HEC 2006 concours Maths 2, S

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HEC 2006 concours Maths 2, S

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESII Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Le problème a pour objet létude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles dun polynôme de degrén, (n>1Dans les parties II et III, les polynômes considérés), à coe¢ cients réels xés ou aléatoires. sont à coe¢ cients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.Pour toute fonction0 dérivable sur son domaine de dénition, la dérivée deest notéequatre parties du problème sont, dans. Les une large mesure, indépendantes.
Partie I : Nombre de racines réelles dun polynôme du second degré à coe¢-cients aléatoires
On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réellesX0etX1dénies sur le même espace probabilisé (;A; P), indépendantes et de même loi.Pour tout!de, on considère le polynômeQ!dindéterminéey, déni par : 2 Q!(y) =y+X1(!)y+X0(!) On désigne parM(w)le nombre de racines réelles deQ!.
1. Montrerque lapplicationMqui, à tout!deassocieM(!), est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
2. SoitZune variable aléatoire dénie sur(;A; P), qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(p2]0;1[). On suppose dans cette question queX0etX1suivent la même loi que2Z1.
(a) Déterminerla loi deX0.
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(b) Déterminerla loi deMet calculer son espéranceE(M). Dans les questions suivantes, on suppose queX0etX1suivent une même loi exponentielle de paramètre 1=2. 2 On pose :Y=4X ; Y=X ; Y=Y+Y, et on noteFF ;, les fonctions de répartition de 0 01 11 0Y0FY, etY 1 Y0,Y1etY, respectivement. 3. Montrerque lon a, pour tout x réel   p x=2 1esix >0 1six>0 F(x) = Y1etFY(x) =x=8 0 0six60esix <0 En déduire lexpression ddeYet dune densitéf Y1deY1. une densitéfY00   p 1 1t 4. Soitgla fonction dénie surRparg(t) =p exp+t, oùexpdésigne la fonction exponen-+ t2 4 tielle. +1 Z (a) Etablirla convergence de lintégrale impropreg(t)dt. 0 (b) Endéduire quune densitéfYde la variable aléatoireYest donnée, pour toutxréel, par : 8 +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix <0 > <32 0 fY(x) = +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix>0 > :32 x 5. Ondésigne parla fonction de répartition dune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. +1 Z p (a) Justierla validité du changement de variableu=tdans lintégrale impropreg(t)dt. 0 +1+1 Z Z p2 v =2 (b) Endéduire queg(t)dt= 4e edv, et donner, pour tout réelxnégatif, lexpression defY(x) 0 1 en fonction de. p p 2e x x=8 (c) Montrerque, pour tout réelxpositif, on a :fY(x) =e11 +. 8 2 (d) Déterminerla loi deMet son espéranceE(M)(on fera intervenir le nombre(1).
Partie II : Suites de Sturm
n n1 Soitnun entier supérieur ou égal à1, et soitP(X) =X+an1X+  +a1X+a0un polynôme normalisé (an= 1On suppose que toutes les racines réelles de) donné, à coe¢ cients réels.Psont simples. Lobjectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP appartenant à un intervalle donné[a; b]. 0 On associe au polynômePla suite(Ri)i>0de polynômes dénie de la manière suivante :R0=P; R1=P, et pour tout entierjtel queRj+16= 0, le polynômeRj+2est lopposé du reste de la division euclidienne deRjpar R. SiR= 0, on poseR= 0. j+1j+1j+2
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1. Montrerquil existe un entierk(k>2), tel queRk= 0. OnnoteRm(m>1), le dernier polynôme non nul de la suite(Ri)i>0. Dans toute cette partie, on pose : 8 R=S RR 0 11 2 R=S >1 2R2R3 < . Rm2=Sm1Rm1Rm > : R=S R m1m m 2. (a)Montrer que sil existe un entierjde[0; m1]]et un réelx0tels queRj(x0) =Rj+1(x0) = 0, alors 0 P(x0) =P(x0) = 0. (b) Endéduire que le polynômeRmnadmet pas de racine réelle. (c) Soitjun entier de[1; m1]]que si. Montrerx0est une racine réelle deRj, alorsRj1(x0)Rj+1(x0)< 0. 3. Soits= (s1; s2; : : : ; st)unet-liste (t>2On ôte de) de nombres réels non tous nuls.stous les éléments nuls en préservant lordre, et on obtient ainsi unep-liste (p6t)sb= (sb1; sb2; : : : ; sbp). On appellenombre de changements de signe des, le nombre déléments de lensembleEdéni par : E=fi2[1; p1]]; =sbisid+1<0g: Sip= 1, on dit que le nombre de changements de signe est nul. Par exemple, sis= (0;3;0;5;3;2), on a :sb= (3;5;3;2), et le nombre de changements de signe est égal à2. Pourtout réelx, on note respectivementC1(x); C2(x)etC(x), le nombre de change-ments de signe du couple(R0(x); R1(x)), de lam-liste(R1(x); R2(x); : : : ; Rm(x)), et de la(m+ 1)-liste (R0(x); R1(x); R2(x); : : : ; Rm(x)). On désigne parx0une racine réelle du polynômeP. (a) En étudiant les variations dePau voisinage dex0, montrer quil existe un réel1>0tel que, si h2]0; [, on a :C(x+h)C(xh) = 1. 1 10 10 (b) Àlaide de la question2.c, montrer quil existe un réel2>0tel que, sih2]0; 2[, on a :C2(x0+ h) =C2(x0h)soit,(on distinguera les deux éventualités :x0nest racine daucun des polynômes R1; R2; : : : ; Rm, soit, il existe un entierjde[1; m1]]tel queRj(x0) = 0). (c) Déduiredes deux questions précédentes que pour= min(1; 2)eth2]0; [, on aC(x0+h)C(x0h) = 1, et que siaetbsont deux réels qui ne sont pas racines dePet qui vérienta < b, alors le nombre de racines réelles dePdans[a; b]est égal àC(b)C(a).
4. (a)Soitune racine (réelle ou complexe) deP. n1 X n n1 Montrer que sijj>1, alorsjj6jjj akj. k=0 n1 X En déduire, pour toute racinedeP, linégalité :jj61 +jkj. k=0 (b) Ecrireen français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP. 5. Ondénit en Pascal const n = ..., Type tab=array[1..n] of real; Var T : tab ; Ecrire une fonction Pascal dont len-tête estFunction nbchgs(T:tab):integerqui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels(T[1] , T[2], ..., T[n] ). On tiendra compte du fait que le tableauTpeut contenir des éléments nuls.La fonctionnbchgsnutilisera que le tableauTOn expliquera en français la démarche utilisée.et aucun autre tableau auxiliaire.
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Partie III : Un majorant du nombre de racines réelles deP m m1? SoitVun polynôme deRtel queV(X) =vmX+vm1X+  +v1X+v0. OnnoteVle polynôme réciproque m m1 du polynômeV, déni par :V(X) =voX+v1X+  +vm1X+vm. Soitnun entier deNconsidère lapplication. OnTqui, à tout polynômePde degrén, normalisé, à coe¢ cients n n10 réels,P(X) =X+an1X+  +a1X+a0, associe le polynômeT(P)déni parT(P)(X) =XP(X). On désigne parN0(P)le nombre de racines non nulles dePdans lintervalle[1;1]comptées avec leurs ordres de multiplicité, parN1(P)le nombre de racines dePdans] 1;1][[1;+1[comptées avec leurs ordres de multiplicité, et parN(P)le nombre de racines réelles dePcomptées avec leurs ordres de multiplicité.   k 1. (a)Etablir, à laide du théorème de Rolle, linégalité :N1(P)6N1T(P2) +. k (b) PourtoutkdeN, on poseT=TT    T(kfois).   k Montrer queN1(P)6N1T(P) +2k. 1 ? n 2. (a)Montrer que pour tout réelxnon nul, on aP(x) =x P. x (b) MontrerqueN1(P) =N0(P) 3. Pourtout réelxet pour tout entier naturelknon nul, on pose :     k kk 1 2n1 2n1 Qk(x) = 1 +an11x+an21x+  +a11x n nn   ? k k Montrer queT(P) =n Qk. y 4. (a)Etablir, pour tout réelyde[0;1], linégalité :(1y)e61. (b) On admet la propriété suivante :soitretdeux réels tels que0< r < . OnnoteDp=fz2 C=jzj6g. SoitUun polynôme deRtel queU(0)6= 0. Soitun réel strictement positif tel que pour toutzde Dp,jU(z)j6. Alors,le nombre de racines réelles deUcomptées avec leurs ordres de multiplicité, dans lintervalle[r; r], est majoré par le réel :   1 ln: jU(0)j ln r k=nEn appliquant cette propriété au polynômeQkavecr= 1et=e, (k2N), déduire des questions n1 X n précédentes que pour toutkdeN, on a :N1(P)62k+ ln(L(P)), avecL(P) = 1 +jaij: k i=0 (c) Soitla fonction dénie surRpar :(x) = 2x+, oùest un paramètre réel positif. + x i. Etudierles variations de. pp ii. Montrerque(=2 + 1)62 + 22. p iii. Endéduire linégalité :N1(P)622 + 2nln (L(P)). (d) Ensupposanta06= 0, on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que : s   L(P) N0(P)622 + 2nln ja0j Conclure en donnant un majorant deN(P), fonction des coe¢ cientsa0; a1; : : : ;an1.
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Partie IV : Nombre de racines réelles dun polynôme de degréncientsà coe¢ aléatoires
Pournentier supérieur ou égal à2, on considère dans cette partie, les variables aléatoires réellesX1; X2; :::; Xn1 dénies sur le même espace probabilisé(;A; P), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre, strictement positif. Pour tout!de, on considère le polynômeQ!, dindéterminéey, déni par :
n n1 Q!(y) =y+Xn1y+  +X1(!)y+ 1
SoitMn(!)le nombre de racines réelles deQ!admet que lapplication. OnMn:!7!Mn(!)est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
n1 X 1. Ondénit la variable aléatoireLnpar :Ln= 2 +Xi. SoitZn=Ln2la loi de. RappelerZn. i=1 2. laidedes résultats de la partieIII, montrer que pour tout!de, on a : pp Mn(!)64 + 42nln (Zn(!) + 2)
2 3. Soithune fonction de classeC, concave surR+. SoitWune variable aléatoire dénie sur(;A; P), à valeurs dansNsuppose lexistence des espérances. OnE(W)etE(h(W)). 0 (a) Montrerque, pour tout couple(x0; x)de réels positifs, on a :h(x)6h(x0)(xx0) +h(x0). (b) Enprenantx0=E(W), établir linégalité suivante :E((h(W))6h(E(W)). p 4. (a)Montrer que la fonction'dénie surR+par'(xln() =x+ 2)est concave surR+. k p a (b) Soitaun réel positif.Montrer que la série de terme généralln(k+ 2)est convergente. k! 5. (a)Prouver lexistence de lespéranceE(Mn). (b) Montrerque, pour tout réelstrictement supérieur à1=2, on a : E(Mn) lim =0 n n!+1
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