HEC 2003 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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´ ´ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES´OPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIMercredi 7 mai 2003, de 8h a` 12h.La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision desraisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel´electronique est interdite.Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.EXERCICE a b1. Soit a et b deux r´eels strictement positifs et A la matrice carr´ee d’ordre 2 d´efinie par : A = .b aa) Montrer que si a et b sont ´egaux, la matrice A n’est pas inversible.2b) Calculer la matrice A −2aA. En d´eduire que, si a et b sont distincts, la matrice A est inversible−1et donner la matrice A .c) Montrer que les valeurs propres de A sont a+b et a−b. a+b 0d) On pose Δ = . D´eterminer une matrice Q, carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels,0 a−b−1inversible et dont les ´el´ements de la premi`ere ligne sont ´egaux `a 1, v´erifiant A =QΔQ .−1 ne) Calculer la matrice Q et, `a l’aide de la question pr´ec´edente, calculer la matrice A pour toutentier naturel non nul n.2. Soitpunr´eelv´erifiant0
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´ ´ ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
´ OPTION ECONOMIQUE
MATHEMATIQUES III
Mercredi7mai2003,de8h`a12h.
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedanslappre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulelutilisationduner`eglegradu´eeestautoris´ee.
EXERCICE   a b 1.Soitaetb´rxuedeelsstrictementpsotifiestAecicr´ardeedror´d2einerape:alamrtA= . b a a) Montrerque siaetbecirtamal,xu´egasontAn’est pas inversible. 2 b) Calculerla matriceA2aAiseriu,euq.End´edaetbsont distincts, la matriceAest inversible 1 et donner la matriceA. c) Montrerque les valeurs propres deAsonta+betab.   a+b0 d)OnposeΔ=.D´eterminerunematriceQsl,eer´tsencieco`a2erdrodee´rrac, 0ab 1 inversibleetdontles´el´ementsdelapremie`relignesont´egaux`a1,v´eriantA=QΔQ. 1n e) Calculerla matriceQt,`alaieseitnorpededaluq,ctecualc´´eenedecirlreltamaApour tout entier naturel non nuln. 2.Soitpari´elveer´un0tn< p <1 etq1ele´relp. On suppose queXetYlbailasetae´eriossontdeuxvar d´eniessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A,Pequm,´ienodriet)nadnepe´iustesetmˆlantvag´oielem deparame`trep.   X(ω)Y(ω) Pour toutωaprd´esignedeΩ,onM(ω:etnaviu2srerdoed´errcamatairecl)et Y(ω)X(ω) on noteS(ω) (respectivementD(ω)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de M(ωuxdesiinleabrivanote)atine´dΩaeotas´lus(rrise,A,P). p a)Montrerquelaprobabilit´edel´eve´nement[X=Yep´enndost]e:raP([X=Yet en]) = 2p d´eduirelaprobabilite´dele´ve´nement{ωΩ ;M(ω) est inversible}. b)Calculerlacovariancedesvariablesale´atoiresSetD.
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c)Calculerlesprobabilite´sP([S= 2][D= 0]),P([Set= 2])P([D= 0]). Lesvariablesale´atoiresSetDndpe´endsileelt-nosnaet?s 2n2 ´ d) Etablir,pour tout entier natureln2:`au´roalege´puueirsP([S=n]) = (n1)p q. 2 , e)Ende´duire,lorsquepresal`at´eguqleuelrvalaluaprospblbaeledulpaargsvednuela 21 propre des matricesM(ω) possibles est 11.
` PROBLEME ´ Partie A : Etude d’une fonction
1 1.a) Onsuppose, dans cette question, qu’il existe une fonctionfde classeCsur les intervalles ]−∞,0[ et ]0,tu´reeltnopruot,v´eria1[xt`ana]paapenrt− ∞,0[]0,l,[age´e:l1it´ 0 x(1x)f(x) + (1x)f(x) = 1 Soith]ruseined´ontincfola− ∞,0[]0,1[, par :h(x) =xf(x). 1 Montrer quehest de classeCsur les intervalles ]− ∞,0[ , ]0,´erirsad.v´ee1e[ucelctla Ende´duirequilexistedeuxconstantesre´ellesc1etc2v´iretna x]− ∞,0[, h(x) =ln(1x) +c1 x]0,1[, h(x) =ln(1x) +c2 b)Onde´nitunefonctionfsur les intervalles ]− ∞,0[ et ]0,1[ par : ln(1x) +c 1 x]− ∞,0[, f(x) = x ln(1x) +c 2 x]0,1[, f(x) = x ou`c1etc2s.scxuedtnoteanstonleel´esr De´terminerlesconstantesc1etc2pour que la fonctionf.0ne´eitnutionrcpaleegbalonotirpos 2.Dans toute la suite de cette partie,fisnglefa]rde´n´esuiectonndio− ∞,1[ par : ln(1x) f(x) =six6= 0 x f(0) = 1 a)Donnerlede´veloppementlimite´en0`alordre3delafonctionx7→ln(1x)puisleve´dpoleemeptn limit´een0`alordre2delafonctionf. 0 b)Ende´duirequelafonctionftconesiravd,e´ee0nitun´eprsecieebletn0edrvalruelaf(0). c) Montrerque, pour toutxde ]− ∞,0[]0,1[, on a :   1 1 0 f(x) =f(x) 1x x 1 Enutilisantlede´veloppementlimit´edelaquestionpre´c´edente,montrerquefest de classeC sur ]− ∞,1[. x ´ 3.le signe de la fonctiona) Etudierϕruse]d´eni− ∞,1[ par :ϕ(x+ ln(1) =x)1x Ende´duirelesvariationsdelafonctionf b) Donnerle tableau de variation de la fonctionfgronhiapenestitadeuqeetllerape´rallrudefen pre´cisantlesasymptotes,latangentea`lorigineetlapositiondelacourbeparrapporta`cette tangente au voisinage de l’origine.
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4.Soitxllva0e]nu´reedlleitnre,1[. a) Soithalcnofn]oriutseei´nd− ∞,1[ par :h(t) =ln(1t) . 0 00(n) Calculer,pourtoutr´eeltde ]− ∞,1[,h(t), h(t), puis pour tout entier naturelnnon nul,h(t). b) Justifier,pour tout entier naturelnl,e:´tilage´ n+1Z X k xn+1 x(xt) h(x) =+ dt n+2 k(1t) 0 k=1 xt ´ c)Etablir,pourtoutr´eeltde l’intervalle [0, x,]alodbuelnie´agil´t:e06 6x1t End´eduire,pourtoutentiernaturelnnnno,lulouad´ngelbiee´:lati n k X x n+1 06f(x)6x f(x) k+ 1 k=0 X n x d)Justierle´galit´e:f(x) =n+ 1 n=0
´ PartieB:Etudedunevariableal´eatoirea`densite´
1.Dans cette questionfnotiesqula`aien´eoidnnotcltfase2.de la partie A. lnt f1(tsi) =t6= 1 t1 a) Soitf1ofalitcnd´onnieures]0,1] par : f1(1) = 1 Justierlacontinuit´edef1sur ]0,e´at]1tep,uolbritr´ertouelxde ]0,ital:´e,l1[eg´ Z Z x1 f(t) dt=f1(t) dt 0 1x ´ b) Soitaunr´]0etvrlaeleedllen,1[. Etablir pour tout entier naturelnit´eegal,l´: Z 1n+1 alna1 n n+1 tlntdt=− −(1a) 2 n(+ 1n+ 1) a Z Z 1 1 1 n n End´eduirelaconvergencedelinte´graletlntdtt´e:tele´agiltlntdt=− ∙ 2 (n+ 1) 0 0 c) Soita´enrdeelinlrvte]0aulle,1[ etn´dmeer,lanutitreunenuttourpoertrontde [a,tilage´l,]1´e ZnZ Z X 1 11 k n+1 f1(t) dt+tlntdt=t f1(t) dt a aa k=0 d) Montrerque la fonctiont7→t f1(t) est prolongeable en une fonctionh1continue sur [0,1]. Z 1 End´eduirequelint´egralef1(t) dtreegteuqellvee´rie:nvco 0 ZnZ X 1 1 1 n f1(t) dt= +t h1(t) dt 2 (k+ 1) 0 0 k=0 e)Onde´signealorsparMle maximum sur [0,1] de la fonctionh1. ´ Etablir, pour tout entier natureln´t:e,lnie´agil Zn X 1 1M 06f1(t) dt6 2 (k+ 1)n+ 1 0 k=0 ZX 1 1 1 , f)Justierlaconvergencedelas´eriedetermege´ne´ralpuisl´egalit´e:f(t) dt=2 2 n n 0 n=1
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