HEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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HEC 2004, math 2, option scientifiqueToutes les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont d´efinies sur un mˆemeespace probabilis´e (Ω,F,P).L’objet de ce probl`eme est la recherche et l’´etude de lois poss´edant une propri´et´e, dite de stabilit´e,qui intervient dans la mod´elisation de nombreux ph´enom`enes satisfaisant une certaine invarianced’´echelle.• Soit X une variable al´eatoire r´eelle. On dit qu’une suite (X ) de variables al´eatoires est unek k>1suite de copies de X si (X ) est une suite de variables ind´ependantes ayant toutes mˆeme loik k>1que X.•Onditqu’unevariableal´eatoirer´eelleX suituneloi stablesiilexisteunesuiter´eellestrictementpositive(a ) telleque,pourtoutesuite(X ) decopiesdeX etpourtoutentiernsup´erieurn n>1 k k>1ou ´egal 1, X +···+X , et a X ont mˆeme loi. On v´erifie facilement l’unicit´e de la suite (a )1 n n n n>1si X n’est pas nulle presque suremeˆ nt. On dira alors que (a ) est la suite associ´ee `a la loi den n>1X.∗On noteN l’ensemble des entiers sup´erieurs ou ´egaux a` 1 (i.e. {1,2,3,...}).1 πOn admettra que∀A> 0, ArctanA+Arctan = ou` l’expression Arctan d´esigne la fonctionA 2π πr´eciproque de la restriction de la fonction tangente a` ]− , [.2 2Partie I : Un r´esultat sur certaines suites positivesSoit (u ) une suite de r´eels strictement positifs v´erifiant les deux propri´et´es suivantes:n n>12∗- pour tout couple d’entiers (m,n)∈N , u =u u ,mn m n2∗- il existe un r´eel strictement positif A tel ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2004, math 2, option scientifique Touteslesvariablesale´atoiresquiinterviennentdansceproble`mesontde´niessurunmˆeme espaceprobabilise´(Ω,F, P). Lobjetdeceprobl`emeestlarechercheetl´etudedeloisposse´dantunepropri´et´e,ditedestae´tilib, quiintervientdanslamod´elisationdenombreuxphe´nome`nessatisfaisantunecertaineinvariance de´chelle. SoitXairavenuae´laelbuentiuq(eustier´etoir.OndelleXk)k>1esesnetueal´irtobairaselaved suite de copiesdeXsi (Xk)k>1yasateanndpe´endiselbairavedetiuestunesleioˆmmetusetnot queX. uiaubnledvitaqreatOoneal´e´lerireelXsuit une loistableleiisenuetsixe´retiusellestrictement positive (an)n>1telle que, pour toute suite (Xk)k>1de copies deXet pour tout entierneriesup´ru oue´gal1,X1+∙ ∙ ∙+Xn, etanXetiu(de´tsaleˆetmon´vreifeemol.inOtluniciacilemenan)n>1 siXtpesuneu(asnidnO.tneqsrolaarsqreepllemursˆuean)n>1est lasscotiaesu´ieeidloea`al X. On noteNe´agxua`(1erssup´erieursousnelbmesedeitneli.e.{1,2,3, . . .}). 1π On admettra queA >0,ArctanAionAressexpo`ul=atnA+crctonniongisfaleatcre´dn A2 π π r´eciproquedelarestrictiondelafonctiontangente`a],[. 2 2 PartieI:Unr´esultatsurcertainessuitespositives Soit (un)n>1suitunese´lederestrictement positifsire´´tseusvinaets:erv´porpxuedseltnai 2 - pour tout couple d’entiers (m, n)N, umn=umun, 2 -ilexisteunr´eelstrictementpositifAtel que, pour tout couple (m, n)N, sim6n, alors um6Aun. α Onveutmontrerquilexisteunr´eelpositifαtel que, pour tout entiernN,un=n. 1)Montrer queu1= 1. k uple (r, k)N×N, u 2)Montrer que, pour tout cor=ur. k 3)SoitrN, r>ilexisteunr´eel.2oMtnerqruαrtel que, pour tout entiernde la forme k αr ru`o,kest un entier positif,un=n. Exprimerαren fonction deret deur. 2 4)Soit (r1, r2)N, r2> r1>ortninO.2slesr´eeduitalorslαr1etαr2´deinelsslaon questionpre´ce´dente. k ` k+1 a)SoitkN. Montrer qu’il existe un entier`tel quer6rr <. 2 1 2 k+1k+1 k αrαrk αrαr b)riqeeu(du´endEr)6A(r() etr)6A(r) . 2 11 2 2 22 2 c)En faisant tendrek´etilage´leriude´,dninislervαr1=αr2. Conclure. Partie II :La loi gaussienne
Albgeuassnuveraainsit´edondeladerpxeisselepplelraOnmedenneienneyomet de variance 2 σ: 2   1 (xm) fm,σ(x) =exp2 2 2σ 2 2πσ 1)Soitaue´rnlestrictement positifetbetcconques.edxu´reesluqle Trouvertroisr´eelsα, m, σ, que l’on exprimera en fonction dea,b,ctels que : 2 (xm) 2 xR,+α=ax+bx+c 2 2σ Z r +2  π b4ac 2 2)nE´deruqdeiuexep(ax+bx+c) dx.= exp a4a −∞ 0 3)SoientGetGeuxvariadceesr´ntssaunnieiotagserselbe´lancesariasdevnaetepdndne´eeis 2020 0 respectivesσetσ.Rrrentmo´eedallancculaentnsde´eitaleddioleG+G, queG+G estunevariablegaussiennedontondonneralesp´eranceetlavariance. 4)Montrer queGaltstiuseuQ.eell`aeelolasseai´ocdienuleustibaeliotsG?
BDans cette section,Xuqaimdtenueunitoielabstetle´laeotaeqeriusiulbairavenutse 2 espe´rancemet une varianceσstrictement positive.On ne suppose pas queXsuit une loi gaussienne. Soit (Xk)k>1une suite de copies deXet (ak)k>1lalaioedosice´`easuiteaslX. 1)edsecnairavseltnra´eidnscoEnX1+∙ ∙ ∙+Xnet deanX, donner, pour tout entier naturel nnon nul, la valeur dean. Montrer quem= 0. 2)hte´roe`emedalilmitecentr´ee,monrerteuqplapEnlentuaiqXsuit une loi gaussienne.
Partie III :La loi de Cauchy a 1)Soita >ctonafelquerier.0´Vnoifa:x7→nunedensestbiebobalititie´edrp.´e 2 2 π(x+a) (On utilisera le changement de variablex=atant). Onditquunevariableale´atoiresuitlaloideCauchydeparam`etreasi elle admet la fonction faopruedsntie´. 2)SoitZpedyhcuaCediolalntvauiesirtoeal´.1al`ae´eg`etraramunevariablea a)La variableZanare?ecneeup´esetdmll-e b)Soitλ >0. Quelle est la loi deλZ? 3)SoitPa`3aedurgpen´lnoinyoˆemedou´egal`f´erieurneic´rstlseeeoc. Soientz1etz2deux nombres complexesdistinctsde partie imaginairestrictement positive. Montrer que siz1et z2sont des racines deP, alorsP= 0. (On remarquera quez1etz2segalont´rtcamenenise deP.) 0 ∗0 0 4)Soienta, a>0, etyR. Soient, v, vu, uetelsqulsertaee´ruq 0 a a 0 0 u+iv= etu+iv=  20202 2 π(yia) +a π(y+ia) +a π ou`i.entrgumdtaele1omudexedlempcorembnolenegise´d 2 a)Montrer que : 0 00 0 aa vx+au v(xy) +a u xR, = + () 2 22 202 22 202 π(x+a) (xy) +a π(x+a)π(xy) +a (On multipliera les deux membres de (nuoepdarnauptleriomcmanmee´tornuuera)pliq 0 laquestionpre´ce´denteenprenantz1=iaetz2=y+ia.) b)Onadmetnavi:setlit´essules´ega 0202 20 a(y+aa) + 2iaa y u+iv=   202 202 π y+ (a+a)y+ (aa) 2 2020 a(y+aa)2iaa y 0 0 u+iv=   202 202 π y+ (a+a)y+ (aa) Montrer que : 0 a+a 0 u+u=  202 π y+ (a+a) Z Z B B x xy 5)SoitB >0. Calculerdxet dx. 2 22 2 x+a(xy) +a BB 6)SoientZaetZaanivestdntdasues´dninepeotaeserisal´ablevarideuxcuyhedolsiedaC 0 0 param`etresrespectifsaetalavaleuqdaledrueertron.Mt´edensioideelalZa+Zaau 0 0 pointyegt´e`alaseu+u(cf. question4.)´dnEeduirelaloideZa+Za. 0 7)uqenE´ddeiuerZlolaeidtiusssae´icoa`eeable.QuelleestlaustinuleiotsZ? 2
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