HEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESMATHIIECONOMIQUEDans tout le probl`eme, on consid`ere une suite infinie de lancers d’une pi`ece ´equilibr´ee, c’est-`a-dire pourlaquelle, a` chaque lancer, les apparitions de ((pile )) et de ((face )) sont ´equiprobables.On admet que l’exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P).Pour tout entier naturel non nul n, on d´esigne par R l’´ev´enement ( pile apparaˆıt au lancer de rang n ) etnpar S l’´ev´enement ( face apparaˆıt au lancer de rang n )nPartie I : Un r´esultat utile∗On consid`ere une variable al´eatoire X d´efinie sur (Ω,A,P), prenant ses valeurs dansN et, pour tout entiernaturel non nul n, on pose : a = P([X =n]).n+∞X1. a) Justifier que la suite (a ) est une suite de nombres r´eels positifs ou nuls v´erifiant a = 1.n n>1 nn=1b) Montrer que, pour tout nombre r´eel x appartenant a` l’intervalle [0,1], la s´erie de terme g´en´eralna x est convergente.n+∞Xn2. On d´esigne par f la fonction d´efinie sur l’intervalle [0,1] par : ∀x∈ [0,1], f(x) = a x .nn=1On suppose que cette fonction est d´erivable au point 1; elle v´erifie donc :f(1)−f(x) 0lim =f (1)x→1 1−xx<1 !+∞ n−1X Xf(1)−f(x) k´a) Etablir pour tout nombre r´eel x de l’intervalle [0,1[ l’´egalit´e : = a x .n1−xn=1 k=0f(1)−f(x)b) En d´eduire que la fonction x7→ est croissante sur [0,1[ et qu’elle v´erifie pour tout1−xf(1)−f(x) 0nombre r´eel x de l’intervalle [0,1[ les in´egalit´es suivantes : 06 6f (1).1−xNX0c) Montrer que, pour ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II ECONOMIQUE
Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunesuiteinniedelancersdunepi`ecee´quilibre´e,cest-a`-direpour laquelle,`achaquelancer,lesapparitionsdepileet defacesnoles.obabuiprt´eq Onadmetquelexp´erienceestmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnsi´end,oarepgnRnne´ve´ltnemepile apparaˆıt au lancer de rangnet parSnne´vnemete´larppıtaˆfeaacedargnuaalcnren
PartieI:Unr´esultatutile Onconside`reunevariableale´atoireXe´ndr(Ωiesu,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :an=P([X=n]). +X 1.a) Justifierque la suite (an)n>1tuessuneeditmoneserbee´ropsl´vreunslsfuoisittianan= 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrer´eelxantna`lappraetle[0interval,etedgemr´saleire1],n´´ealer n anxest convergente. +X n 2.pengise´ndOrafreavitn0ll[end´ectiosurlnienofal,1] par :x[0,1], f(x) =anx. n=1 Onsupposequecettefonctionestde´rivableaupoint1;elleve´riedonc: f(1)f(x) 0 lim =f(1) x11x x<1  ! +n1 X X f(1)f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,=t´e:le´agil[1anx. 1x n=1k=0 f(1)f(x) b)Ende´duirequelafonctionx7→est croissante sur [0,uttourpoee´irllveuqe[1te 1x f(1)f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,0:s1l[senie´galit´essuivante6 6f(1). 1x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelNnon nul, on a :06nan6f(1). n=1 Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ralnanest convergente.
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` d)Alaidedesre´sultatsdesquestiona)etc),justierpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,1[, +X f(1)f(x) 0 lesine´galit´essuivantes:06 6nan6f(1) 1x n=1 e)Montrerquelavariableal´eatoireXdenoarcnpse´nueeetdmapar:n´ee 0 E(X) =f(1) PartieII:Loidutempsdattentedelapremi`erecongurationpile, pile, faceSoitYede´de´ce´raceptunfraˆıappaofsie`ererimlrpaudgncnal`oreuopud´reigesntnaraleavirbaellae´taiola deuxpilessicettecongurationapparaˆıt,etprenantlavaleur0sicelle-cinapparaıˆtjamais. Parexemple,silesre´sultatsdespremierslancerssont(face,face,pile,face,pile,face,pile,pile,face,...), lavariableal´eatoireYprend la valeur9. On posec1=c2= 0 et, pour tout entiernueore´irspu3:al`au´egcn=P([Y=n]). n [ Pour tout entiern,3noonet´ugelaa`ri´eroeuupsBnenementl´ev´Rn2Rn1SnetUnemtnl´vee´enBi. i=3 1.On poseu1=u2= 0, et pour tout entiern:3laa`´ugeeuro´erisupun=P(Un). Montrer que la suite (un)n>1est monotone et convergente. 2.a) Calculer,pour tout entier naturelnilitobabl´e´edegelaor´ualrpa`,3s´eupeurinemene´vtBn. b)Ve´rierque,pourtoutentiernaturelnuoruage´´puseire´ev´eneml`a3,lesnestBn, Bn+1etBn+2 sontdeuxa`deuxincompatibles. c)End´eduirelesvaleursdesnombresu3, u4etu5. 3.Soitnun entiernor´ugelaa`.5s´eupeuri a)Justierl´egalite´dese´v´enementsUnBn+1etUn2Bn+1rpe´telrueicesbabirproe.lit´ b)Exprimerl´ev´enementUn+1notcefnstenemenv´´eesndioUnetBn+1e´dne;:usvinaetegalit´eduirel´ 1 un+1=un+ (1un2). 8 1 1 c)Ve´rierlese´galite´ssuivantesu3=u2+ (1u1) etu4=u3+ (1u2). 8 8 d)De´terminerlalimitedelasuite(un)n>1env´enemt[babotiliede´e´letend´eduirelaprY= 0]. 4.Pour tout entier naturel non nuln, on pose :vn= 1un. a)Pr´eciserlesnombresv1, v2, v3, v4. b) Exprimer,pour tout entier natureln,3a`sor´ugelapue´iruevn+1en fonction devnet devn2. N X 7 1 c)Ende´duirepourtoutentierNet:p´ersurueie´uo`lagl,1aeg´italsu´eanivvN+3=vk. 8 8 k=1 d)Montrerquelase´riedetermeg´en´eralvnest convergente et calculer sa somme. 5.Soitgethellavret0[lseitnoofcnniesd´elinssur,1] par : ++X X n n x[0,1], g(x) =cnxeth(x) =vnx n=1n=1 a) Soitnuprsri´eneuienta`laxE.4oruege´uenem´ev´erlprimne[tY=nntmene´eevs´deoncnitneof]s Un1etUn(Un1enemontcaitrdere´gdisetnane´lne´vUn1l´egalit´e:.)nE´ddeiuercn=vn1vn. b)Validerl´egalite´cn=vn1vndnausa`olscent´eges2ou3al`a. ´ c)Etablirpourtoutnombrere´elx0[aetvrlaelnt`alinppartena,1,]le:t´liga´eg(x) = (x1)h(x) +x. g(x)g(1) d)Exprimerpourtoutnombrere´elxra`aeltaanptpnvrlanietle[0,1[, le quotienten x1 fonction deh(x). e) Justifierla croissance de la fonctionhet, pour tout entier naturelNer´eombroutnlettnlneuon N X k xde l’intervalle [0,te:eiblouad,l1]naviuse´tilage´nvkx6h(x)6h(1). k=1 Ende´duirelarelationsuivante:limh(x) =h(1). x1 x<1 2/4
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