HEC 2005 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2005La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.EXERCICE.nDans cet exercice,n est un entier supØrieur ou Øgal à 2. On noteE el space vectoriel R et Id apl plication identitØde E.L objet de l exercice est l Øtude des endomorphismes f de E vØri ant l’Øquation () :f f = 4IdA. Étude du cas n=2. p 1 12Soit f l endomorphisme de R dont la matrice dans la base canonique est : A = 21 1p 2 22 pSoit u le vecteur deR dØ…ni par u = .21. Montrer que f vØri e l’Øquation (), puis prØciser le noyau et l’image de f.2. On note F = ker(f 2Id) et G = Im(f 2Id):(a) Montrer que G est engendrØ par le vecteur u. En dØduire la dimension de F et donner une base de F.(b) VØri…er que G est le sous-espace propre de f associØ à la valeur propre 2.3. Montrer que f est diagonalisable; ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE. n Dans cet exercice,nOn noteest un entier supérieur ou égal à 2.Elespace vectorielRetIdlapplication identité deE. Lobjet de lexercice est létude des endomorphismesfdeEvériant léquation() :ffId= 4
A. Étude du casn= 2.   p 1 1 2 Soitflendomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique est :A= 2 11 p22 2 p Soitule vecteur deRdéni paru=. 2
1. Montrerquefvérie léquation(), puis préciser le noyau et limage def.
2. OnnoteF= ker(f2 Id)etG(= Imf2Id):
(a) MontrerqueGest engendré par le vecteuru. Endéduire la dimension deFet donner une base deF. (b) VérierqueGest le sous-espace propre defassocié à la valeur propre2.
3. Montrerquefest diagonalisable; préciser les valeurs propres defet donner la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.
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B. Étude du cas général. On se place désormais dans le cas oùnest supérieur ou égal à2, et on considère un endomorphismefdeE vériant léquation().
1 1. (a)Justier quefest un automorphisme deEet exprimer lautomorphisme réciproquefen fonction de f: (b) Déterminerles valeurs propres possibles def. (c) Vérierque2 Idet2 Idsatisfont léquation(). On suppose dans la suite de lexercice quef6Id= 2f etf6=2 Idet on noteF(= kerf2 Id)et G(= Imf2Id):
2. Soitxun élément deEque. Montrer(f(x)2x)appartient àker (f+ 2 Id)et que(f(x) + 2x)appartient àF. En déduire queGker (f+ 2 Id)et queIm (f+ 2Id)F. Montrer que2et2sont les valeurs propres def
3. Soitxun vecteur deker (f+ 2 Id).
(a) Exprimer(f2 Id) (x)en fonction dexuniquement. En déduire quexappartient àG, puis queG(= kerf+ 2 Id) (b) Montrerquefest diagonalisable.
PROBLÈME. Dans tout le problème,ndésigne un entier naturel non nul. On considère une urne blanche contenantnboules blanches numérotées de 1 ànet une urne noire contenant nboules noires numérotées de 1 àn, dans lesquelles on e¤ectue des suites de tirages.À chaque tirage, on tire simultanément et au hasard une boule de chaque urne.On obtient ainsi à chaque tirage, deux boules, une blanche et une noire. On dira quon a obtenu une paire lors dun tirage, si la boule blanche et la boule noire tirées portent le même numéro.
Partie I. Tirages avec remise 1. Danscette question, on e¤ectue les tirages avec remise jusquà ce que lon obtienne pour la première fois une paire.
(a) Préciserlespace probabilisé(; A; P)qui modélise cette expérience. (b) OnnoteYla variable aléatoire égale au nombre de tirages (de deux boules) e¤ectués. Déterminer la loi deY; donner son espérance et sa variance. 2. Écrireen Pascal une fonction dont len-tête estpgrml (n :integer): integerqui modélise lexpérience précédente. 3. Danscette question, on suppose quen= 2e¤ectue des tirages avec remise jusquà ce que lon obtienne. On pour la première fois la boule blanche numérotée 1.On noteUla variable aléatoire égale au nombre de tirages e¤ectués, etZla variable aléatoire égale au nombre de paires obtenues à lissue de ces tirages. (a) Calculer,pour toutkdeN,P(U=k). En déduire la probabilité que lon nobtienne jamais la boule blanche numéro 1. Reconnaître la loi deU. (b) Déterminerla loi conjointe du couple(U; Z).
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  `   +1 P1 ` (c) Montrerque, pour toutkdeN,P(Z=k) = k 4 `=k (d) CalculerP(Z= 1). 1 Montrer queP(Z= 0) = 3 (e) Enutilisant la formule dite du triangle de Pascal et le résultat de la question c) pourk=i+ 1, justier, pour toutideN, légalité : 1 1 P(Z=i+ 1) =P(Z=i+ 1) +P(Z=i) 4 4 (f) Endéduire la loi deZ.
Partie II. Tirages sans remise. Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans les deux urnes, jusquà ce que les urnes soient vides.On noteXnle nombre de paires obtenues à lissue desntirages.
A. Étude de cas particuliers. 1. Déterminerla loi deX1: 2. Onsuppose dans cette question quen= 2. Combien y a-t-il de résultats possibles ?Quelles sont les valeurs prises parX2? On précisera pour chaque valeur prise parX2, lensemble des événements élémentaires permettant de lobtenir. En déduire la loi deX2.
B. Étude du cas général. On se place dans le cas oùnest un entier naturel non nul.
1. (a)Décrire luniversdes événements observables. (b) Déterminerle nombre total de suites de tirages possibles. (c) Déterminerlensemble des valeurs prises parXn. Pour tout entier naturelk, on notea(n; k)le cardinal def!2jXn(!) =kg. Parconvention,a(0;0) = 1. n P 2. (a)Préciser la valeur dea(n; j) j=0 (b) Déterminera(n; n)eta(n; n1). 3. (a)Justier, pour tout entierjtel que06j6n, légalité suivante :   a(n; j)n a(nj;0) = n!j(nj)! En déduire la relation :   n X n a(j;0) =n! j j! j=0 Donner lexpression dea(n;0)en fonction des nombres(a(j;0)) 06j6n1 (b) Soitkun entier compris entre1etnetiun entier compris entre0etk1.    j kk ki Justier légalité :=, puis montrer que i ji ji k   X j k j (1) =0 i j j=i
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En déduire la valeur de la somme : k1   X j k j (1) i j j=i 4. (a)Soitkun entier tel que16k6n. On suppose que, pour tout entierjcompris entre0etk1, on a leskégalités : j  X j ji a(j;0) =j! (1)i! i i=0 Montrer légalité :   k X k ki a(k;0) =k! (1)i! i i=0 (On pourra utiliser lexpression, pourn=k, dea(n;0)trouvée dans la question3.a) (b) Endéduire, pour tout entier naturel non nulk, la valeur dea(k;0). (c) Déterminerlensemble des valeurs prises parXnet exprimer la loi deXnà laide dune somme.
Partie III. Tirages mixtes Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans lurne blanche et avec remise dans lurne noire, jusquà ce que lurne blanche soit vide.On noteXn, le nombre de paires obtenues à lissue desntirages. 1. (a)Montrer queXnsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Donner,sans démonstration, lespérance et la variance deX. n On désire modéliser cette expérience.On suppose quenest une constante xée. 2. Dénirun type tableau denentiers notétab, puis deux variables de typetab, dont les identicateurs sont blanc et noir. 3. (a)Soit s un tableau de typetabune procédure dont len-tête est. ÉcrireECHANGE(Var s :tab ; i, j: integer)qui échange les élémentss[i]ets[j]du tableaus. (b) Onconsidère les lignes de programme suivantes utilisant la procédureECHANGE. Begin For i :=1 to n do blanc[i] :=i; For i :=1 to n-1 do Begin j :=RANDOM(n+l-i)+i ; ECHANGE(blanc,i,j) ; end ; writeln; For i :=1 to n do write(blanc[i], ) end. Expliquer le fonctionnement de ce programme et son résultat. On précisera ce qui se passe au premier passage puis aui-ème passage dans la deuxième boucleFor, et en particulier, la raison pour laquelle on écrit linstructionj :=RANDOM(n+i-i)+i. (c) Construireune procédure qui sappelleraINITIALISEpermettant de simuler le tirage sans remise et au hasard desnboules numérotées, en mettant dans la variables[i]le numéro de lai-ème boule tirée (On pourra sinspirer de la question précédente). 4. Écrireun programme complet permettant de simuler lexpérience de cette partie III lorsquen= 20, puis de donner la valeur deXn(Il nest pas nécessaire ici de recopier les procéduresECHANGEetINITIALISE).
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