HEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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CCIP MATHÉMATIQUES II OPTION ÉCONOMIQUE Durée 4 heures Mardi 10 Mai 2005 , de 8 h. à 12 h. La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètre p d'une loi géométrique. Partie I . Formule du binôme négatif . Pour tout couple (n ; r) d'entiers naturels tels que 0 £ r £ n , on rappelle la formule du n n - 1 n - 1« triangle de Pascal» : = + ) ) )( ( (k k -1 knk - 1n1. Montrer que pour tout entier r de §1 ; n ¤ , on a : = . ) )( S (k r - 1kr=2. Soit (n ; r) un couple d'entiers naturels, tels que 1 £ r £ n . Pour tout réel x de ]0 ; 1[ , on définit la fonction nk kf par : f (x) = x . r ; n r ; n S ( )rkr=n n + la) Montrer, pour tout réel x de ]0 ; 1[ , l'égalité : (1 - x) f (x) = x f (x) - x . r ; n r - 1 ; n - 1 )( krnnb) On suppose l'entier r fixé. Montrer, lorsque n tend vers + ¥ , l'équivalence : ~ . )( r r !3. Soit x un réel fixé de ]0 ; 1[ et soit r un entier naturel fixé. On veut établir ...
Publié le : mardi 5 juillet 2011
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CCIP MATHÉMATIQUES II OPTION ÉCONOMIQUEDurée 4 heuresMardi 10 Mai2005, de 8 h. à 12 h.La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.L'objet du problème est d'étudier quelques propriétés d'un estimateur du paramètrep d'une loi géométrique. Partie I . Formule du binôme négatif . Pour tout couple(n;r) d'entiers naturels tels que0£r£n , on rappelle la formule du n n-1n-1 « triangle de Pascal» := + k k-1k n n k-1 1.Montrer que pour tout entierr de1 ;non a := . , § kSr-1 ( ) k=r 2. Soit (n;r) un couple d'entiers naturels, tels que1£r£n . Pour tout réelx de ]0 ; 1[ , on définit la fonction n kk fr;n: parfr;n(x) =x. S(r ) k=r n n+ l a)Montrer, pour tout réelx de ]0 ; 1[ , l'égalité : (1-x)fr;n(x) =xfr-1 ;n-1(x)-x . k r n n b)On suppose l'entierr fixé. Montrer, lorsquen tend vers+¥, l'équivalence :. r! r 3. Soitx un réel fixé de]0 ; 1[et soitr un entier naturel fixé. On veut établir l'existence de la limite de fr;n(x) lorsquen tendvers +¥, et déterminer la valeur de cette limite. a)lim Justifier l'existence et donner la valeur def0 ;n(xlim) etf1 ;n(x) . n® + ¥n® + ¥ b) Soitr un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réelx de]0 ; 1[ ,on a : r-1 x limfr-1 ;n(x. Montrer que, pour tout réel) =x]0 ; 1[ , de r ® + ¥(1-) n + ¥ r r x x k k  limfr;n(x) =. Ainsi,x= . Sr r+1( )r+1 n® + ¥(1-x) (1-x) k=r Partie II. Développement en série deln(l-x).Soitx]0 ; 1[ .un réel de x n n k 1-t * 1.Montrer, pour tout entiern de, l'égalité :dt =. ò1-Sk Nt k=1 0 x n t 2.À l'aide d'un encadrement simple, montrer que :limdt= 0 . ò 1-t n® + ¥ 0 + ¥ k k S 3.En déduire la convergence de la série de terme généralainsi que l'égalité=-ln(l-x). k k k=1 Partie III . Loi binomiale négative . 1/5
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un même espace probabilisé(W; ;P) . A * Soitp un réel de]0 ; 1[ . On poseq= 1-p, et on considère une variable aléatoireX, qui à valeurs dans N *k-1 suit la loi géométrique de paramètrep. On rappelle que pour tout entierk de,P(X=k) =p q.1.N Calculer la valeur de l'espéranceE(X) etde la varianceV(Xla variable aléatoire) deX. 1 2.On considère la variable aléatoireYdéfinie parY =. a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises parYainsi que la loi de probabilité deY. b)Montrer queY admet une espéranceE(Y) , que l'on calculera en fonction dep etq . ic)Pour tout entieri2 , établir l'existence du momentsupérieur ou égal àE(Y) d'ordreideY. 3.SoitX1 etX2deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans*, qui suivent la même loi géométrique N 2 de paramètrep. On pose :S1=X1,S2 =X1+X2 ,Y2 =.S 2 a)Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables aléatoiresS2 etY2. b)Établir l'existence de l'espéranceE(Y2) de la variable aléatoireY2 . c)Calculer cette espérance en fonction dep etq. * 4.(On considère une suiteXn)nÎ*de variables aléatoires à valeurs dans, indépendantes, de même loi N N n * S géométrique de paramètrep. Pour tout entiern de, onposeSn=Xn . N k=1 a)Calculer l'espéranceE(Snla variance) etV(Sn) dela variable aléatoireSn . * b)Montrer que la loi de probabilité de la variable aléatoireSn est donnée, pour tout entiers depar : N s-1n s-n sis<n,P(Sn=s0) =sis³n,P(Sn=s) =p q . n-1 n * 5.Pour tout entiern de, on poseYn =. N S n a)Préciser l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoireYn ainsi que la loi de probabilité deYn. b)Soitt[0 ; 1[ . Montrer que, pour tout un réel quelconque dem de, la série de terme général Z m sm s S s t( ,s t1 etEn déduire, en particulier, l'existence des moments d'ordreest convergente.) , ³1 2 2 ,E(Yn) etE(Ynla variable aléatoire) deYn . Partie IV . Une estimation ponctuelle du paramètrep . * Soitp un réel de]0 ; 1[ . Dans cette partie, on considère une variable aléatoire réelleX à valeurs dans, qui N suit une loi géométrique de paramètrep inconnu. On poseq= 1-p . Pour tout entier naturel non nuln, on considère unnéchantillon (X1;X2; .... ;Xn) devariables aléatoires à * valeurs dans, indépendantes, de même loi queX. N Les variables aléatoiresX;X1;X2; .... ;Xn( sont définies sur un même espace probabiliséW; ;P) . A 2/5
S n1 On poseXn= =. n Y n 1 1. Montrer quen.est un estimateur sans biais pour le paramètre p 1 Quel est le risque quadratique den? en p * 2.Pour tout entiern, on note dehn etjnapplications définies sur[0 ; 1[à valeurs danstelles les N R + ¥+ ¥ 1s-1s1s-1s que :"tÎ[0 ; 1[ ,hn(t) =t ,jn(t) =tSsSs ( )(-) n-12n1 s=n s=n 1 On admet dans toute la suite du problème, quehnque pour tout réelest de classeC ett de[0 ; 1[ , la + ¥ s-1s-1 dérivéeh'n dehnvérifie :h'n(t) =t . S ( ) n-1 s=n On admet également que la fonctionjnest dérivable surde dérivée]0 ; 1[ ,j'n, et que 1 pour touttde ]0; 1[ ,j'n(t) =hn(t) . t n æpö a) Montrer queE(Yn) =nhn(q) . ç ÷ q è ø q n-1 t Établir que, pour toutq[0 ; 1[ , on a : dehn(q) =òdt. n ( ) 01-t t b)À l'aide du changement de variabley= ,que l'on justifiera, montrer que 1-t q/p n-1 y pour toutqde [0, 1[ ,hn(q) =òdy . 1+y 0 En déduire, en utilisant une intégration parparties, que l'on peut écrire q/p n n q1y pour toutq[0 ; 1[, dehn(q) =+òdy . n-1 2 n pn(1+y) 0 * 3.Pour tout entiern, soit debn]0 ; 1[la fonction définie surà valeurs réelles qui, à tout réelp de N ]0 ; 1[associebn(p) =E(Yn)-p( .bnreprésente le biais deYnpour estimerp) q/p n n æpöy a) Montrer quebn(p) =òdy. ç ÷2 q(1+y) è ø 0 b) En déduire que la suite(bn(p) )nÎ*limest convergente et préciser sa limite. CalculerE(Yn) .c) À N n® + ¥ pqæ1 l'aide d'une intégration par parties, montrer l'égalité :bn(p) =+oç. nèn Partie V . Limite de la variance deYn. Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie IV. * 1. a)IV.2.b , montrer que, pour tout entierEn utilisant la formule établie dans la questionn, de N 3/5
n t hn(t) lorsquet tend vers 0 par valeurs supérieures. n q ( ) h t n b)En déduire que pour tout réelq de]0 ; 1[ , l'intégraledtconvergente et que est òt 0 q ( ) h t n jn(q) =dt . òt 0 t/(1-t) n *y 2. a)Pour tout entiern de, et pour tout réelt de ]0 ; 1[ , on poseHn(t) =dy . ò(1+y) N 2 0 æ( ) n-1 1tn Montrer que, pour toutt de]0 ; 1[ , on aj'n(t) =ç +n-1 n(1-t)t è q ( ) n b)Établir l'existence de l'intégraledtet en déduire l'égalité , òt 0 q q æ H(t) n-1 1tn ç jn(q) =dt+dt . nçò(1-t)òt n-1 è0 0 q q n H(t)h(q)H(t) n n+1æpön 3. a)0Établir l'encadrement suivant :£dt£limEn déduire .n dt= 0 òt n+1n® + ¥qòt ç ÷ è ø 0 0 q/p q n-1 n n ætöq2y b)Montrer, pour tout réelq]0 ; 1[ , l'égalité dedt= +òdyç ÷ òøè -p n+y n-2 3 1t n(1 ) 0 0 q n n-1 æpö ætö2 En déduire quelimn dt=pò ç ÷ ç ÷ n® + ¥qè1-tø è ø 0 c)On désigne parV(Yn) lavariance deYnlim. CalculerV(Yn) . n® + ¥ Partie VI . Un intervalle de confiance du paramètrepDans cette partie, le contexte est identique à celui des deux parties précédentes. 1. a)IV.3.c , montrer que, lorsque En utilisant le résultat de la questionntend vers+¥ : 2 2 22p qæ1 (E(Yn)) =p++oç. nèn 2 2 23p qæ1 b)On admet que, lorsquen tend vers+¥:E(Yn) =p ++oçnèn 2 p q Établir que, lorsquen+ tend vers¥ ,V(Yn) . n Y-p n * 2. Pour tout entiern, on pose deTn= . Np q 2 n
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On admet que la suite de variables aléatoires(Tn)nÎ*converge en loi vers une variable aléatoireT qui suit N la loi normale centrée, réduite. Cette question a pour objectif la détermination, pourn assez grand, d'un intervalle de confiance du paramètre inconnup, au risquea donné. Autrement dit, il s'agit de trouver des variables aléatoiresInetJn, fonctions deYntelles queP(In£p£Jn)= 1-a. a a)Soitaa , le réel strictement positif tel queP(T³aa)= .Pourn assez grand, on peut considérer que : 2 P(-aa£Tn£aa)= 1-a . æ q q En déduire l'égalité :P Y-a p£p£Y+a p= 1-a . ç nana èn n b)Montrer que l'on peut choisir les « statistiques »InetJnde la façon suivante : 2a2a 1 a1a In=Jn=+. Y-etY n n 3 3n3 3n c)On suppose quen= 900 . Un échantillon observéx1;x2; .... ;x900 de réalisations des variables aléatoires 900 1 900S X1;X2; .... ;X900 afourni le résultat suivant :x900=xi= 4. i=1 Calculer la réalisationy900 dela variable aléatoireY900 . On se donne un niveau de risquea = 0,05; le nombrea0,05est à peu près égal à2 . 2 Sachant que», trouver un intervalle de confiance 0,026réalisé qui contienne le paramètre 45 3 inconnup0,95 . avec un niveau de confiance au moins égal à
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