract´erisationsdelaloiexponentielle`alaideduminimumdunnl´o-nntilecha Pour tout entier naturelnnon nul, on noteIne´dnoitacilppaleinuop,uotrtωde Ω, par In(ωmin) =Xi(ω) et onadmetqueInestunevaricn.eunetdmiara´espeee´laelbauqeriota 16i6n 1)aidr`alede´DimentereF, pour tout entier naturelnnoedepartititionder´al,lcnofnunno In. 2)Dans cette question, on suppose que la loi deX1lssetauonu`ecommaloiestl(quiXi) est exponentielledeparam`etreλstrictement positif. a)Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, la variablenIneˆmalemeuqioX1. b)tierutenurtor,poerlanutD´eretnemineedncra´espelul,onnnIn. Lobjetdesquestionssuivantesestd´etablirquechacunedecespropri´ete´sestcaracte´ristique de la loi exponentielle. 3)Dans cette question, on suppose que, pour tout entier naturelnnon nul,nInmeleiomˆa queX1. ´ a)Etablir, pour tout entier naturelnlee´rtuottelunonnxp´t:eagill´enul,ifouosit  n x F(x) = 11F( ) n   x b)truortuonimrp,reDte´e´eelxlimpositif ou nul, la valeur de :nln 1F.( ) n+n 0 c)Montrer que la loi deX1pxetnenoserapaetm`eltideleerF(0). 4)erivnO.l´erag´enucasenta 1 a)Montrer que la fonctionFeunebijectionde[i0sal´er,+[ sur [0,1[. On noteFsa r´eciproque. ` b)ourtou,prnienttelerutaalAdedihangunctdevemenlb,eraailbrie´atnn:ealg,el´´utninlo Z 1 1n1 E(In) =n F(u)(1u) du 0 ´ c)´eelourtoutratlbrip,Eude [0,:est´ilage´nisel,[1 Z 1 11 06(1u)F(u)6F(t) dt u 1 End´eduirequelafonctionG0[d´nieures,1] parG(u) = (1u)F(u) siu´lmenedteest´e [0,1[ et parG(1) = 0 est continue.
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