HEC 2006 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Le problŁme a pour objet l’Øtude de quelques propriØtØs concernant le nombre de racines rØelles d’un polyn mede degrØ n, (n > 1), à coe¢ cients rØels …xØs ou alØatoires. Dans les parties II et III, les polyn mes considØrØssont à coe¢ cients rØels et on pourra confondre polyn me et fonction polynomiale associØe. Pour toute fonction 0dØrivable sur son domaine de dØ nition, la dØrivØe de est notØe . Les quatre parties du problŁme sont, dansune large mesure, indØpendantes.Partie I : Nombre de racines rØelles d’un polynôme du second degrØ à coe¢ -cients alØatoiresOn considŁre dans cette partie, deux variables alØatoires rØelles X et X dØ…nies sur le mŒme espace probabilisØ0 1( ;A;P), indØpendantes et de mŒme loi. Pour ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESII Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Le problème a pour objet létude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles dun polynôme de degrén, (n>1Dans les parties II et III, les polynômes considérés), à coe¢ cients réels xés ou aléatoires. sont à coe¢ cients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.Pour toute fonction0 dérivable sur son domaine de dénition, la dérivée deest notéequatre parties du problème sont, dans. Les une large mesure, indépendantes.
Partie I : Nombre de racines réelles dun polynôme du second degré à coe¢-cients aléatoires
On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réellesX0etX1dénies sur le même espace probabilisé (;A; P), indépendantes et de même loi.Pour tout!de, on considère le polynômeQ!dindéterminéey, déni par : 2 Q!(y) =y+X1(!)y+X0(!) On désigne parM(w)le nombre de racines réelles deQ!.
1. Montrerque lapplicationMqui, à tout!deassocieM(!), est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
2. SoitZune variable aléatoire dénie sur(;A; P), qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(p2]0;1[). On suppose dans cette question queX0etX1suivent la même loi que2Z1.
(a) Déterminerla loi deX0.
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(b) Déterminerla loi deMet calculer son espéranceE(M). Dans les questions suivantes, on suppose queX0etX1suivent une même loi exponentielle de paramètre 1=2. 2 On pose :Y=4X ; Y=X ; Y=Y+Y, et on noteFF ;, les fonctions de répartition de 0 01 11 0Y0FY, etY 1 Y0,Y1etY, respectivement. 3. Montrerque lon a, pour tout x réel   p x=2 1esix >0 1six>0 F(x) = Y1etFY(x) =x=8 0 0six60esix <0 En déduire lexpression ddeYet dune densitéf Y1deY1. une densitéfY00   p 1 1t 4. Soitgla fonction dénie surRparg(t) =p exp+t, oùexpdésigne la fonction exponen-+ t2 4 tielle. +1 Z (a) Etablirla convergence de lintégrale impropreg(t)dt. 0 (b) Endéduire quune densitéfYde la variable aléatoireYest donnée, pour toutxréel, par : 8 +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix <0 > <32 0 fY(x) = +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix>0 > :32 x 5. Ondésigne parla fonction de répartition dune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. +1 Z p (a) Justierla validité du changement de variableu=tdans lintégrale impropreg(t)dt. 0 +1+1 Z Z p2 v =2 (b) Endéduire queg(t)dt= 4e edv, et donner, pour tout réelxnégatif, lexpression defY(x) 0 1 en fonction de. p p 2e x x=8 (c) Montrerque, pour tout réelxpositif, on a :fY(x) =e11 +. 8 2 (d) Déterminerla loi deMet son espéranceE(M)(on fera intervenir le nombre(1).
Partie II : Suites de Sturm
n n1 Soitnun entier supérieur ou égal à1, et soitP(X) =X+an1X+  +a1X+a0un polynôme normalisé (an= 1On suppose que toutes les racines réelles de) donné, à coe¢ cients réels.Psont simples. Lobjectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP appartenant à un intervalle donné[a; b]. 0 On associe au polynômePla suite(Ri)i>0de polynômes dénie de la manière suivante :R0=P; R1=P, et pour tout entierjtel queRj+16= 0, le polynômeRj+2est lopposé du reste de la division euclidienne deRjpar R. SiR= 0, on poseR= 0. j+1j+1j+2
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1. Montrerquil existe un entierk(k>2), tel queRk= 0. OnnoteRm(m>1), le dernier polynôme non nul de la suite(Ri)i>0. Dans toute cette partie, on pose : 8 R=S RR 0 11 2 R=S >1 2R2R3 < . Rm2=Sm1Rm1Rm > : R=S R m1m m 2. (a)Montrer que sil existe un entierjde[0; m1]]et un réelx0tels queRj(x0) =Rj+1(x0) = 0, alors 0 P(x0) =P(x0) = 0. (b) Endéduire que le polynômeRmnadmet pas de racine réelle. (c) Soitjun entier de[1; m1]]que si. Montrerx0est une racine réelle deRj, alorsRj1(x0)Rj+1(x0)< 0. 3. Soits= (s1; s2; : : : ; st)unet-liste (t>2On ôte de) de nombres réels non tous nuls.stous les éléments nuls en préservant lordre, et on obtient ainsi unep-liste (p6t)sb= (sb1; sb2; : : : ; sbp). On appellenombre de changements de signe des, le nombre déléments de lensembleEdéni par : E=fi2[1; p1]]; =sbisid+1<0g: Sip= 1, on dit que le nombre de changements de signe est nul. Par exemple, sis= (0;3;0;5;3;2), on a :sb= (3;5;3;2), et le nombre de changements de signe est égal à2. Pourtout réelx, on note respectivementC1(x); C2(x)etC(x), le nombre de change-ments de signe du couple(R0(x); R1(x)), de lam-liste(R1(x); R2(x); : : : ; Rm(x)), et de la(m+ 1)-liste (R0(x); R1(x); R2(x); : : : ; Rm(x)). On désigne parx0une racine réelle du polynômeP. (a) En étudiant les variations dePau voisinage dex0, montrer quil existe un réel1>0tel que, si h2]0; [, on a :C(x+h)C(xh) = 1. 1 10 10 (b) Àlaide de la question2.c, montrer quil existe un réel2>0tel que, sih2]0; 2[, on a :C2(x0+ h) =C2(x0h)soit,(on distinguera les deux éventualités :x0nest racine daucun des polynômes R1; R2; : : : ; Rm, soit, il existe un entierjde[1; m1]]tel queRj(x0) = 0). (c) Déduiredes deux questions précédentes que pour= min(1; 2)eth2]0; [, on aC(x0+h)C(x0h) = 1, et que siaetbsont deux réels qui ne sont pas racines dePet qui vérienta < b, alors le nombre de racines réelles dePdans[a; b]est égal àC(b)C(a).
4. (a)Soitune racine (réelle ou complexe) deP. n1 X n n1 Montrer que sijj>1, alorsjj6jjj akj. k=0 n1 X En déduire, pour toute racinedeP, linégalité :jj61 +jkj. k=0 (b) Ecrireen français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP. 5. Ondénit en Pascal const n = ..., Type tab=array[1..n] of real; Var T : tab ; Ecrire une fonction Pascal dont len-tête estFunction nbchgs(T:tab):integerqui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels(T[1] , T[2], ..., T[n] ). On tiendra compte du fait que le tableauTpeut contenir des éléments nuls.La fonctionnbchgsnutilisera que le tableauTOn expliquera en français la démarche utilisée.et aucun autre tableau auxiliaire.
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Partie III : Un majorant du nombre de racines réelles deP m m1? SoitVun polynôme deRtel queV(X) =vmX+vm1X+  +v1X+v0. OnnoteVle polynôme réciproque m m1 du polynômeV, déni par :V(X) =voX+v1X+  +vm1X+vm. Soitnun entier deNconsidère lapplication. OnTqui, à tout polynômePde degrén, normalisé, à coe¢ cients n n10 réels,P(X) =X+an1X+  +a1X+a0, associe le polynômeT(P)déni parT(P)(X) =XP(X). On désigne parN0(P)le nombre de racines non nulles dePdans lintervalle[1;1]comptées avec leurs ordres de multiplicité, parN1(P)le nombre de racines dePdans] 1;1][[1;+1[comptées avec leurs ordres de multiplicité, et parN(P)le nombre de racines réelles dePcomptées avec leurs ordres de multiplicité.   k 1. (a)Etablir, à laide du théorème de Rolle, linégalité :N1(P)6N1T(P2) +. k (b) PourtoutkdeN, on poseT=TT    T(kfois).   k Montrer queN1(P)6N1T(P) +2k. 1 ? n 2. (a)Montrer que pour tout réelxnon nul, on aP(x) =x P. x (b) MontrerqueN1(P) =N0(P) 3. Pourtout réelxet pour tout entier naturelknon nul, on pose :     k kk 1 2n1 2n1 Qk(x) = 1 +an11x+an21x+  +a11x n nn   ? k k Montrer queT(P) =n Qk. y 4. (a)Etablir, pour tout réelyde[0;1], linégalité :(1y)e61. (b) On admet la propriété suivante :soitretdeux réels tels que0< r < . OnnoteDp=fz2 C=jzj6g. SoitUun polynôme deRtel queU(0)6= 0. Soitun réel strictement positif tel que pour toutzde Dp,jU(z)j6. Alors,le nombre de racines réelles deUcomptées avec leurs ordres de multiplicité, dans lintervalle[r; r], est majoré par le réel :   1 ln: jU(0)j ln r k=nEn appliquant cette propriété au polynômeQkavecr= 1et=e, (k2N), déduire des questions n1 X n précédentes que pour toutkdeN, on a :N1(P)62k+ ln(L(P)), avecL(P) = 1 +jaij: k i=0 (c) Soitla fonction dénie surRpar :(x) = 2x+, oùest un paramètre réel positif. + x i. Etudierles variations de. pp ii. Montrerque(=2 + 1)62 + 22. p iii. Endéduire linégalité :N1(P)622 + 2nln (L(P)). (d) Ensupposanta06= 0, on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que : s   L(P) N0(P)622 + 2nln ja0j Conclure en donnant un majorant deN(P), fonction des coe¢ cientsa0; a1; : : : ;an1.
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Partie IV : Nombre de racines réelles dun polynôme de degréncientsà coe¢ aléatoires
Pournentier supérieur ou égal à2, on considère dans cette partie, les variables aléatoires réellesX1; X2; :::; Xn1 dénies sur le même espace probabilisé(;A; P), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre, strictement positif. Pour tout!de, on considère le polynômeQ!, dindéterminéey, déni par :
n n1 Q!(y) =y+Xn1y+  +X1(!)y+ 1
SoitMn(!)le nombre de racines réelles deQ!admet que lapplication. OnMn:!7!Mn(!)est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
n1 X 1. Ondénit la variable aléatoireLnpar :Ln= 2 +Xi. SoitZn=Ln2la loi de. RappelerZn. i=1 2. laidedes résultats de la partieIII, montrer que pour tout!de, on a : pp Mn(!)64 + 42nln (Zn(!) + 2)
2 3. Soithune fonction de classeC, concave surR+. SoitWune variable aléatoire dénie sur(;A; P), à valeurs dansNsuppose lexistence des espérances. OnE(W)etE(h(W)). 0 (a) Montrerque, pour tout couple(x0; x)de réels positifs, on a :h(x)6h(x0)(xx0) +h(x0). (b) Enprenantx0=E(W), établir linégalité suivante :E((h(W))6h(E(W)). p 4. (a)Montrer que la fonction'dénie surR+par'(xln() =x+ 2)est concave surR+. k p a (b) Soitaun réel positif.Montrer que la série de terme généralln(k+ 2)est convergente. k! 5. (a)Prouver lexistence de lespéranceE(Mn). (b) Montrerque, pour tout réelstrictement supérieur à1=2, on a : E(Mn) lim =0 n n!+1
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