HEC 2007 mathematiques 1 classe prepa hec (s)

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6HEC 2007, math 1, option SPour tout entier n sup´erieur ou ´egal a` 2, on note M (R) l’espace vectoriel des matrices carr´eesnd’ordre n `a coefficients r´eels, I la matrice identit´e, et M (R) l’espace vectoriel des matrices `an,1nn lignes et 1 colonne. On confondM (R) etR .n,1Pr´eliminairesSoit E un espace vectoriel r´eel. On appelle norme sur E, toute application ν de E dans R+v´erifiant :i.ν(x) = 0 si et seulement si x = 0;ii. pour tout λ r´eel, pour tout x de E : ν(λx) =|λ|ν(x);2iii. pour tout couple (x,y) de E : ν(x+y)6v(x)+v(y).nMontrer que l’application || || de R `a valeurs dans R d´efinie par : pour tout vecteur∞ + x1. n n .X = deR ,||X|| = max |x|, est une norme surR .∞ i.16i6nxnPartie IA. Une norme sur M (R)n1) Montrer que l’application qui, `a toute matrice A = (a ) de M (R), associe le r´eeli,j nn Xmax |a | , d´efinit une norme surM (R). La norme de A sera not´ee||A||.i,j n16i6nj=1n´2)a)Etablir pour tout X deR , l’in´egalit´e :||AX|| 6||A||×||X|| .∞ ∞nb)Montrer qu’il existe un vecteur X deR , non nul, tel que||AX || =||A||×||X || .0 0 ∞ 0 ∞||AX||∞En d´eduire que||A|| = sup .n ||X||X∈R ,X=0 ∞2´c) Etablir alors que pour tout couple (A,B) de M (R) , on a||AB||6||A||×||B||.nOn dit qu’une suite (A ) de matrices deM (R) converge vers une matriceA deM (R)m m>0 n nsi lim ||A −A|| = 0. On pose A = a (m) et A = (a ) .m m i,j i,j 16i,j6n16i,j6nm→+∞23)a)Montrer que (A ) converge vers A si et seulement si pour tout (i,j) de [1,n]] :m ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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HEC 2007, math 1, option S Pour tout entiernupsri´eroeuge´ua`lano,2etonMn(R)leevecspacleedotirirecmstaeer´arscs d’ordrenle,sceoca`e´rstneiItairecdilmaetentit´e,Mn,1(Rceveirotel)capscerias`deelatsm n nlignes et 1 colonne. On confondMn,1(R) etR. Pre´liminaires SoitEpanOlleproneusemecevritor´ell.eeracspneuE, toute applicationνdeEdansR+ ve´riant: i.ν(x) = 0 si et seulement six= 0 ; ii.pour toutλopruee,lr´ottuxdeE:ν(λx) =|λ|ν(x) ; 2 iii.pour tout couple (x, y) deE:ν(x+y)6v(x) +v(y). n Montrer que l’application|| ||deRva`asdsnaelruR+rutveucrtteuor:poiepae´nd   x1 n n   X= deR,||X||= max|xi|, est une norme surR. . 16i6n xn Partie I
A. Unenorme surMn(R) 1)aellippticaquona`,ituottameecirMnortreuqA= (ai,j) deMn(Rel,)er´ecielasso n   X max|ai,j|mrserunonetunied´,Mn(R). La norme deAranot´eese||A||. 16i6n j=1 n ´ 2)a)Etablir pour toutXdeRga´ein,le:t´li||AX||6||A|| × ||X||. n b)Montrer qu’il existe un vecteurX0deR, non nul, tel que||AX0||=||A|| × ||X0||. ||AX||End´eduireque||A||= sup. XR,X6=0||X||n   2 ´ c)Etablir alors que pour tout couple (A, B) deMn(R) ,on a||AB||6||A|| × ||B||. On dit qu’une suite(Am)m>0de matrices deMn(R)converge vers une matriceAdeMn(R)   silim||AmA||= 0. On poseAm=ai,j(m)etA= (ai,j)16i,j6n. 16i,j6n m+2 3)a)Montrer que (Am)m>0converge versAsi et seulement si pour tout (i, j) de[1, n]] : limai,j(m) =ai,j. m+b)Montrer que si (Am)m>0converge versAet (Bm)m>0converge versB, alors (AmBm)m>0 converge versAB. 4)SoitAde´nuel´ementMn(R) tel que||A||<1 m a)imr´lDnemieretA. m+b)Montrer que siλellde´reepoerurprvaletuneesA, alors|λ|<reuielqumaesictrsenE.1de´d IAetI+Asont inversibles.   m X k c)Montrer que la suiteAconverge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice m k=0 A. Soit(Am)m>0une suite de matrices deMn(R)On.edeire´saleuqtidn´eraltermeg´eAm(qu’on p   X X noteraAm) converge, si la suiteAmconverge. p m>0m=0 +X Danscecas,salimiteestnote´eAm. m=0
5)unnoelltrmaenicontine,uteetuqseredenacsnconsid`ONdeMn(R´eiq´)etreiiu´vorrplepa p p1 suivante : il existe un entierpieerp´suga´eouur`l2aetqleuN= 0 etN6= 0. +X X 1 1 k k a)Montreeuqr´saleireNconverge. On noteM=N. k!k! k>0k=0 n n b)Montrer que{XR/(MI)X= 0}={XR/N X= 0}. X 1 k 6)a)SoitDune matrice diagonale deMn(Rlas´erientrerqueoM.)Dconverge. k! k>0 b)SoitAune matrice deMn(R) diagonalisable,Dune matrice diagonale etPune matrice X 1 1k inversible telles queA=P DPM.nortreuqleas´erieAconverge, et exprimer sa k! k>0 ++X X 1 1 k k sommeAen fonction dePetD k!k! k=0k=0 X 1 k On admetuja`alqsuprobnduel`emque pour toute matriceAdeMn(R)eri´eas,lA k! k>0 +X 1 k converge, et on note :exp(A) =A. k! k=0   m 1 7)SoitA´le´nemetndueMn(R). On pose, pour toutmdeN:Am=I+A. m ´ a)taE´t:ielage´nilrilb m m  k X X 1m(m1)∙ ∙ ∙(mk+ 1)||A|| k ||AAm||61k k!m k! k=0k=0 b)End´edualeuqeri(etiusAm)mconverge vers exp(A). B.Propri´et´esdelexponentielledematrice On admet que siAetBnosntsdet´el´emeMn(R)tels queAB=BA, alors, exp(A+B) = exp(A) exp(B). 1)Montrer que pour toute matriceAdeMn(R), la matrice exp(Aenimretee)rversstinetd´ible son inverse. 2)a)SoitAune matrice deMn(R). Montrer qu’il existe une matriceSAtelle que exp(A)I=A(I+SA). x ´ b)dierEtuureseinno´dcnitalofR+par :x7→e12x. c)riude´dneEquesi||A||<1, alors||SA||<1. d)On suppose que||A||<1 et que exp(A) =I. Montrer queAest la matrice nulle. ++ ’ensemble 3)On noteSnlleedesdroreyssete´muqir´rseieldctortricesmalecevseapn, etSnl desmatricessym´etriquesre´ellesdordrendont les valeurs propres sont strictement positives. ++ a)Montrer que siA´le´nemeenutstdeSn, alors exp(A´lmenedtee)tsnue´Sn. ++ b)etnia`erpxertsoMtnerqricationeuelapplSnest une surjection deSnsurS. n 4)SoitAetBdeux matrices deSntelles que exp(A) = exp(B). On noteu(resp.v) n l’endomorphisme deRonanueiqntmesoase´ica`cA(resp.B), et exp(u) (resp. exp(v)) n l’endomorphisme deRquninocassatnemeea`e´ico(pxA) (resp. exp(B)). a)Montrer queAetBopres.aleursprmseˆemvsotnel b)Montrer queA×exp(B) = exp(B)×A. c)SoitFun sous-espace propre dev. i.Montrer queFepropredeexp(tnemosnue-sucapse´estlegav). ii.Montrer que la restriction deua`Finduit un endomorphisme deFdiagonalisable. d)abesusenpdteanlacE¸nsanatioalisagondediednv, montrer alors queuetvmˆestlonmese vecteurspropres.Ende´duirequeA=B. 2
Partie II n 1)`ereOnconsidRmuni de sa base canoniqueB= (e1, e2, . . . , en). n Soitfl’endomorphisme deRrpani´def(e1) = 0, et pour toutide[2, n]],f(ei) =ei1. On noteNalamrtciaessi´oc`aeefnemela`tsabaeelrivatBtruop,renimrDe.te´toukdeN, k la matriceN. 2)Soitprne´u]0elde,cirtseltinamsed´e[.On1RpetQppar :Rp= (1p)I+pN=I+Qp. n1 X j p p j ´ a)pE(eaxtgalit´e:blirl´eQp) =eN. j! j=0 b)Calculer||Rp||et||Qp||. Montrer que||exp(Qp)||61. 3)a)Soitmutnensreie´purieurou´egal`a1,tep1, p2, . . . , pm´esrsdelielerntllav0]eed,1[. On pose pour toutide[1, m]] ,Ri=RpietQi=Qpitron.Megs´leersse´tilasetnaviu:   hi  m mm Y XX exp(Qk) = expQk= exppk(IN) k=1k=1k=1 ´ b)Etablir la relation suivante : m m Y Y   Rkexp(Qk) = [R1exp(Q1)](R2× ∙ ∙ ∙ ×Rm)exp(Q1) exp(Q2)× ∙ ∙ ∙ ×exp(Qm)R2× ∙ ∙ ∙ ×Rm k=1k=1 m mm Y YX c)rotaoisniuavtn:eEnd´eduirelamaj||Rkexp(Qk)||6||Rkexp(Qk)||. k=1k=1k=1 n1 k X p p1p1p11 4)a)rtreMnoagille´e:t´||exp(Q1)R1||= e1 +p1+p1e1 +e . k! k=2 b):´tseagilnie´estluxdeivssenemserieccudnEude´ m mm Y YX 2 2 ||exp(Q1)R1||62pet||Rkexp(Qk)||62p 1k k=1k=1k=1 Partie III Les notations sont celles de la partieII. Onconside`remesecmodeainn1e(p`i6m < n), telles que pour toutide[1, m]], laii-e`emipe`ec m X donnePileaveclaprobabilite´pibobaalrpvaceaFecet,´e1ilitpi. On poseλ=pi. i=1 Unjoueurlancesuccessivementlapremi`erepi`ece,ladeuxi`emepi`ece,etc.jusqua`lame,eci`mepe-`i cetteexp´eriencee´tantmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A, P). Pour toutkde[1, m]], on noteSkesedsuisl`asunetboeliPederbunomaleae´egtoir´laelbaeraailvakpremiers lancers. 1)a)Montrer que pour toutkde[1, m]], leskprrsileail`´e´me+e1nemedmeptrsudlereengi produit matricielR1×R2×. . .×Rkdeoialtlenrpe´estnerSk. m mn1 k Y YX λ λ b)Montrer la relation suivante :||Riexp(Qi)||=P([Sm=k])e . k! i=1i=1k=0 +m X X k λ λ2 p. c):etnaEdne´udrilein´egalit´esuivP([Sm=k])e62i   k! k=0i=1 2)rataoisneldse´lcntfaitesPascalsos:ivsuteansunpDanammerogr const m =...; Type tab = array[1..m] of real; Var prob : tab On suppose queprob´tilibaborpseltnsieentcop1, p2, . . . , pm(ainsiprob[1]contientp1etc.) ´ EcrireunefonctionPascaldontlen-teˆteestSm(prob : tab) : integerqui simule la variableal´eatoireSm.
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