HEC 2005 mathematiques ii classe prepa hec (s)

Publié par

HEC 2005, math 2Dans tout le probl`eme, n et r d´esignent des entiers strictement positifs. On note M (R),n,rl’ensemble des matrices rectangulaires a` n lignes et r colonnes a` coefficients r´eels. Pour n =r, onpose M (R) =M (R).n n,n∗ nPour tout entier n deN , on identifieR et M (R).n,1tLa transpos´ee d’une matriceA appartenant `aM (R) est not´ee A. On pourra ´egalement la noternTA .On ´etudie dans ce probl`eme, quelques propri´et´es du mod`ele lin´eaire, qui constitue l’instrumentde base de l’´econom´etrie.Partie I : Trace et matrices al´eatoiresPour toute matrice M appartenant a` M (R), on appelle trace de M, not´ee tr(M), la somme dennXses coefficients diagonaux; ainsi, si M = (m ) , tr(M) = m .i,j 16i,j6n i,ii=1On rappelle les trois r´esultats suivants (que les candidats n’ont pas a` d´emontrer)• l’application tr qui, a` toute matrice M deM (R), associe sa trace, est une application lin´eairende M (R) dansR;n• si A est une matrice de M (R) et B une matrice de M (R), alors tr(AB) = tr(BA);n,r r,n• si M et N sont deux matrices semblables de M (R), alors tr(M) = tr(N).n1) SoitM une matricedeM (R) poss´edantq valeurs propres (16q6n) not´eesλ ,λ ,...,λ .n 1 2 qPour tout entier i de [[1,q]], on d´esigne par n la dimension du sous-espace propre associ´e a`ila valeur propre λ .iqXa) On suppose que la matrice M est diagonalisable surR. Montrer que tr(M) = n λ .i ii=1b)OnsupposequelamatriceM = (m ) deM (R)estsym´etrique.Montrerles´egalit´esi,j 16i,j6n ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 218
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
HEC 2005, math 2
Danstoutleprobl`eme,netrtposemens.Onitifonetd´igesntneesedeitntssrtcirMn,r(R), lensembledesmatricesrectangulairesa`nlignes etrclonocientsrnes`acoerulee´oP.sn=r, on poseMn(R) =Mn,n(R). n Pour tout entierndeN, on identifieRetMn,1(R). t Latranspos´eedunematriceAa`taprtpaanenMn(Re)ntsee´toAelemtnalonetr.Onpourra´ega T A. On´etudiedansceproble`me,quelquespropri´et´esduelildoe`rie´naem, qui constitue l’instrument debasedele´conom´etrie.
PartieI:Traceetmatricesale´atoires Pour toute matriceMtna`etanppraaMn(R), on appelle trace deM,(eetrnot´M), la somme de n X ses coefficients diagonaux; ainsi, siM= (mi,j)16i,j6n,tr(M) =mi,i. i=1 On rappelle)rertadstnaidelcsq(euemon`ad´tpasnonlerostr´islusestatviusstna tacilppalteouat,`uirqntioamrtcieMdeMn(Racilnoitnutsppaeen´liirea,)atrace,eassocies deMn(R) dansR; siAest une matrice deMn,r(R) etBune matrice deMr,n(R), alors tr(AB) = tr(BA) ; siMetNsont deux matrices semblables deMn(R), alors tr(M) = tr(N). 1)SoitMune matrice deMn(Rsspo)tne´adqvaleurs propres (16q6nnot´)seeλ1, λ2, . . . , λq. Pour tout entieride[1, qo,dne´isgnepar]]nisl-aedsipmaecnesiondusouosice´a`rppoersa la valeur propreλi. q X a)On suppose que la matriceMest diagonalisable surR. Montrer que tr(M) =niλi. i=1 b)On suppose que la matriceM= (mi,j)16i,j6ndeMn(Rtie´gelasse)mystrte´ueiqon.Mertrs´le suivantes : q nn X XX t 22 2 tr(M M) = tr(M) =niλ=mi,j i i=1i=1j=1 2)Pour tout entieride[1, n]] et pour tout entierjde[1, rseritoeal´saleabriva`dredeseo,cnnois]] re´ellesZi,jΩ´s(eibilorabcapenespsuruniesd´e,A, µlaO.)e´dntinmaictrl´eatoearieZ`,a nlignes etrcolonnes,enassota`tnaictuoωde Ω, la matrice :   Z1,1(ω). . .Z1,r(ω)     . Z(ω) =.=Zi,j(ω) 16i6n ... 16j6r Zn,1(ω)Z. . .n,r(ω) On suppose que lesnrs´eatoirelaselbairavZi,jadmenceepse´arteettnnuE(Zi,j,e)ndtone´ti lesp´erancedelamatriceZeE(ot´en,Z), comme la matrice deMn,r(Rstestlon)deneml´´e   sontlesespe´rancesE(Zi,j), soitE(Z) =E(Zi,j) . 16i6n 16j6r SiZetWa`seriotae´lsaceriatxmeutsdonnlignes etrcolonnes admettant chacune une esp´erance,etsiλno,lamertseee´rerqueraquE(λZ+W) =λE(Z) +E(W). Danslecasou`n=r, on appelle trace deZrt(´teeno,Zal´eablered´atoiinerapeavir,)al n X tr(Z) =Zi,iet sin=roire=1l,mataireclae´taZtaioerco¨ıncideaveclavariableal´eZ i=1 et on a tr(Z) =Z. t t Danslecaso`ur= 1 etnest quelconque, siT= (T1T. . .n) etW= (W1W. . .n) n sontdeuxvecteursale´atoiresdeR, et siλe,ond´euelconqunu´reeqletsruetltinceve n ale´atoireλT+WdeRpar : t λT+W= (λT1+W1. . .λTn+Wn)
a)SoitZera`nuematriceal´eatoinlignes etrseenre´pecnaoclonnesadmettantuE(Z). On conside`reunematriceAdeMr,n(R). Montrer queE(AZ) =AE(Z). SoitBntme´eel´nude Mr,q(R), avecqN. Montrer queE(ZB) =E(Z)B. ´ b)SoitZemunriaterioa`laectae´nlignes etnnnescoloceanerse´putenttnadaemE(Z). Etablir lesdeuxe´galite´s     t t E(Z) =E(Z) etEtr(Z) =trE(Z)   Y1 n   3)Dans cette question,Ydereoid´esignetcevnuetae´laruR´eot,nYadmettant= , . Yn uneespe´ranceE(Yot´eeariancenecnavoc-edeciravemunriatet)V(Y).    t On rappelle queV(Y) =E YE(Y)×YE(Y) . On admetmatadsleedavirecce-crianiancovaretee´rp´ipsorteeltionenilad´queV(Y) d’un vecteural´eatoirediscretrestentvalablespourunvecteural´eatoiredontlescomposantessont desvariablesale´atoiresquelconques(discre`tesou`adensite´).Ainsi,ensupposantquepour toutide[1, n]] et pour toutjde[1, nlebraiio´tlaaeel,]]ravaYiYjomnmeuedrdotdener`ssop 1aumoins,onde´nitlacovariancedeYietYjpar Cov(Yi, Yj) =E(YiYj)E(Yi)E(Yj), et siYietYjsontind´epend(ovsCorals,teanYi, Yj) = 0. nt t a)ertnoMertaiolae´etrutvecrtou,pourqueYdeR,V(Y) =E(Y Y)E(Y)E(Y). t b)SoitBune matrice deMr,n(Ritelr´gel)atJi.es´uV(BY) =BV(Y)B. ´ c)SoitAune matrice deMn(R). On posem=E(Y) etJ=V(Yel´slbriEat.)s:it´eegal   t tt t E(Y AY) = trAE(Y Y) etE(Y AY) = tr(AJ) +mAm
PartieII:Lemod`eleline´aire Dans les parties II.A et II.B,netksdtnontieeuxenn´ersdo´vreqsiu1tine6k < n. L’espace n vectorielRsesedinumtiressal´eatoavirbaeluoetlsseiqon.Tuennieanecueerdilcrtsautcu conside´re´essontde´niessurunespaceprobabilise´(Ω,A, µ) et admettent des moments d’ordre au moins 2. Onconsid`ereun´echantillondenidnvidisuxeidusndivsontnnodnoitiseC.ee´utdaitrlapupone d´ecritsa`laidedekvariables statistiques)sere`tca(carllesr´eeC1, C2, . . . , Ck. Pour tout entierj de[1, k]]c,act`erehaquecarCjfait l’objet deneossnon´eoterbstivax1,j, . . . , xn,j. k n Onde´nitainsiuneapplicationlin´eairefdeRdansR, dont la matrice dans les bases canoniques k n deRetRest la matriceX= (xi,j) deMn,k(R). On suppose que le rang deXe´agetsl`a 16i6n 16j6k k.   U1   n SoitUeed=eal´irtotcevaruenuR, dont les composantesU1, . . . , Unsont des variables . Un ale´atoiresre´ellesde´niessur(Ω,A, µolemnO.ippusesondpeteantdseˆeemllmetueudne´neit),m 2n queE(U) = 0netV(U) =σ Ino,u`0n´dsegienelevtcuenrluedR,Inlamatriceiditnede´te Mn(R) etσnruel´eristemctu.sotineptocnnfini   α1 k   Soitα= unvecteur non nul deRdont les composantesα1, . . . , αksont inconnues (α . αk estunparam`etrevectoriel)   Y1 n   Onconsid`ereunvecteurale´atoirenonnul,Y= deRtel que, pour toutide[1, n]], la . Yn k X variableal´eatoireYi´deinseruΩ(,A, µ)s´ecritYi=xi,jαj+Ui. j=1 2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.