HEC 2007 mathematiques 2 classe prepa hec (s)

Publié par

HEC 2007, math 2, option scientifiquePour toute variable al´eatoire r´eelle Y d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A,P) et poss´edantune esp´erance math´ematique, on note E(Y) cette esp´erance pour la probabilit´e P. Pour tout´ev´enement C de A tel que P(C)> 0, on note, sous r´eserve d’existence, E(Y/C) l’esp´erance de Ypour la probabilit´e conditionnelle P (esp´erance conditionnelle de Y sachant C).CPartie ICette partie constitue une application particuli`ere des r´esultats g´en´eraux ´etudi´es dans la suite duprobl`eme.On poss`eden urnes (n> 3) num´erot´ees de 1 a`n, dans lesquelles on r´epartit au hasard et de fa¸conind´ependante,m boules indiscernables (m> 4), de sorte que, pour touti de [1,n]], la probabilit´epour chaque boule d’ˆetre plac´ee dans l’urne num´ero i soit ´egale `a 1/n.`On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P). A l’issue decette exp´erience, on pose pour tout i de [[1,n]] :n o1 si l’urne n i est videX =i0 sinonnXOn pose W = X .n ii=11)a)D´eterminer pour tout i de [[1,n]], la loi de la variable al´eatoire X .ib)Pour tout couple (i,j) d’entiers de [[1,n]] distincts, calculerP([X = 1]∩[X = 1]), ainsi quei jla covariance de X et X . Les variables al´eatoires X et X sont-elles ind´ependantes?i j i j2)a)Exprimer l’esp´erance E(W ) de W en fonction de n et m.n nb)On note V(W ) la variance de W . Calculer V(W ) en fonction de n et m.n n n 2m m1 22c) V´erifier l’´egalit´e : E(W )−V(W ) =n ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 439
Nombre de pages : 4
Voir plus Voir moins
HEC 2007, math 2, option scientifique Pourtoutevariableal´eatoirere´elleY´endruneiesupeorpscail´sabibΩe(,A, P)tnad´esspoet uneespe´rancemath´ematique,onnoteE(Y)cetteesruoprpalre´pecna´eabobitilP. Pour tout e´ve´nementCdeAtel queP(C)>0,ese´rsuos,etonno,ceenstxieedrvE(Y /Cedee)l´espncraY pourlaprobabilit´econditionnellePCetidionecedllneone(pse´arcnYsachantC). Partie I Cettepartieconstitueuneapplicationparticulie`redesr´esultatsge´n´eraux´etudie´sdanslasuitedu proble`me. Onposse`denurnes (n>nu3)`1aseedtoe´´mrenlpeasrotqnure´lehsalseasi,tdaaunedafdrtec¸no inde´pendante,mboules indiscernables (m>4), de sorte que, pour toutide[1, n,l]]roapbibat´lie pourchaquebouledeˆtreplace´edanslurnenume´roi1a`elage´tios/n. ` Onsupposequecetteexpe´rienceestmod´elise´eparunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). A l’issue de cetteexp´erience,onposepourtoutide[1, n]] : n o 1 sil’urne niest vide Xi= 0 sinon n X On poseWn=Xi. i=1 1)a)uotD´eterminerpourtide[1, n],]aleirtoeal´aelbairavalediolXi. b)Pour tout couple (i, j) d’entiers de[1, n]] distincts, calculerP([Xi= 1][Xj= 1]), ainsi que la covariance deXietXjriablesa.Lesvase´laeotriXietXjinesepd´ntsoll-e?adnesetn 2)a)rancsp´erlerimepxEeE(Wn) deWnen fonction denetm. b)On noteV(Wn) la variance deWn. CalculerV(Wn) en fonction denetm.    2m m 1 2 2 c)Vire´lreeg´ital:´eE(Wn)V(Wn) =n1− −n(n1) 1. n n Ende´duirequeE(Wn)V(Wn)>0. 3)Dans cette question, l’entiermre´veim=bnlnn+θnc,o`uθtsnaet´rtsnucenoeellee positive etbxctrapalengise´dredeti`eieenx. a)Calculer limE(Wn). n+  b)limMontrer queE(Wn)V(Wn) =0. n+c)SoitTnisPodeoiarepndsoiuqeriotlenutiusunevariableal´eartemae`µn=E(Wn). On admet que pour toutkdeN, on a :     1 |P([Wn=k])P([Tn=k])|6min 1,×µnV(Wn) µn Quelleestlalimiteenloidelasuitedevariablesal´eatoires(Wn)n>3? θ 4)On poseµsnpue,otuqleopesam`eepaer=treµest inconnu. Dans cette question, on veut estimerµ. Pourpentier deNere`nu,onconsidp-hce´itnaonlld´inenepntdae´ubirtsdintmeueiqntde,i (T1, T2, . . . , Tp`mteaparnoediossidePlalo)dereµ. On pose : p X 1Tpµ Tp=TietUp=pp µ i=1 a)Montrer queTptsmitaueseutenerduntgeeretm`rapaaibsnasrvnoctesiµ. b)iteealimdelanloiuQseltleel´ealoiats(retiusvedeairaselbUp)p>1? c)On veut construire, pourpeledocnnaecausdsaepzgrand,unintervalm`rareetµau risque αode´nnioS.tuittfopiseleuqlstrr´eementicteelP([U>u]) =α/`u2oUest une variable ale´atoirequisuitlaloinormalecentr´eere´duite. Justifier que pourpssagreze:rcritue´noepna,dP([|Up|6u]) = 1αrsloarenimrete´dte, un intervalle de confiance [Ip, Jp] pourµau risqueα.
Partie II Dans cette partie,λlee´irtsmetcptneitos.ifd´esigneunr SoitMaborpeca(e´silibΩevunlbaeraaiotri´laenieed´enespsuru,A, P) qui suit une loi de Poisson deparam`etreλ. SoitAune partie quelconque deNetAnsredantai´emecnoslpmoN. On rappelle que siAest i X λ λ non vide, alors,P([MAet on pose par convention [e ,]) =M∈ ∅] =. i! iA Onconsid`erelafonctionfAruseid´enNparfA(0) = 0, et pour toutkdeN:   k! λ fA(k+ 1) =eP([MA][M6k])P([MA])×P([M6k]) k+1 λ 1)a)reteenim´DionrlafonctfAdans les cas particuliersA=etA=N. b)Donner l’expression defA(1) en fonction deλet deP([MA]) dans les deux cas suivants : 0Aet 0A. ExprimerfA(2) en fonction deλet deP([MA)]adsnelacos`u0et1appartienn`tneaA. 2)SoitAetBdeux parties deNdisjointes. a)Montrer quefAB=fA+fB. b)ueeqirdu´endEf=fA. A 3)a)Montrer que pour toutkdeN, la fonctionfAatelnsioierarel´vaviu:etn P([MA]) sikA λfA(k+ 1)kfA(k) = P([MA]) sikA b)inEquesiuer´ddeAest non vide et distincte deN, la fonctionfAn’est pas identiquement nulle. 4)Dans cette question,jest un entier naturel non nul, etAest le singleton{j}. On pose f{j}=fj. a)Pour toutkdeNrtnolre:em,esuivant´egalit´ k! P([M>ksi+ 1])k>j kj+1 j!λ fj(k+ 1) = k! P([M6k]) sik < j kj+1 j!λ b)Calculerfj(j+ 1)fj(jterete´d,)e.signrsonmine c)Calculer pour toutkdeNetdener´di,j,fj(k+ 1)fj(k) en distinguant les deux cas : k > jetk < jerendi´cednE.ude´qerialeufj(k+ 1)fj(k) est positive si et seulement si k=j. λ   1e 1 ´ d)anivs:te´tilusselnriisleabgaet´Efj(j+ 1)fj(j)6 6min 1,. λ λ 5)Onconsinotelgniselere`d{0}et on posef{0}=f0. Montrer, pour toutkdeNn´eg,liital´e suivante :f0(k+ 1)f0(k)60. ´ 6)a)Etablir pour toutkdeN,lnie´aguiest´lie:ntvafA(k+ 1)fA(k)6fk(k+ 1)fk(k). (on distinguera les deux cas :kAetkA) b)nEeitrapetrtou,pouuired´edAdeNil,et:anivsu´eitalegn´   1 sup|fA(k+ 1)fA(k)|6min 1, k>0λ Partie III Soitn´egaurou.Oncl`a2`drenoisep´suieerenunertindantesirbaaveal´salediesirtosete`rcsnepe´dni X1, X2, . . . , Xn´deinseusurmnmeˆepaesprceabobsiliΩ(e´,A, P), telles que pour toutide[1, n]], lavariableale´atoireXiemararte`lluopediBernoideunelsuitpistrictement positif. 2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.