HEC 2004 mathematiques i classe prepa b/l

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESMATHIIBLL’objet du probl`eme est l’´etude, sur un exemple, d’un paradoxe concernant les temps d’attente de certainesconfigurations dans un jeu de (( pile ou face )).On consid`ere donc une suite infinie de lancers d’une pi`ece ´equilibr´ee, c’est-`a-dire pour laquelle, a` chaquelancer, les apparitions de ( pile ) et de ( face ) sont ´equiprobables.On admet que l’exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P).Pour tout entier naturel non nul n, on d´esigne par R l’´ev´enement ( pile apparaˆıt au lancer de rang n ) etnpar S l’´ev´enement ( face apparaˆıt au lancer de rang n )nPartie I : Un r´esultat utile∗On consid`ere une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,A,P), prenant ses valeurs dansN et, pour tout entiernaturel non nul n, on pose : a = P([X =n]).n+∞XnOn d´esigne par f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0,1] par : ∀x∈ [0,1], f(x) = a x .nn=1+∞X1. a) Justifier que la suite (a ) est une suite de nombres r´eels positifs ou nuls v´erifiant a = 1.n n>1 nn=1b) Montrer que, pour tout nombre r´eel x appartenant `a l’intervalle [0,1], la s´erie de terme g´en´eralna x est convergente.n2. Dans cette question, on suppose que la fonction f est d´erivable au point 1; elle v´erifie donc :f(1)−f(x) 0lim =f (1)x→1 1−xx<1 !+∞ n−1X Xf(1)−f(x) k´a) Etablir pour tout nombre r´eel x de l’intervalle [0,1[ l’´egalit´e : = a x .n1−xn=1 k=0f(1)−f(x)b) En d´eduire que la fonction x7→ est croissante sur [0,1[ et ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II BL
Lobjetduprobl`emeestl´etude,surunexemple,dunparadoxeconcernantlestempsdattentedecertaines configurations dans un jeu depile ou face. Onconside`redoncunesuiteinniedelancersdunepie`ce´equilibre´e,cest-`a-direpourlaquelle,`achaque lancer, les apparitions depileet defacesno´tqeabobpruis.le Onadmetquelexpe´rienceestmod´elis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnaro,dn´esignepRnl´etnemene´vernclaauıtaˆarppaelipgnedarnet parSntemenv´enl´eface apparaˆıt au lancer de rangn
PartieI:Unr´esultatutile Onconside`reunevariableal´eatoireXΩr(de´neius,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :an=P([X=n]). +X n Ond´esigneparf0[eoidne´nlfanotcntervalliesurli,1] par :x[0,1], f(x) =anx. n=1 +X 1.que la suite (a) Justifieran)n>1´reerbseisitslopnesuestuenomitedtoufslsnuerv´anian= 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrere´elx[0leaalrpvpetnila`tnanetra,s´la],1erale´´nmrgeedetreei n anxest convergente. 2.Dans cette question, on suppose que la fonctionfreillveavb´leeraupeositndt´1e;ideno:c f(1)f(x) 0 lim =f(1) 1x x1 x<1  ! +n1 X X f(1)f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,e:t´liga´el1[=anx. 1x n=1k=0 f(1)f(x) b)End´eduirequelafonctionx7→est croissante sur [0,tuotru[1tellevqueepo´eri 1x f(1)f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,etna0:sse´tvius´einliga1es[l6 6f(1). 1x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelN0non nul, on a :6nan6f(1). n=1 End´eduirequelase´riedetermege´n´eralnanest convergente.
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` d)Alaidedesr´esultatsdesquestiona)etc),justierpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,1[, +X f(1)f(x) 0 lesin´egalite´ssuivantes:06 6nan6f(1)1x n=1 e)Montrerquelavariableale´atoireXdautemar:´eepodnnnaec´preense 0 E(X) =f(1) 3.qusepoupns,oontiseuqettecsnaDtoirelbae´laelevaraaiXmetuneesad´toneere´pecnaE(X). f(1)f(x) a) Justifierla croissance de la fonctionx7→etmorquntre´vreleeloprui,euttoeer´lx 1x f(1)f(x) de l’intervalle [0,doublein´egalit´seiuavtn:e01al,[6 6E(X). 1x 0 b)Ende´duirequelafonctionfe´irsedtelletqueen1vabl:e´veeirf(1) =E(X). 4. Casparticulier :on suppose, dans cette question, quepavll]e0leitnreunr´eeldest,1[ et queXsuit laloige´ome´triquedeparam`etrep. a)Donner,pourtoutre´elxde l’intervalle [0,1], une expression def(x) en fonction dexne compor-tantpasdesommedese´rie. 0 b) Montrerquef,pr´een1erecissedtavlbe´irfeleda´espncraalavilnseelrdeuterte)1(iarevuor variableale´atoireX. PartieII:Loidutempsdattentedelapremi`erecongurationpile, pile, faceSoitYe´de´ce´edlavotri´laelbaeraaie´dengisltnanareulgdcean`urourpoalrpme`irefeioaspparaˆıtunfacepr deuxpilessicettecongurationapparaıˆt,etprenantlavaleur0sicelle-cinapparaıˆtjamais. Parexemple,silesre´sultatsdespremierslancerssont(face,face,pile,face,pile,face,pile,pile,face,...), lavariableal´eatoireYprend la valeur9. On posec1=c2= 0 et, pour tout entiern´egal`a3:us´preeiruuocn=P([Y=n]). n [ Pour tout entierneotnpn´,souai3ele`rgoau´uerBntnemene´ve´lRn2Rn1SnetUnlnetnemee´´vBi. i=3 1.On poseu1=u2= 0, et pour tout entiernerieurousup´:e´ag`l3aun=P(Un). Montrer que la suite (un)n>1est monotone et convergente. 2.pour tout entier naturela) Calculer,nuoe´ag`l3al,paorbabilit´edel´eve´enemtnsuerp´urieBn. b)Ve´rierque,pourtoutentiernaturelns´eupeuriu´roalegel´sa`,3enemvee´ntsBn, Bn+1etBn+2 sontdeuxa`deuxincompatibles. c)End´eduirelesvaleursdesnombresu3, u4etu5. 3.Soitnun entierna5.gal`ou´ere´prueius a)Justierle´galite´dese´v´enementsUnBn+1etUn2Bn+1obprilab´eit.ptece´rresiruel b)Exprimerl´eve´nementUn+1senfonctive´sednotnemene´UnetBn+1nte:uivaedd´en;le´iuer´tseagil 1 un+1=un+ (1un2). 8 1 1 c)V´erierlese´galite´ssuivantesu3=u2+ (1u1) etu4=u3+ (1u2). 8 8 d)De´terminerlalimitedelasuite(un)n>1pial´ortraiblieb´e´vueddeetldenmente´ene[Y= 0]. 4.Pour tout entier naturel non nuln, on pose :vn= 1un. a)Pr´eciserlesnombresv1, v2, v3, v4. b) Exprimer,pour tout entier naturelnsu,a3ag`luoe´eiru´prevn+1en fonction devnet devn2. N X 7 1 c)End´eduirepourtoutentierNspue´:ier`aall1,roeuegu´iusetnavage´´tilvN+3=vk. 8 8 k=1 d)Montrerquelase´riedetermeg´ene´ralvnest convergente et calculer sa somme. 5.Soitgeth0e[llvaerd´eniessurlintelfsnotcoisn,1] par : ++X X n n x[0,1], g(x) =cnxeth(x) =vnx n=1n=1 2/4
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